книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

если а; — рациональное

— иррациональное

(функция Дирихле), XQ =

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 5827 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Односторонние пределы

^Пусть функция /( х ) определена в правой полуокрестности точ

ки хо, т. е. на некотором интервале (хо, хо + Æ), гДе Æ> 0. Тогда говорят, что число А называется пределом функции /( х ) спра ва в точке Хо (или правост оронним п ределом ), если для любой

последовательности { х п}, сходящейся к хо и такой, что все ее члены больше, чем хо, соответствующая последовательность значений функции { / ( х п)} сходится к числу А.

Обозначения: lira /( х ) = А или /(х о 4- 0) = А. х —►хо+О

Аналогично определяется п редел функции слева (или левост оронни й

предел) в точке Хо, обозначаемый			lira		/( х )	или /(х о — 0).
Очевидно, что lim f( x )		х— 0
Очевидно, что lim f( x )	существует				в том		и только		в том случае,
Х —ЬХо
когда существуют и односторонние пределы							lim	/( х )	и lim /( х ) ,
причем все три числа равны, т. е.						х—»хо+0			х —>хо—0
причем все три числа равны, т. е.
lim /( х ) =	lim		/( х )	=		lim	/( х ) .
х-»х0	х—>х0+о		'		х—>х0—о			4

Замечательные пределы

П ервый зам еч ат ел ьн ы й п редел
	sm x		1 .
lim -------=			1 .
Х-Щ	х
В т орой зам еч ат ел ьн ы й п редел
lim ( l	+ i )		= е .
х—юо \	х	/

Часто используются следующие следствия из обоих замечательных пределов:

sin otx

lim	= a , a G R;

x—>0 X

1.	, Л ,	4i
lim	(1 +	x) * = e,
x—»0

	l n ( l + x )	,	lim	e x - l	1
lim — ----------		= 1 ,	lim	--------- =	1 .
x-*0	x		x->0	x

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

^Функция ср(х) называется бесконечно м алой при х -> хо (или в окрестности точки хо), если lim <р(х) = 0.

	X—>Хо
Таким образом,
А = lim /( х ) <=>	/( х )	= А + а (х ),
где а (х ) — бесконечно малая при x	XQ.

^Пусть а(х) и 0 {х ) — бесконечно малые функции при х -4 х0. Тогда:

1) Если lim	§£4	=	А ф 0, то функции	а (х) и /?(х) на-
Х - + Х О	Р\%)	м алы м и одного порядка		в	окрестности
зываются бесконечно
т очки а'о-
В частности, если		lim	= 1, то а (х ) и 0 (х )		называются
	X —t X o		Р у Е )

эквивалент ны м и бесконечно малыми (в окрестности точки XQ),

что обозначается так: а(х) ~ /?(х), х -> хо.

2) Если	lim	=	0, то функция а (х )			называется бес-
Х->Хо н\%)
конечно малой более высокого порядка, чем /?(х). Э тот факт
записывается так: а(х) = о(/?(х)), х -4 хо и говорят, что а(х) —
о м алое от /3(х) при х		-4 хо. В частности, если а (х) — беско
нечно малая при х -4 хо, то а (х) = о(1), х -4 XQ .
При решении многих задач используются следующие эквивалентно
сти, верные при х -4 0:
	х 2	t g x ~ x ,		a rc s in x ~ x ,		arctgx ~ x,
s in x ~ x , 1 —c o s x ~ — ,
ln(l + x) ~ x,	a x - 1 ~	x ln a (в		частности, e x -		1 ~ x),
	>/l + x — 1 ~			n .
Кроме того, имеет место следующий факт: если /3(х)						~ А (х ), х -4 хо
и существуют пределы	lim а (х ) •/3(х) и			lim	syf
					( , то
	х->Хо			æ-+xo Р\Х)
lim	а(х )*/?(х ) =		lim	a (x )*/?i(x ),
X - t X o			Х - У Х О
	а (х )		lim	а (х )
	lim -57—г =			-5-7	-r.
	x->x0 P ( X	)	X - + X O	P l ( X )

Таким образом, предел произведения или частного двух бесконечно малых не меняется при замене любой из них на эквивалентную беско нечно малую.

