Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 5838 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

Формула (1.5) называется формулой замены переменной интегрирования

в определенном интеграле.

Отметим, что:

1)функцию х = ip(t) следует подобрать так, чтобы, подставив ее вме сто х в подынтегральное выражение, получить более простой интеграл;

2)новые пределы интегрирования находить из соотношений (1.4);

3)при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется (в отличие от неопреде ленного интеграла);

4) вместо подстановки х = ip(t) применяют и подстановку t = ф(х).

(1х

9.1.46.

Вычислить интеграл / 5 + 2у/х с помощью замены перемен

ных.

Применим подстановку у/х — t. Тогда х =

t2, dx =

2tdt.

Находим новые пределы интегрирования:

Применяя формулу (1.5), получим:

% II но

_ Г 2£ dt _ г 2t + 5 - 5

J 5 4" 2у/х

J 5 4- 21

2t 4~ о

з - 1 -

|(ln 11 -

In 7) =

2 - ^ ln у

•

Вычислить интегралы:

In 2

X dx

9.1.47.

9.1.48.

/ е2 + 1

>/5 — 4х

-1

9.1.49.

9.1.50.

х+ у/х*

1 + / х

4-1

-1

9.1.51.

Вычислить интеграл

» -

-----

с помощью подстановки.

о + I cos х

Положим tg ^ =

t. Тогда получаем х =

2arctg£,

I __/2

хX

7Г

dt* cosæ =^—

Пределы интегрирования -jt-

Следовательно,

Г	dx	г	TW dt		f	2
J	3 + 2cosx	J	3 + 2	-	J	t2 + 5
0		0		1+t2		t i1
				2		t i1	2	1

9 .1 .5 2 . При помощи замены переменной вычислить интеграл

J х(3 — х)7 dx.

ОПолагая t = 3 — х, получим: х = 3 — £, dx = —Л . Пределы

	интегрирования			2	1 3
	интегрирования			i 1 1 0
		o	u					и
		У х(3 —х)7 dx = у (3 — t)t7(—dt) = J							(t6 — 317) dt =
		2		i			i
						= ^ _ V \| \| ° = _ l + 3 = !9 #
						V9	8		/Il		9 + 8 7 2 '
Вычислить интегралы с помощью замены переменной:
	i						9
9.1.53.	f х fy2x - 1 dx.					9 1 54	f		xdx	7 '
	{						J	s/2x +		7 '
		О					7Г
9.1.55.	y	(2 + 5x)4 dx.				9 .1 .56 .	J	sin(\|x -			\| ) dx.
	- 0 ,4						O
	f	_ £					O
9.1.57.	f	_ £	■dx.			9 .1.58.	J	х2л/9 —: :2 dx.
	J	(x + 1У
9.1.59.	Вычислить при помощи подстановки интеграл
					2	dx
				/i		dx
				/i		х>/я2 + х + 1
			_ 1			1	X		1	2	Получаем
							*		1	1
							*		1	2
										2
		Г	dx	_ r		--p d t			_	?	d£

/ х\/а;2 + х + 1 / i - ^ + i + 1

i \Л2 + *

—r

= ln|t+ i

+ V ^ + t + lll1

J w

= ln

3 + 2у/3

2 + V7

’

9.1.60.

Вычислить интеграл JГ

2 dx

{

x \ J x 2

9.1.61.

Вычислить интеграл J

ной.

Применим подстановку x

2tg t. Тогда dx

— %r-dt,

cos

2 dt

JI (4 +4зx2)2

cos2 £(4 + 4tg2 1)2

2 dt

f cos2 tdt —

- /

—---------^

. ( - L

16совН- {ш ч У

ТГ

= ^

(1 + cos2t) dt = -^ (* + ^sin2tH

1 /7Г . 1\

7Г + 2

16 \4 + 2 /

= 1Й Г

Вычислить интегралы:

v/3

/ \ / l + S * <*

9.1.62.

—

fey,» .

9.1.63.

У ( 1 + x ^

s/2

9.1.64.

y/2 —x2 dx.

9.1.65.

tg3 xdx.

Дополнительные задачи

Вычислить интегралы:

ln 4

9.1.66.

n ? da:

9.1.67.

y/ex —1 dx.

