книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс
..pdf
|
рода (xi |
€ [—5; 0], Ж2 £ [—5; 0]); на отрезке [—3; 4] функция име |
||||
|
ет две точки разрыва 2-го рода Х\ = - 2 , ж2 = |
3, а в остальных |
||||
|
точках непрерывна (x i;x o |
€ [—3;4]). |
• |
|||
6 .5 .2 2 . |
Исследовать функцию f( x ) |
на непрерывность на отрезках [0; 2]; |
||||
|
[ - 3 ; 1]; |
[4; 5], если |
|
|
||
|
! ) |
Я * ) |
= |
|
|
|
|
' ' 4 ' |
|
Ж2 + 2 ж - 3 ’ |
|
|
|
|
3) / ( * ) = 1п | ± | ; |
|
|
|||
|
4) |
/(ж) |
= у/х2 - х - 20. |
|
|
|
Дополнительные задачи |
|
|
||||
6 .5 .2 3 . |
Доказать, что следующие функции непрерывны в каждой точ |
|||||
|
ке своей области определения: |
|
||||
|
а) /(:х) = tgx; |
|
|
|||
|
б) f( x ) |
= |
ctgx; |
|
|
|
|
в) |
f{ x ) |
= |
4 r ; |
|
|
|
г) |
т |
= |
|
|
|
6 .5 .2 4 . |
Исследовать на непрерывность функцию у = |
|signx|. Постро |
||||
|
ить график этой функции. |
|
|
|||
Более сложные задачи |
|
|
||||
6 .5 .2 5 . |
Используя определение, доказать непрерывность на (—оо; + оо) |
|||||
|
следующих функций: |
|
|
|||
|
а) |
/(ж) = |
sin ж; |
|
|
|
|
б) |
/(ж) = |
cos ж; |
|
|
|
|
в) |
f( x ) |
= |
ех. |
|
|
6 .5 .2 6 . |
Доказать, что функция Дирихле (см. задачу 6.1.125) разрывна |
|||||
|
в каждой точке ж £ М. |
|
|
|||
6 .5 .2 7 . |
Привести пример двух разрывных в точке |
жо функций /(ж) |
||||
|
и £(ж), для которых функция h (ж) будет непрерывна в этой |
|||||
|
точке: |
|
|
|
|
|
|
а) |
h(x) |
= |
f ( x ) + g ( x ) ; |
|
|
|
б) |
h(x) |
= |
f( x ) - g ( x ) . |
|
|
6 .5 .2 8 . |
Привести пример двух функций /(ж) и #(ж), разрывных в ка |
|||||
|
ждой точке ж £ М, для которых функция h (ж) непрерывна на |
|||||
|
всей действительной оси: |
|
|
|||
|
а) h (x ) = f( x ) + g ( x ) - , |
|
|
|||
|
б) |
h(x) |
= |
f( x ) - g { x ) . |
|
|
Глава 7. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
□
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ Понятие производной
^Пусть функция у = /( х ) определена в некоторой окрестности точки хо. Предел отношения приращения А у функции в этой
точке (если он существует) к приращению А х аргумента, когда Ах -> 0, называется производной функции /( х ) в точке хо-
Обозначения: / 7(хо) или у'(хо) или |
или / 7|Х=Х0. |
|||
Таким образом, |
|
|
|
|
Г Ы |
Пт ^ |
Пт |
/ ( х 0 + Ах) |
- /(х о ) |
|
Дх-чо Ах |
Дх—>0 |
А х |
|
^Вычисление производной называется диф ф еренцированием
функции.