6 .4 .1 . Доказать, что lim(2x + 1) = 5, используя х->2

1 ) первое определение предела функции;

2) второе определение предела функции.

О1) Пусть {х п} — произвольная последовательность, сходя

щаяся к 2, т. е. такая, что		lim х п =	2. Тогда в соответствии
		п-*оо
со	свойствами пределов	последовательностей		lim / ( х п) =
	lim (2х„ + 1) = 2 lim x n + Ит 1 =		2 - 2 4 -1 =	п—>00
=	lim (2х„ + 1) = 2 lim x n + Ит 1 =		2 - 2 4 -1 =	5.

Так как lim

f { x n) = 5 для любой последовательности {х Л},

п—>оо

сходящейся к точке хо = 2, то по первому определению предела

функции это как раз и означает, что lim(2x + 1) = 5.

х—>2

2) Зафиксируем произвольное е > 0. Требуется по этому £

найти такое S >

0, чтобы из условия х ф хо, |х — хо| <

6, т.е.

из 0 < |х — 2\ < 6 вытекало бы неравенство

|/(х) - А\ < е, т. е. |(2х +

1) - 5 < е|.

Последнее неравенство приводится к виду |2(х — 2)| <

£, т.е.

|х — 2|<

|. Отсюда следует, что если взять S = |, то неравен

ство |х—2|< 6 будет автоматически влечь за собой неравенство

|/(х) — 5| < е (это значит, что для всех х, для которых вер

но первое неравенство, будет верно и второе). В соответствии

со вторым определением предела функции это означает, что

Inn (2х +

1) = 5.

•

И спользуя п ервое определение предела функции,

найт и пределы:

6 .4 .2 .

Иш1(4х + 3).

6 .4 .3 .

lini (х2 — 4х + 8).

6 .4 .4 .

lim у/1 — х 2.

6 .4 .5 .

lim х 2 4* 5

х-+у/3 %

И спользуя вт орое определение предела функции, доказат ь, чт о:

6 .4 .6 .

lim (Зх — 2) = - 2 .

6 .4 .7 .

lim (—х + 4) = 3.

х—►О4

х->14

6 .4 .8 .

lim х 2 =

6 .4 .9 .

lim 1 = 1.

х—>3

x —¥b X

6 .4 .10 .

Доказать, что функция у

= signx

не имеет предела в точке

х 0 = 0.

Действительно, если выбрать последовательность {x J J =

{ п } ’ СХ°ДЯ1ДУ1С)СЯ к нУлю>то

lim

f i x ' )

lim (sign -")

= lim

1 = 1 ,

х-юо

x-*oo \

n J

х-юо

T. e. последовательность

{ / ( x J J }

соответствующих значений

функции сходится к единице.

Если же выбрать последовательность { х " } =

также

сходящуюся к нулю, то

lim / ( х ") =

lim

s i g n f - - )

lim ( - 1) = - 1 .

n->ОО

кхэ

п /

п—юоч

Таким образом, мы нашли две различные последователь ности { x { J и К } , сходящиеся к точке х 0 = 0, для которых