1 + cos гг

9 .1 .6 8 .	/ г	dx	9.1.69.	Г	cos:x dx
9 .1 .6 8 .	/ г	4- cos x 4- sin x '	9.1.69.	J	6 - 5 sin nx 4- sin^a; '
9 .1 .70 .	J 3x(.l - x )17 dx.

Контрольные вопросы и более сложные задачи

Вычислить интегралы:

9 .1 .71 .

9 .1 .73 .

9.1.75.

9.1.77.

9.1.79

9 .1.80.

9.1.81.

9.1 .82 .

			[		dx
j \ f r ^ dx-		9 .1.72.	[	______ L ,_______
j \ f r ^ dx-		9 .1.72.	J	(4 + x2)y/ 4 + x2
			J	(4 + x2)y/ 4 + x2
[	3/- dx.		arcsin		6 sin2 x
[	3/- dx.	9.1.74.		/	6 sin2 x	dx.
J	(x + 3)'\/x	9.1.74.		/	4 4- 3 cos2x	dx.
f	Vy/x2X “ - 9 dx.	9.1.76.	J	cos°xdx.
J	— ?
	dx	о ! 7ft	/		2+ 3xÆ	dx.
/ 6 4- sin2 x		9 Л ‘78 ‘	J	(№ + 2V ï+ V x)y /x
Г ________________ (x — 1)		dx________________
J	^/(3x — 4)2 —	\/3x — 4 + 1
		X
Решить уравнение f —			12
		£	12
		V2
	7Г
Вычислить J = J/		1 4- cos** а: dx, сделав подстановку а; = 7Г -
	о

а) Можно ли интеграл J 2х УА—x2 dx вычислить с помощью

подстановки х = 2 cos t?

б) Можно ли интеграл J у/х2 4-1 с/а; вычислить с помощью под-

становки x = -J^-7? sm£

9 .1 .83 . Вычислить J f(z)dz : J f(60z)dz.

9.1.84.	Вычисляя интеграл	J	=	f		(^х •> с		помощью подстановки
			1	J		1 “I"	х
			1	-1			1
	ж = т, получим J =	-	[	г-7^72- =			- [	I + х	■> = -	Отсюда:
	t		J	1 + t			J	I + х
			-1				-1
	J + J = 0, т. е. J = 0. Ответ неверен. В чем ошибка?
9.1.85.	При вычислении интеграла J1				\/1 —æ2 clz применим подстанов-
				о
	ку х = sin it. Новые пределы интегрирования находим из ра
	венств 0 = sint и 1 = sint. Получаем t\ = 0 и									Можно
	ли в качестве пределов для t взять числа t\ = тг и									= Ç?

Интегрирование по частям

Если функции и = и(х) и V = v{x) имеют непрерывные производные

на отрезке [а; 6], то имеет место формула
ь	ь ь
J urfv = tit;\|	—J vclu.	(1.6)

аа

Формула (1.6) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

9.1.86. Вычислить интеграл J (х + 1)1nxclx. 1

ОПрименим формулу интегрирования по частям. Положим

и =	In я, dv =	(х + 1)dx. Тогда du				= —dx, v =	+ х. По
формуле (1.6) имеем
f { x + l ) \ n x d x = ( ^ + x ) ln x \ ie - J ( ^ - + x ) ^ =
1						1
е2	.	/ х 2	\ Iе	е2	е2	1	е2 + 5
= _	+ e - ° - ( T		+ a:J\|i =	-	+ e - T	- e + - + 1 =

При помощи формулы интегрирования по частям вычислить интегра- лы:

9.1.87.	J0	х	dx.	9.1.88.
	-1
9.1.89.	f ü & d x .			9.1.90.
	J	х~		-1
	1			-1

9 .1 .9 1 .

Вычислить J arctg xdx.

О Положим и = arctg x, dv = dx. Тогда du = -—

v __

Имеем

1 -f- x

f arctg x dx = x arctg x|

—

^ dx =

l + x“

7Г

1 !

2ч!1

1 1 о

T**“

In4

= 4 —2 " ‘ +а|2

L= 4 —2 n2 =

4 *

Вычислить интегралы:

9 .1 .92 .

4xarcsinxdx.

9.1.93.

y^(arcsinx)2 dx.

