Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 5833 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

и так как мы рассматриваем только случай х ^ 0, то получаем О < х < 2.

Аналогично f ( x )	< 0 при х	> 2.
Далее,
lim	= + 00,	lim	------- = - 00,
£—>2— 4 — X		£->2+0 4 - х 2

т. е. прямая х = 2 — вертикальная асимптота. Отсюда, в силу симметрии, следует, что прямая х = —2 — также вертикальная

асимптота.

Найдем наклонные асимптоты:

к =	lim	1 ^ 1 =	Пт	—- —Т = —1 ,
	£—>+ 00	X	£—>+00 4 — Х“
b = lim (/(х ) — кх) =		Пт	( —- —^ + х ) =		lim	- — » = О,
£->+оо	'	£—>+00\4 — Х Г		/	£—>4*00 4 — Я;
т. е. прямая у =	—х — наклонная асимптота при х					+оо (то

же и при х -+ —оо). Горизонтальных асимптот график не имеет. Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции,

исследуя первую производную:

t u \ ( х3 V	я 2 ( 1 2 - х 2 )	х 2 ( 2 л / 3 -	х ) ( 2 л / 3 + х )
=	1 Г ? Г ~	( 4	- . V ---------- •

Отсюда видно, что при х ^ О (см. рис. 87) функция имеет максимум в точке х = 2л/3 (причем /(2л/3) = -3\ /3 w -5 ,2 ), возрастает на (0; 2) и (2;2л/3) и убывает на (2л/3;+оо).

/'(* )

Рис. 87

Чтобы определить интервалы выпуклости и точки переги ба, вычислим вторую производную:

			_	8*(12 + s 2)
		1	{Х )-	( 4 - х 2)3	'
Отсюда	ясно,	что при х ^		0 функция	выпукла	вверх	(т.е.
/ " < 0)	на (	2; +оо) и	выпукла вниз (т.е. / " >			0) на	(0; 2),
х = 0 — точка перегиба.

Рис. 88

Учитывая накопленную информацию, строим график функции при х ^ 0, а затем симметрично отражаем его отно сительно начала координат (рис. 88). •

П ровест и полное исследовани е и пост роит ь графики ф ункций:

7 .4 .1 4 . / ( * ) = 2z2 + ± .	7 .4 .1 5 . / ( * ) =
х	у/Х

Дополнительные задачи
Н айт и инт ервалы возраст ания и убы вания ф ункций:
7 .4 .1 6 .	f{ x ) = x + e x .		7 .4 .1 7 .	f( x ) = x ln x .
7 .4 .1 8 .			7 .4 .1 9 .	S (t)	= t +	cos t.
Н айт и экст рем ум ы функций:
7 .4 .2 0 .	f (x)	= x 3 - 3x + 1.	7 .4 .2 1 .	y =	e x24x+s.
7 .4 .2 2 .	y =	x — arctgx.	7 .4 .2 3 .	r =	V5 -	'1Ч> + V-

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функций:

7 .4 .2 4 .	f(x) = е		х*	7 .4 .2 5 .	у = х° — 10х2 + 7х — 9.
7 .4 .26 .	У = COS X.			7 .4 .2 7 .	х =' t •arctg£.
7 .4 .28 .	При каком значении а функция у = х 4-faIn х имеет единствен-
	ную точку перегиба при х = 1?
Найти асимптоты графиков функций:
7 .4 .29 .	у =	Зх		7 .4 .3 0 .	У = e~i.
	у	х + 2*
7 .4 .31 .	№ )	-	+ 5х — 6	7 .4 .3 2 .	f(x) = х —arctgx.