	соответствующие последовательности { / ( a J J } и { / ( а " ) } значе
	ний функции /(a ) = signa* сходятся к различным числам. Это
	противоречит первому определению предела функции, и, зна
	чит, у функции sign х нет предела в точке ао = 0.						•
Д оказат ь,		чт о функция /(а )			не им еет предела в т очке ао, есл и :
6 .4 .1 1 .		= —, а- — 1
	/( * ) = р *о = °.
6 .4 .1 2 .			при а ^ 2,
6 .4 .1 2 .		а	при а < 2, ао =			2.
		а	при а < 2, ао =			2.
6 .4 .1 3 .	Доказать по второму определению предела, что lim /( a )						= 1,
	где /( a ) =		2(a -	I)2		x~*x°
	где /( a ) =		т	1 ----- h 1, ao =		1. Найти соответствующее S по
	данному £, если:
	1) £ = \\
	2) е = 0,01.
6 .4 .1 4 .	Используя свойства пределов функций, найти следующие пре
	делы:
	1)	lim -	-	^	;
	' x-> -i 4а“ + 5а + 2
	2)	Пт ■		■ ;

х—»>2 а “ — о а + 6

3)Пт у/х 4~ 8 — 3 . 7 х—>Т а - 1 1

4)	Пт	2а“ + За	.
7	х->со	2а“ + За
О 1) Применяя теорему о действиях над пределами функций,
получим:
		За2 — 1		lim (За2 — 1)
	lim	За2 — 1		Д- > - 1 _______ ____
	lim	4а2 4* 5а + 2		lim	(4а2 -h 5а + 2)
		4а2 4* 5а + 2		lim	(4а2 -h 5а + 2)
		_		lim	За2 —	lim		1
		_	X—>—1		X—^—1			_
			lim	4а2 +	lim	5а +		lim 2
			х— 1		X—►—1			X—У—1
		_	3	lim	а • lim		а — 1
		_		X—►—1	X—►—1			_4
		4	lim	а • lim а 4-5			lim а + 2
			х —>— 1	X —У— 1		X —У — 1
					_		з • ( - ! ) ( - ! ) - 1
						4 (—1)(—1) + 5 (—1) + 2			•
	2)	Так как пределы числителя и знаменателя при a -4 2
равны нулю, то мы имеем неопределенность вида jj. «Раскро
ем» эту		неопределенность (т.е. избавимся от нее), разложив

числитель и знаменатель на множители и сократив их далее на общий множитель х — 2:


х 1 - 4	= lim	( х - 2)(х		+ 2)	х + 2
lim	= lim	т	------ гг =		lim	— 3
х—>2 х 2 5х + 6	*-»2	(х — 2)(х		— 3)	х-> 2 х	— 3

В полученной дроби знаменатель уже не стремится к ну лю при х -> 2, поэтому можно применять теорему о пределе

частного:

х + 2

х—>2 х — 3

Окончательно lim л Х х->2 X1 -

	+ 2)	2 + 2
lim (х —3)		2 — 3
х—	'

„ ^ „ = —4. 5х 4- б

3)Здесь мы также имеем неопределенность вида jj. Домно-

жим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжен ное к числителю (избавляемся от иррациональности в числи теле):

..	у/х + 8 — 3		..	(\/х + 8 — 3)(у/х + 8 + 3)
lim -------- -----=			lim — ------- w			,----- ---- -----=
х->1	.т - 1		х->1	(т -	1)(\/х + 8 + 3)
	..	(N/ Ï T 8 ) 2 - 3 2			..	(х + 8) — 9
	x->i (х — 1)(л/х + 8 + 3)				x_>1 (т — l)(v T		+ 8 4- 3)
		1.			r	l	1 1
		x-^i (T - 1 ) ( V T T 8 + 3 )			X->I VX + 8+ 3		\/l + 8+ 3 6

4)Числитель и знаменатель дроби — бесконечно большие

функции, поэтому здесь имеет место неопределенность Рас

крывая эту неопределенность, поделим числитель и знамена тель дроби на старшую степень т, т.е. на х 2:

1 + X - х 2 _	+ ; - 1
2х2+ За;	2 + j

Осталось воспользоваться свойствами пределов, а также тем, что функции — и Дг — бесконечно малые при х —> оо:

хх

lim

(Дг +

i - l )

1 + х - х :

х—юо 4

“

: lim

—■ + i -

2х2 + Зх

x - ï o o

2 +|

lim

^ —

lim

п 4. п _

х—>00 х

х—юо

х—>оо

lim

2 + 3

lim

”

2 + 0

‘ 2 *

х—>00

х—>00 Л

Найт и пределы:

6 .4 .1 5 .