Таблица производных
1 . (с)' = 0, с = const; |
|
|
|
|
|||||
2. (х°) 7= |
а |
•х а_1 (где а |
6 М); в частности, (v/x)7= |
—L - ; |
|||||
3. (а хУ = а х •In а, а > 0; в частности, (ех)7= |
е*; |
|
|
||||||
4. |
(log„ х )' = |
|
|
а > 0, а Ф 1; в частности, |
(1пх)' = 1 ; |
||||
5. (sinx)7= cosx; |
6. (cosx)7= |
— sinx; |
|||||||
7. |
(tg x )' = |
—COS12X > |
8. (ctg x)' = |
— |
1 _ . |
||||
|
|
I/ — |
___ 1 |
|
|
sin x |
|||
9. (arcsinx)7 |
= |
x/iT -i |
10. (arccosx)7= |
1 |
|||||
11. (arctg*)' = |
|
|
|
|
|||||
|
|
12. (arcctgæ)' |
= |
------- |
|||||
|
|
|
1 + X |
|
|
|
|
||
13. |
(sh x)7= |
chx; |
|
14. (ch x)' = shx; |
|||||
15. |
_ |
|
1 |
|
5 |
16. (c th i)' = |
|
1 |
|
(th x )7= |
|
~2 |
|
|
|||||
|
|
ch~x |
|
|
|
eh7* ' |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Основные правила дифференцирования
Пусть с — константа, а и (х) |
и v (x) имеют производные в некоторой |
|||
точке х . Тогда функции u ( x ) ± v ( x ) } c-u(x), u(æ)*v(x) и |
(где v(x) ф 0) |
|||
также имеют производные в этой точке, причем |
|
|||
1. (u ± |
v)' = u ' ± |
V |
|
|
2. (и •v )1 = v!v + ад/, в частности, (си)' = с •г/; |
|
|||
3 |
= |
в ч а с т н о с т и , ( § ) ' = - ÿ . |
|
|
Пусть теперь функция и = |
у?(х) имеет производную в точке жо, а |
|||
функция |
у = f( u ) |
— в точке |
щ = <р(хо). Тогда |
сложная функция |
У = /(^ (я )) также имеет производную в точке а?о, причем |
||||
|
|
2/'(^о) = |
у'(ио) •и '(ю ). |
|
Геометрический смысл производной
Пусть функция у = f( x ) имеет производную в точке хо. Тогда суще ствует касательная к графику этой функции в точке MO(XOÎ2/O)Î уравне
ние которой имеет вид
У ~ Уо — f' ( x о)(х - х 0).
При этом f' { x о) = tg a , где а — угол наклона этой касательной к оси Ох
(рис. 80).
Рис. 80
^Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется н орм алью к кривой и имеет уравнение
у - у° = - Ш |
Л х ~ г ° ) ' |
Если /'(жо) = 0 (т. е. касательная горизонтальна), то нормаль верти кальна и имеет уравнение х = XQ.
^ |
Пусть даны две пересекающиеся в точке Мо(жо,з/о) кривые |
|
у = fi( x ) и у = / 2(2), причем обе функции имеют производные |
|
в точке жоТогда углом м е ж д у этими кривы м и называется |
|
угол между касательными к ним, проведенными в точке MQ. |
Этот угол (р можно найти из формулы
/ 2(^0) - f [ ( x 0) tg <Р = 1 + /i'(so) •/2(2:0) '
Логарифмическая производная
При нахождении производных от показательно-степенной функции u (x )v<*\ а также других громоздких выражений, допускающих логариф
мирование (произведение, частное и извлечение корня), удобно приме нять логарифмическую производную.
Л огариф мической производной от функции у = f( x ) называет
ся производная от логарифма этой функции:
Опт/)' = г/
У '
Используя логарифмическую производную, нетрудно вывести фор мулу для производной показательно-степенной функции u (x )v^ :
(uvy = u v •v1 •In и + u v 1 •и' •v.
Производная неявной функции
Пусть функция у = у(ж), обладающая производной в точке х, задана
неявно уравнением
F ( x ,y ) = 0. |
(1.1) |
Тогда производную у'(х) этой функции можно найти, продифференци ровав уравнение (1.1) (при этом у считается функцией от х) и разрешая затем полученное уравнение относительно у ' .
Производные высших порядков
^Производная /'(ж ) от функции /(ж ) называется также произ водной первого порядка. В свою очередь производная от функ ции /'(ж ) называется производной вт орого порядка от функции
/(ж ) (или второй производной) и обозначается /"(ж ).
Аналогично определяются п роизводная т р ет ьего порядка (или т ре т ья п рои зводн ая ), обозначаемая /"'(ж ) и т.д.
Производная n-го порядка обозначается / ( п)(ж).