Провести полное исследование и построить графики функций:
7 .4 .33 .		1		7 .4 .3 4 .	у = ln(l - ж2).
	у = е*+2.
7 .4 .35 .		х 2		7 .4 .3 6 .	у = x3 —4х2 + Зх.
	У = Т=х*-
7 .4 .37 .	У = х + ± .			7 .4 .3 8 .	у = х2 ■е~х.
7 .4 .39 .	у = ( л ± 1)1			7 .4 .4 0 .	у - З ж - 2
	у	х —2
7 .4 .41 .		X3		7 .4 .4 2 .	у = х —1пх.
	У = 3 = х * '
Более сложные задачи
7.4.43.	Привести пример дифференцируемой функции, имеющей экс
	тремумы только в точках х = 0, ±1, ± 2 ,...
7.4.44.	Доказать, что точка перегиба функции не может быть одновре
	менно ее точкой экстремума.
7.4.45.	Доказать, что всякий многочлен нечетной степени п (л ^ 3)
	имеет по крайней мере одну точку перегиба.
7.4.46.	Доказать, что всякий четный многочлен с положительными ко
	эффициентами не имеет точек перегиба, но имеет единствен
	ную точку минимума.
7.4.47.	Показать, что критическая точка 2-го рода не обязательно яв
	ляется точкой перегиба функции.
7.4.48.	Пусть функция f(x) дважды дифференцируема и выпукла
	вверх (выпукла вниз) на интервале (а; 6). Доказать, что функ
	ция /'(х )		строго убывает (соответственно, возрастает) на этом

интервале.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1

1 . Найти производную функции

у = arctg3In

х + 2

2.Найти производную функции у = (у/х)ЛТС5[

3.Найти производную у'(х) неявной функции

		sin(x -		æ3
		sin(x -	2у) + — = 7х.
				У
4.	Найти	если х = е 1 - co st,	у =	е 1 •c o s t .
5.	Найти предел, используя правило Лопиталя
			lim	— .
		х-и-оо е
б.	Провести полное исследование функции f( x ) = х 2345+				и построить
	ее график.

Вариант 2

1. Найти производную функции

2. Найти производную функции у = x arcts 7x.

3.Найти производную у*{х) неявной функции

еху + — = cos За;.

4. Найти

если а; = cos £ + sin £, у = sin t — t •cos £.

5.Найти предел, используя правило Лопиталя

*-*§ tga;

6. Провести полное исследование функции	и построить
6. Провести полное исследование функции	f( x ) =
ее график.

Вариант 3

1. Найти производную функции

			у = 2	'	^
2.	Найти производную функции у =				(х 2 + 3)tg I.
3.	Найти производную у'(х) неявной функции
		S3	у2 - # +	1	= arcsin4a;.
			У
4.	Найти	если х = ^	* , т/ =		* .
5.	Найти предел, используя правило Лопиталя
			..	In COS X
			lim -----------.
			х-»0		X

6. Провести полное исследование функции f( x ) — е ~ ‘ и построить ее

график.

Вариант 4

1.Найти производную функции

у= log3a rc s m ^ j^ jr).

2. Найти производную функции у = (c o s x )î.

3.	Найти производную у'{х) неявной функции
		ЧX * “ 48(* + 5У) = 7*•
4.	Найти	если х = е ь •sin£, у = е ь •cost.
5.	Найти предел, используя правило Лопиталя
		в1 - 1
		lim
		х—>0 tg x

6. Провести полное исследование функции f( x ) = х 2 •< х и построить

ее график.

□

Глава 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

□

§1. ВАЖ НЕЙШ ИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРИРОВАНИЯ Первообразная функция

^Пусть функция /( х ) определена на некотором (конечном или

бесконечном) интервале (а, 6). Тогда функция F [ x ) называет ся первообразной для функции f( x ) на интервале (о, 6), если F '(x ) = f( x ) для всех х € (а, 6)3.

Если F (x ) — первообразная функция для функции /( х ) , то функ ция F (x ) 4* С , где С — некоторая постоянная, также первообразная для функции /( х ) . Кроме того, если F (x ) и G (x) — две первообразные для

функции /( х ), то они отличаются на некоторую постоянную, т. е. суще ствует такое число С G R , что F (x ) — G (x) = С .

Таким образом, зная только одну первообразную F (x ) для функции

/( х ), мы без труда находим и множество всех первообразных для этой функции, которое совпадает с множеством функций вида F (x ) + С, где С — произвольная постоянная.

Если функция /( х ) непрерывна на данном интервале, то у нее суще ствует первообразная на этом интервале.

Неопределенный интеграл

^Совокупность всех первообразных для функции /( х ) называ ется неоп ределен н ы м инт егралом от функции /( х ) .