6 .4 .1 7 .

6 .4 .1 9 .

6 .4 .2 1 .

6 .4 .2 3 .

6 .4 .2 5 .

6 .4 .2 7 .

6 .4 .29 .

6 .4 .31 .

6 .4 .3 3 .

6 .4 .3 5 .

6 .4 .3 7 .

lim

(5x2 4- 2ж — 1).

6 .4 .1 6 .

lim

5ж 4-1

x—>—2V

S-3Ï ж3 — 2x + 3 '

lim

— .

6 .4 .1 8 .

lim

2х — 8

x—>0 x

— x

i ™

2x + 8*

lim x 2 ~}

t 5 .

6 .4 .2 0 .

lim

4ж3 — Зж2 + x

x-J-5

—

x—>0

lim

д3 t ^

t 2 -

6 .4 .2 2 .

lim

2x2 — a: — 1

—=f^

5—

— =— .

x—>—1

x -* -h

6ar + 5® + 4

ж3 -

x 2 4

Зж -

6 .4 .2 4 .

lim

л;2 + 7ж 4- 6

'•>1" 1

-------

x-fi

2ж3 -

2ж2 + ж -

x->-6 x

+ 6ж" + Зж -b 18’

lim

Va;,+ 2|

- 5 ,

6 .4 .2 6 .

lim

-,x>— .

х-иэ

4 2ж

I - >2

\/x2 + 6ж -

lim

д + 03 ~

3 -

6 .4 .2 8 .

lim

~ x ~

x—>з

v x - 2

— 1

lim

O'8 " *

— 2 .

6 .4 .3 0 .

lim

■ —--~Цу

x—>0

i->4

у/Ъ -

x - y/x — 3

lim

a-' + S x ^ - x 3

6 .4 .3 2 .

lim

1 -

Зж2

x-*oo 2ж

— Ж“ +

x—>oo аг + 7.T — 2 '

lim

6 .4 .3 4 .

lim

y5 -

2л;

Зж

2x 3 + x 2 +

1 '

X—>oo

—

x-*oo

lim

(y/x2 4- 4 — ж).

6 .4 .3 6 .

lim

(

3 , - a:).

X—J’+OO

x -> oo\ x

— 3

Найти пределы:

1 )

lim Sin ОЖ, a €

lim

sin3ar

x—>o

х-ю

lim

co sx

;

5—

lim

x .

2x — 7Г ’

7 x

->0

Сделаем

замену

ах;

тогда

-4

0 при

-4

0 и

lim t

lim

( £ }

lim

lim ^

= а . В

по-

х->0

у—>0

у—►О

следнем равенстве мы воспользовались первым замечательным

пределом.

Таким образом, lim	= а .
х-+0	х

2) Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком пре дела на ж, после чего воспользуемся предыдущим пунктом:

• t-	/ sin 5х \		lim f51— ^)	с
Km Sm^Х — lim	^ х	' —	7 _	5.	*
х-40 sin3x х->0	(§ЩЗ£\		lim (sin3x\	3	*
v	1	7	x-*0V x 7

2) Поскольку У Г Т б х = { l + b x ) i ,

то здесь мы также имеем

дело с неопределенностью 1°°, для раскрытия которой нам сно

ва понадобится одна из форм второго замечательного предела.

Сделаем замену у =

5х. Тогда у -> 0 при х

0 и

lim

\/l +

5х = lim (1 +

«ПТ* =

5 х )5* 5 =

х—>0

lim (l + 2/)у ’5 =

[lim (l + у) у] = е5.

у—>0

Lw—»0

Поделив числитель и знаменатель дроби на х , сведем

данный предел к частному пределов из пункта 1):

lim

lim (

1 +

1 V

- ш .