9.1.94.

/^ a r c tg x dx

V l + x2

9.1.95.

Найти значение J =

J x2 sin2xdx.

О Интегрируем по частям: и = x2, dv = sin2xdx, du = 2xdx,

v = —i

cos 2x.

? /

•cos 2x •2x dx = 0 +

J x cos 2x dx.

J = — ^x2 cos 2x J

Снова интегрируем по частям: и = х, dv = cos2xdx, du = dx,

v = к sin 2x.

1 . 0 |ï

M . o .

7Г

7 _ 7T_ 1

J —-xsin 2x| —

- sin 2x dx =

— + -

•- cos 2x

о ~ 8 4'

У 2

8 +

2 - 2 '

Вычислить интегралы:

9 .1 .96 .

x cos2 x dx.

9.1 .97 .

x3 sinxdx.

7Г

9 .1 .98 .

J x23xdx.

9 .1.99.

J cos^dx.

Дополнительные задачи

Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:

0,2

9.1.100.	[	-vffi		•	9 .1 .101 .	J	xebzdx.
	J	sin	х
	я,
	б
	тг
	3
9.1.102.	J	4xtg2xdx.			9 .1 .103 .	J	In2xdx.
						l
						2	X : dx.
9.1.104.	[	2SO?x. dx.			9 .1 .105 .	[	X : dx.
	J	sin		X		J	N/T T x*
	Vs					4
9.1.106.	J		x ■ dx.		9 .1 .107 .	J	siny/xdx.
	о	( 1	+	X2 ) 2

9.1.108. J e^ d x .

Контрольные вопросы и более сложные задачи

Вычислить интегралы:

	£						а
9.1.109.	J ex cosxdx.				9 .1 .110 .		J	у/а2 + x2 dx, а > 0.
							и
							1
9.1.111.	/ 7-ж—е* >dx.				9 .1 .112 .		[	arçsing dx.
	У (х + 2)2						J	у/х + 1
							о	2,7	2
								2,7	2
9.1.113.	Как проще всего вычислить интеграл							j	х Sjn	dx?
								У	х + о
		1				1		-2,7
		1				1
9.1.114.	Доказать, что	J	2C0SX dx = 2 J			2C0SX dx.
		-1		tr	о
				tr
				2
9.1.115.	Чему равен интеграл			J	sin2 х In 2^. x ^х<?'
			“	п
			“	2
		1			f
9.1.116.	Показать, что	[	—	—	= [	c-°-s— dx.
	’	J	arcsin x		J	x

§2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Интегралы с бесконечными пределами (I рода)

Пусть функция у		= f(x ) интегрируема на любом отрезке [а, 6]. То
гда несобственные интегралы с бесконечными пределами (пли I рода)
определяются следующим образом:
+оо			6	6	6
I f(x ) dx =	lim	f	f(x ) dx,	/ / ( x) dx =	lim / f(x ) dx, (2.1)
J	6—>4-oo J			J	n —►—oo y
a		a		—oo	a
+ C O					и
J	f(x ) dx		lim	J f(x ) dx + lim	J f(x ) dx,
			a —>—oo	6—H -o o
—oo				a	c

где c — произвольное число (обычно с = 0).

^Несобственные интегралы I рода называются сходящимися,

если существуют конечные пределы, стоящие в правых частях равенств (2.1). Если же указанные пределы не существуют или бесконечны, то несобственные интегралы называются расходя щимися.

Вот некоторые признаки сходимости и расходимости несобственных

интегралов I рода:			непрерывные функции f(x )				и (р(х)
	1. Если на промежутке [а;+оо)
удовлетворяют условию 0 ^ f(x ) ^			<р(-т), то из сходимости интеграла
+ 0 0				+ С О
/	(р(х) dx следует сходимость интеграла			/	f{x ) dx, а из расходимо-
:	+ о о			гa		4 -00
стн интеграла J		f(x ) dx сл езет расходимость интеграла				J	(р(х) dx
(«признак сравнения»).			0, ср(х) > 0 и существует конечный
	2. Если при х	6 [a; +оо), f(x ) >
	. ( .			4 - 0 0	4 -0 0
предел Jim		= к ф 0, то интегралы		J	f(x ) dx и J	tp(x) dx схо-
				а	а

дятся или расходятся одновременно, («предельный признак сравнения»).

