книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

2)

прямая параллельна оси Оу\

3)

прямая перпендикулярна плоскости Зх + т/ — z - 8 = 0.

О

1) Так как прямые параллельны, то они имеют один и

х = 2 + 0 •t ,

У

— 1 ~Ь 1 •£ ,

2 — —3 -f- 0 •£ ,

х =

2,

т. е.

< У =

- 1 + *,

ч2 =

- 3.

3)

Вектор п = (3; 1; —1) перпендикулярен плоскости Зх-Ь

+ 2/ —г —8 = 0. Следовательно, в качестве вектора s можно взять

вектор п, т. е. s = (3; 1; —1). Тогда параметрические уравнения

прямой, перпендикулярной плоскости Зх+т/ —z — 8 = 0, примут

вид

х = 2 + 3£,

< у = —1 + f.

•

z=-3-t.

5.3.6.

Найти параметрические уравнения прямой:

5.3.7.

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через

точку М о(4;3;—2) параллельно

1) вектору а =

(3; —6; 5);

2 ) прямой / *

+ % + * - e

= °.

^2х — у — 4z + 1 = 0.

О 1) В качестве направляющего вектора прямой, проходя­

щей через точку Mo возьмем вектор s равный вектору а, т.е.

s = (3; —6; 5). Тогда, по формуле (3.1), канонические уравнения

прямой примут вид

х — 4 _у — 3 __2 + 2

3

“ - 6 “ 5

г

j

к

3

1

1

1

1

3

Si = 1 3

1 = г

- 1

- 4 - з 2 - 4 + к

2 - 1

2

- 1

- 4

= —11г + 6] -7 к ,

т. е. si = (—11; 6; —7). Так как данная прямая и искомая парал­

лельны между собой, то в качестве направляющего вектора s

искомой прямой можно взять вектор s i, т. е. s = s i. Получаем

канонические уравнения

х -

4

у - 3

_

z + 2

- 1 1

~

б

- 7

5 .3 .8 .

Найти уравнение прямой, проходящей через точку (3; - 2 ; 5):

1) параллельно оси Oz;

оч

н f x - y + z - 1 = 0,

2) параллельно прямой <

+ 3 =

0.

9 Н

|2х + 2 /- 4 г

Дополнительные задачи

5.3.9.

Проверить, лежит ли точка М( 1; —3; 2) на прямой

Г Зх -

2у + z -

11 = О,

[2х 4* Ъу + 6z + 1 = 0.

5 .3 .10 .

Проверить, лежат ли на одной прямой три данные точки

(—3; 5;4), (2; 4; б), (2; 14; б).

5.3 .11 .

Привести к каноническому виду уравнение прямой

(х -

у + 2z + 1 = 0,

[х + у - z -

1 =

0.

5 .3 .12 .

Найти точки пересечения прямой х

— 1

=

У

=

- 7 --

с ко-

ординатными плоскостями.

2

о

5 .3 .13 .

Найти точки пересечения прямой

J x + y + z - 4 =

0,

[2х -

З у - 4 z + 2 = О

с координатными плоскостями.

5 .3 .14 .

Найти уравнение прямой, проходящей через точку М (—4; 2; 2)

и пересекающей ось Oz под прямым углом.

5 .3 .15 .

Составить

уравнение

прямой,

проходящей

через

точку

М (1 ;—1;2)

и перпендикулярной векторам а =

(2; 2; 3)

и 5 =

= ( -2 ;5 ;0 ) .

5.3.20.

Даны вершины треугольника А(3; —1; —1), Б (1 ;2 ;—7),

0 ( —5; 14; —3). Составить канонические уравнения биссектрисы

его внутреннего угла при вершине В.

5.3.21.

Найти соотношения, которым должны удовлетворять коэффи­

циенты прямой

X - XI _ у - Ух _ Z - Zi

и

X - 3,-2 _ У - 2 / 2 _ Z - Z2

Ш \

П\

Pi

TTI2

П2

Р2

торами ôi = (m i;n i;p i)

и й2 = {т2 \п2 \р2). Величина угла между пря­

мыми L\ и Ь2 определяется из формулы

cos <р=

т у т 2п + п \ п2 + Р 1 Р 2

(3.7)

\Jтп{ + п\ + р\ yjm\ + п\ + р\

cos <р—

Irai 7712 + щ п2 +pip2\

(3.8)

j . —

■ —=

j----- ■ ■ •■■-

y ml + n\ + p\ у m2 + Щ +Р2

Условие перпендикулярности прямых L\ и Ь2 имеет вид

га1га-? + п\п2 + р\р2 =

0.

(3.9)

Условие параллельности (или совпадения) прямых —

7711

T il _

P i

(3.10)

7712

712

Р2

Условием, при котором две прямые L\ и Ь2 лежат в одной плоскости,

является равенство

Х2

X 1 2/2 -2/1

Z 2 - Z 1

= 0 ,

7711

Tli

Pi

(3.11)

га2

п2

Р2

при этом, если ai ft а2, то прямые L\ и Ь2 пересекаются.