Обозначения: J /( х ) dx (читается так: «интеграл эф от икс дэ икс»).

Таким образом, если F (x ) — какая-нибудь первообразная для функ

ции /( х ) , то

J /( х ) dx = F (x ) 4- С

(в правой части последнего равенства более правильно было бы написать

{ F ( x ) + С },	поскольку речь идет о множестве всех первообразных, но
фигурные скобки, обозначающие множество, обычно не пишут).
Знак J	называется и н т егралом , функция /( х ) — поды нт егральной
ф ункцией , а	/( х ) dx — п оды н т егральн ы м в ы р а ж ен и ем .

^Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется и н т егри ровани ем этой функции.

3В дальнейшем указание интервала (а, Ь) будем опускать.

328

Интегрирование — операция, обратная операции дифференцирова ния (т. е. операции, заключающейся в нахождении производной отданной функции). У всякой непрерывной на данном интервале функции суще ствует неопределенный интеграл.

Основные свойства неопределенного интеграла

Везде далее предлагается, что все рассматриваемые неопределенные интегралы существуют.

1 . J d F ( x ) = F ( x ) + С .

2. d J f( x ) dx = f( x ) dx.

3. J a f ( x ) dx = a J f( x ) dx, где a ^ O ,

T. e. постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4. J[f(x ) + p(i)] dx = J f{x) dx + Jg (x ) dx,

T . e. неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопре деленных интегралов от этих функций.

5. Если J f( x ) dx = F (x ) + С , то

[ f ( a x + b )d x =	- F ( a x + b) + С , где a ф 0.
J	a

Таблица простейших интегралов

Следующие интегралы обычно называются табличными интеграла

м и :

1 . [ 0 •dx = С .

2. у x a dx =	„а+1	1).
2. у x a dx =	+ С , ( а ф -	1).
В частности, J 1 •dx = х + С , J			= 2у/х + С , J	^ + С .

3 . / f = In |*| +С .

* - / а * а х = - Ш + С -
В частности, J				е х dx =	е* + С .
5.	J	sin х dx =		— cos х + С .
6. J		cos х dx =		sin x + С .
7. [ —Щ — = tg x + С .
	J	cos	X
8.	f	sin	= -	ctgrc +	C .
	J	sin	x

97	?	T	?	= a arc<			+ C,>(fl^ 0)-
В частности,				[	- .ydx	. = arctgx + С.
				У	ж Ч	1
10.	[	-	т dx		= arcsin — + С7, (а >				0).
	У	у	а 2 — х 2				а
В частности, J					dx		- - = arcsinx + С .
					y /l — х 2
1 1 . [			t d x ’ .> =		2a		х — al	+ C, (a > 0).
	J x 1 - or				2a	\|x + a \|		v	7
12	/	■■y		-■= lnlx + \/x2 + al + C7.
■	/	у /X2 + a			1			1

Иногда к этому списку добавляют еще несколько интегралов:


13.	J	sh х dx =		ch х -f С .
14.	J	ch x dx =		sh x + C.
15.	J t g x d x		=	-ln\|cosx\| + C*.
16. ctgxc/x =			In sinx\| + C .

17.[ -4 s - = In t g f l + c .

У sm x

18.У[ cosx = In *s(f +ï)l+c'

Интегралы, получающиеся из табличных линейным сдвигом аргу мента (т. е. интегралы вида ^ co s3xc/x, J ^, J е7х+1с/х, . . . ) будем называть почт и т абличны м и инт егралам и .

8 .1 .1 . Используя таблицу, найти следующие интегралы: d x .