	4-оо
3. Если сходится интеграл	/ \|/(.r)\| dx, то сходится и интеграл
4 - 0 °	a

/f{x ) dx, который в этом случае называется абсолютно сходящимися.

		4-оо
9 .2.1.	Вычислить несобственный интеграл	или установить
	его расходимость.

О По определению несобственного интеграла I рода (2.1) имеем

7 °	* =	i t o	/	*	. iiin ( - i ) i ‘ =
J1	X“	Ь-*оо J 1		х “	6->oo \ ж / Il
					= lim ( - 7 ) +		lim ( 7 ) = 1 ,
					6—>oo V	b J	b—y00 V I/
интеграл сходится и его величина равна 1.							4-00
							4-00
Замечание. Можно показать, что интеграл							J ^	, сходит
ся при а > 1 и			расходится при а ^ 1.				1	•

Найти значение несобственных интегралов или установить их расхо димость:

4-оо

4-00

9.2.2.	[	е~Лх dx.			9.2 .3 .			/	хе х	dx.
	J							/
	0					0
	4-00	dx						4-00
9.2.4.	Г	dx			9.2 .5 .			/
9.2.4.	J	х In x			9.2 .5 .			/
	13							e1
9.2.6.	Исследовать сходимость несобственного интеграла J х cos х dx.
										—00
	О По определению несобственного интеграла I рода
		о		о
	[ х cos х dx =		lim	/	х cos х dx =
	J	a- > - 0 0		J
	-	U = X	du = dx			=	lim fxsinrcl			+ cosa*\| ) =
	-	[ dv = cos x dx	v = sin x				a - * ~ o o \		la		la/
				= 0 -			lim	a sin a + 1 — lim			cos a ,
						a -> —00				a -* —00
	интеграл расходится, т. к.				lim		a sin a,		lim	cos о не сущест-
	вуют (задача 6.4.125).				a —>—00			a —>—со			#
	вуют (задача 6.4.125).									о	#
										о	cos3xdx.
9.2.7.	Исследовать сходимость несобственного интеграла J										cos3xdx.
								+00	j dx
9.2.8.	Вычислить несобственный интеграл							J	j dx
									+ аг

—оо

О Подынтегральная функция /(ж) =	определена и не
прерывна на всей числовой оси. Кроме	того, она является

9 .2 .9 .

9.2.10.

9 .2 .1 1 .

9 .2 .1 2 .

четной. Следовательно,

оооо

J	/(х) dx = 2 J f(x ) dx.
—oo	0

Исходя из определения несобственного интеграла (2.1), имеем

+0°	,	_ r _	+оо ,		_
f	dx	_ r _	f	dx	_
J			J	T + X *~
0			0		Г	.	Ia	7Г Л	7Г
					Г	.	Ia	7Г Л	7Г
					a—>+oo	Ь	lo	2	2

интеграл сходится. Следовательно, исходный интеграл также сходится и равен 7г. •

Найти значение или установить расходимость несобственного

	+ о о
интеграла J		^ .
	1			+ о о
				+ о о
Исследовать на сходимость интеграл J					dx.
Q	Здесь f(x ) =	х \^ > 0 при х		G [1; +оо), при этом х		>
		X3			гг з
		4-оо			х 3
		4-оо
>	Дг = <р(х). Но интеграл [		g	расходится[ так• как
	a;3	J	V X 2
	Idxах	j		1
	/	= lim Зх3	= 3 lim Ь3 — 3 = оо.
	/	b—Юо		6—ю о
					+ о о
Поэтому, согласно признаку сравнения, интеграл [						dx
расходится.						•

Вычислить несобственный интеграл или установить его расхо-

+ о о

димость: /

4-оо
Исследовать на сходимость интеграл j	------— —-3-.
V	2 4- х 4- Зх
1

О Здесь /(х ) = г-—*	-	5>0. Рассмотрим функцию <р(х) = >
24-х4-Зх		х
	4-оо
интеграл от которой	[	Щ сходится (см. пример 9.2.1). А так
	J	х
	1

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 5838 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.91 Mб69Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб34Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб3Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб32Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб37Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб11Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб17Сборник задач по общей физике.-1.pdf