5 .3 .2 5 . Найти величину острого угла между прямыми

x - 4 _ y + l _ z - 5

\х - у + 2z —8 = 0,

— 3

1

—2

1 2х + у —2 + 3 = 0.

О Направляющий вектор первой прямой есть s\ = (—3; 1; —2).

Находим направляющий вектор s2 второй прямой:

«2

т.е. s2 =

(-1 ;5 ;3 ) .

По формуле (3.8) находим

cos tp =

|— 3 •(—1) + 1 •5 — 2 •31

N/ÏÔ

- —

- =

3 5 ’

N/9+1 + 4 - V l + 25 + 9

поэтому <p= arccos

85°).

11

2Л+ 1 _

z —1 и

х - 4

_

?/

_

2 +

1 .

8 ~

7

7

“

-

2 “

8

2/ + 2 = О,

(х + у + Z - 1 = 0,

2)

7/-2 : — 6 = 0

-

?/ 4- З2: 4-1 =

0.

2.Т +

-I\ ж - 2

_

JL _

2:4-1

х = 5 —8*,

и

< т/ =

4 — 6*,

; 4

“

3 ~

- 2

2: =

3 4-4*;

о\ х _ ?/ - 1 _ z 4- 2

"

ж 4- 4 _ У4- 3 _ 2? - 1

; 2 “ - 3 ”

1

3

~ 2 “ 4

мых: si = (4;3; —2), s2 =

(—8 ;—6;4). Как видно, координаты

этих векторов пропорциональны:

4

_

3

_

- 2

- 8

~

- 6

“

4 ‘

2)

Координаты направляющих векторов si = (2; —3; 1) и

s2 =

(3; 2; 4) данных прямых не пропорциональны. Следова­

M i(0; 1; - 2 ),

М з (-4; - 3 ; 1). Имеем

- 4 - 0

- 3 - 1

1 — (—2)

- 4

- 4

3

2

-

3

1

= 2

- 3

1

3

2

4

3

2

4

=

- 4

- 3

+ 4

+ 3

2

-3

2

3

2

=

- 4 •(-1 4 ) + 4 •5 H- 3 •13 = 115 ф 0.

Следовательно, данные прямые — скрещивающиеся

5 .3 .28 .

Указать взаимное расположение прямых:

г

и

[ х —18*.

Г 2 * - 3 У- 3 * - 9 = 0,

У = Ю*,

[ £ - 2 ? / + 2 + 3 = 0

2 = - 3 + 2*.

х _

У + 30 _

2 - 2,5

х +

1 _

У -

7 _ z + 4

5 .3 .29 .

2) - 1 “

5

~

4

б

“

2

“ - 1 *

Найти уравнение прямой, проходящей через точку M i(—2; 3; 4)

и перпендикулярной прямым

x —2

y + l _ z

х __2/ + 2 _ 2 — 1

1

-

- 1 “ 2 "

2 ~

1

“

3 '

771

П

р

т =

- 1

t = —5*,

п = — 1

2

t = t, р =

1

- 1

* = 3*.

1

2

3

2

1

Уравнения искомой прямой есть

£ + 2

т/ — 3

2 — 4

£ + 2 _ 7 / - 3 _ 2 - 4

- 5 t

t

3t

или

- 5 “

1

"

3

Замечания: 1) Систему уравнений

J т - п +

2р =

0,

I

2771 + п + Зр = 0

можно переписать в виде

' m _ n + 2

= 0

P

Р

1 2 ™+

£ + 3

= 0.

P

Р

Отсюда ^

~ ~ \ т.е. т

п Р = - 5 1 3, поэтому

г

j

к

—bi+ j + 3£, т.е. т = - 5 , п = 1, р = 3.

s = 1

- 1

2 =

2

1

3

лярной к прямой х ~ 1

^ ^ 2 ~ Z з

5.3.31. Составить

уравнение

прямой, проходящей через

точку

M i(l;—2; 3) и перпендикулярной к прямым ^ ~ ^ = У

=

— z — 3 ж + 2 _

У+ 4 _ z — 1

“ - 2 ’ 2

“

- 5 “

4 *

5

. 3

. 3

2 .

Найти

расстояние от точки

М (—5; 4 ; 3 ) до

прямой

х^ % =

-

У ~ 3

-

2 -

1

~

3

"

2

‘

5

. 3

. 3

3 .

Найти расстояние между параллельными прямыми

х

=

-

Д/ + 1

_

z „

ж -

7 _

у -

1 «

z -

3

“

4

“

2

3

“ ~

4

”

2

'

Указание. Воспользоваться формулой SA =

^|й х 5|.

( х -

2 у + 8 = 0,

| 3х + 2г - 3 = 0,

[ 2/ +

2 - 6 = 0

И

— Бу + 9 = 0

1

Я*

4

r-4-l

котором эта прямая пересекается с прямой ^

^