	F *	4)/ ^
	F *
	2х с/х;
5)/	с/х
5)/

у/х 2 — 7

О1) Воспользуемся табличным интегралом 2 (а = —3):

	~ -3+1	х “ 2	1
/ ? - / * ■ = ^ Т Т + 0 - Т 2 + с = - 5 » + а
2) Аналогично находим:
/• с/х	г dx г __з ,
J7^ = J ^ = J X 2dx =
	X 2* ^”*-	_ X 2	Ь П
	— — «	+ С7 — — т— h С —	7= "h ^\
	- § + 1	-I	^

	а
4) Подставляя а =	у/b в табличный интеграл 10, получим:
dx	х
/ у/Ь — х 2	= arcsin —7= + С.
/ у/Ь — х 2	у/5

5)Воспользуемся табличным интегралом 12 (а = — 7):

= ln |æ +

+ С -

Найти инт егралы , и сп ользуя т аблицу:

8.1 .2.	J	x 10 dx.	8 .1 .3 .	f	dx
				J V

8 .1 .4 .	J	y/xdx.	8 .1 .5 .	f	dx
				J	а ^ + 9 '
	f	dx
8.1 .6.			8 .1 .7 .	f	dx
	J x2 - \ '			J	\/x2 + 3

8 .1 .8 .	Используя таблицу и основные свойства неопределенного ин
	теграла, найти интеграл:

О 1) Воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного инте грала:

/ ( з - 5* - w	+	*	= / з ■5* * ~	^	*	+ / 7 1,1 =
= 3 ^ 5х dx —2 J x ~ * d x + 7 J dx =				- 2		- - + 7 x + C =
			=	-	3 •	+ 7x + C.
			In a
2) Почленно поделим числитель подынтегральной дроби на
знаменатель: х	~ ^		= х§ - Зх? + 5х “ 5. Отсюда
	у /Х
х 2 — Зх 4- 5	= J (x t - 3x2 н- 5х			à ) dx =
/	= J (x t - 3x2 н- 5х			à ) dx =
/
— J		dx -	3 J x5 dx + 5 J x - i dx =

X Ï + 1		ДГ5+1	Ж 2+1
T T ï	- 3	+ 5-	- 1		+ C =
2 ^ А		ï + ï	- 1	+ 1		1
		=	2	5	3	1
		=	- x% -		2x2	4- 10x 2	+ C. •

Н айт и инт егралы , используя т аблицу и основны е свойст ва неопреде

л ен н ого и нт еграла:

8 .1 .9 .	f x 4 H- x 2 - 6x		8.1	.10 .	r t s	i s .	з , .. :
	/	----------5--------UX.			J \х	y/x^	x + 7>т )* '
	J	x 3

8.1 .1 1 .	J y/x(x2 + 1) dx.	8. 1 .12 .	гз+SEPte.
			J	y /4 — x 2
8 .1 .1 3 .	j * # 1 *-	8 .1 .1 4 .	f ( 4 sinx-f8x 3------Ц —
8 .1 .1 3 .	j * # 1 *-		У \	cos"x

8 .1 .1 5 . Найти «почти табличный» интеграл dx

/л/16 - 9ж2 '

О Поскольку \/16 — 9ж2 =	\ j 16	(Зх)2, то данный интеграл
отличается от табличного I	dx		заменой х на Зх. Поэто
	\ /l6 — :
му в соответствии со свойством 5 интеграла имеем:
dx	1	.	Зх	^
,----------- -	= -	arcsin —		+ С.
j у/16 - 9х2	з		4

Н айт и «почт и т абличны е» инт егралы :

8 .1 .1 6 .

8 .1 .1 8 .

8. 1 .20.

8. 1 .22.

J	cos 2x d x .	8 .1 .1 7 .	J	(9x + 2) 17dx.
f	dx	8 .1 .1 9 .	J *	4 З 5i
J	8х - Г	8 .1 .1 9 .
J	8х - Г
J	у/Sx + 4dx.	8.1 .2 1 .	f	dx
			J	Зж2 - 2 5 '
Найти интегралы:
1 ) J sin2xd x;			2 >	/
			2 >	/
О	1) Воспользуемся формулой понижения степени: sin2 x =
=	1 ~ c2os2a;. Отсюда

У sin2 x d x = J		- — ° ° S^Xdx =		i У (1 - cos 2ж)^ж =
1 / / - ,	t	\	1 /	si n2x\	_ x si n2x , r

= 2\jdx~ l COs2xdx) = 2\X------------- 2~)+ C = 2 ------------- 4~ +

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 5833 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.91 Mб76Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб43Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб60Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб5Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб39Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб6Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб38Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб12Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб20Сборник задач по общей физике.-1.pdf