книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

§3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫ Х ДРОБЕЙ Правильные и неправильные дроби

^Рациональная дробь Щ называется правильной, если сте-

пень многочлена Р(х) в ее числителе меньше степени много­ члена Q(x) в знаменателе. В противном случае дробь называ­ ется неправильной.

<?(*) Qi(*)’

Р0{х) — многочлен (целая часть при делении), a Q1 — правильная

Так как интеграл J Po(x)dx вычисляется элементарно (сводится к

сумме табличных), то интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию правильной дроби. Интегрирование правильной рацио­ нальной дроби сводится, в свою очередь, к интегрированию простейших дробей.

Разложение правильной дроби на простейшие дроби

^Правильные дроби следующих четырех типов называются про­ стейшими (или элементарными) дробями:

I. х —а'

И. А (* = 2 ,3 ,4 , ... ) ;

(х - а)к

ш._Ах+_в

хH- рх + q

При этом предполагается, что А, В, р, q — действительные числа, а квадратный трехчлен х2 + рх + q в дробях III и IV типов не имеет действительных корней (т. е. р2 — 4q < 0).

Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей указанных четырех типов. А именно:

где к\, к2, ... fcn, П , г2, ... гт — натуральные числа, то эту дробь можно представить в виде следующей суммы простейших:

Коэффициенты A\, A2, . . . , B \, C\, . . . , Bri, CTl, .. . в разложении (3.1) находятся с помощью метода неопределенных коэффициентов или ме­ тода частных значений (см. решение задачи 8.3.12.). Отметим, что общее число этих коэффициентов равно степени многочлена Q{x).

Таким образом, интегрируя правильную дробь, мы сначала раскла­ дываем ее на сумму простейших, а затем интегрируем каждое слагаемое в этом разложении.

Вычисляя интегралы от простейших дробей, надо иметь в виду, что:

гдер2—4q < 0, сначала выделяют в числителе производную знаменателя,

В первом из полученных интегралов делаем замену t = х2 + рх + q, откуда dt = (2х + p)dx и

I (2х + p)dx = ||=ln|t| + C = 1п(я2 + рх + q) + С.

х2 + рх + q

Сначала найдем производную знаменателя дроби:

(х2 + 4х 4-13)' = 2х 4- 4.

Затем выделим производную знаменателя в числителе дро-

В последнем равенстве мы воспользовались тем, что х2 4- 4х 4- 4-13 > 0 (Vx) и, стало быть, |х2 4- 4х 4 -13| = х2 4- 4х 4-13. •

Найти интегралы от простейших дробей первых трех типов:

О Поскольку дискриминант квадратного трехчлена в знаме­ нателе подынтегральной дроби отрицателен, то эта дробь — простейшая четвертого типа. Выделим производную этого трехчлена в числителе дроби:

8х 4- 5 = 4(2х — 2) 4-13.

Из полученного равенства можно найти коэффициенты А и В двумя способами: с помощью метода неопределенных ко­ эффициентов или метода частных значений. Рассмотрим оба способа.

1. Метод неопределенных коэффициентов. Раскроем скоб­ ки в правой части равенства (3.2) и сгруппируем члены с оди­ наковыми степенями:

7х + 4 = (А + В)х + (2А - ЗЯ).

Так как многочлены в обоих частях полученного равенства то­ ждественно равны, то у них должны быть равны и коэффици­ енты при соответствующих степенях переменной х. Сравнивая эти коэффициенты, получаем систему двух уравнений:

(А + В = 7 [2 А - З В = 4.

Решая эту систему, найдем А = 5, В = 2.

2. Метод частных значений. Придадим неизвестной х в ра­ венстве (3.2) частное значение х = 3. Тогда получим

7 •3 + 4 = А •(3 + 2),т. е. 25 = 5Л,

откуда А = 5. Подставляя теперь в уравнение (3.2) значение х = —2 (удобнее всего подставлять значения, обращающие одну или несколько скобок в правой части равенства в ноль; эти значения совпадают с действительными корнями знаменателя подынтегральной дроби), получим

Разложим эту дробь на простейшие:

Приводя к общему знаменателю и избавляясь от знаменателей, приходим к равенству

ж2 + 5х - 2 = А(х + I)2 + В(х - 1) + С(х - 1)(х + 1).

Для вычисления неизвестных коэффициентов А, В и С вос­ пользуемся методом частных значений.

Положим х = 1, тогда

12 + 5 - 1 —2 = i4 -(l + I)2,

т. е. 4А = 4, откуда А = 1. Аналогично, положим х = —1. Тогда

(—1)2 + 5 •(—1) —2 = В ■(—1 — 1),

откуда В = 3.

Осталось найти коэффициент С. Поскольку «удобных» частных значений уже не осталось, придадим х какое-нибудь значение, приводящее к не очень громоздким подстановкам. Проще всего положить х = 0. Тогда —2 = А — В —С, откуда, с учетом найденных значений А и В, получим —2 = 1 — 3 —С,

-X х —

X3 + х 2 + X Х Х X3 + X2 + X *