(1 _ j )

Х—ЮО\Х —2 /

х—>оо у 1 - V

*->оо

lim (1 +

§ )*

lim (1 — I )1

е~2

*->«Л

х '

4) Сделав замену у =■2х и применяя одно из следствий из

второго замечательного предела, получим:

е 2х - 1

еУ - 1

e v - 1

lim — ------ =

lim —=------

lim

= .

х->о

7х

у—*о

±у

7 у-*о

•

6 .4 .4 7 . Доказать, что:

1 )

lim logn,(l + x ) =

7 х-»о

т а

Ит

—

-■ = In а;

х-Ю

/^ \ пх

3)	Ит ( 1 + — ) = етп ;
'	х-»0Ч	X )
4)	Н т 1п(1 + ох> = а.
7	х->0	X

Н айт и пределы:

6 .4 .4 8 .

6 .4 .5 0 .

6 .4 .5 2 .

6 .4 .5 4 .

6 .4 .5 6 .

Ит	2у/\ + Зх.	6 .4 .4 9 .
х->0		6 .4 .4 9 .
х—	\ 3 "I- 2х /	6 .4 .5 1 .
х—	\ 3 "I- 2х /
Ит	( 5 - ^ ) 1+2	6 .4 .5 3 .
х—Юо \0 — X /
lim (l — sinx)îîïïT.		6 .4 .5 5 .
х-И)	7

Ит ( X ~ J X х-*оо\Х + 4 /

lim eI х-+2 X - 2

lim

x— x e

lim x[ln(x + 3) — lnxl. x->oo

Найти пределы справа и слева функции /( x ) = signx в точке

х 0 = 0.

	/(О + 0) = lirn			f( x )	=	lim	1 =	1.
	7	x->o+o		4		х —>о+о
Аналогично находим:
/(О - 0) =		lim	/(х ) =			lim ( - 1) =		- 1.
4	7	Х - + 0 - 0	4	7	х —>0— o v		7
Найти одност оронние пределы функций f( x )						в т очке XQ:

6.4.57.

6 .4.58.

6.4.59.

/ 0*0 =		[х], х 0 = 2.
		Г- 2		при х	^	1 ,
/( х ) —		<	£	ПрИ х	>	1 ;
а)	х 0 =	1	;
б)	.т0 =	1	1 .

Заменяя бесконечно малые эквивалентными, найти пределы:

1 ) lim

7 х—>0 sin Зх

2) lim EIÊI Z I Ü .

7х—>0 1 — COS X

О1) В силу следствия из первого замечательного предела

s in a x ~ a x , х-> 0 . Отсюда (при x-> 0) sin 4x~ 4x, а sin 3x~ 3x, по-

ЭТ0ЫУ	sin Ах	=	4*	4
lim	. —		lim —	=
х->о sin Зх			z-*o Зх	3	2
2) При х -> 0 имеем е х -		1 ~ х и 1 -
				cos ~	откуда
lim Х ' (е* ~ 1}			= lim ^ 4 = 2.		•
х-*0 1 —COST			х—>0 (2_)

Найти п ределы , и спользуя экви валент ны е бесконечно м алы е:

6 .4 .60 .	l i m	№ .	6 .4 .6 1 .	lim ln(Xf 2È .'
	х—>0	£Х		х-ю arcsin Зх

6 .4 .62 .			- 1	6 .4 .6 3 .	lim	£ + 4 .
6 .4 .62 .	i^ïo	ln(l	- 6x) *	6 .4 .6 3 .	lim	£ + 4 .
	i^ïo	ln(l	- 6x) *		x—>0	o	— 1
6 .4 .64 .	lim	у 1 4	- 7 х — 1	6.4.65.	lim arct)g( x - 2l
	x—>0		X		x—>2		X“ — 2x

Дополнительные задачи

И спользуя п ервое оп ределени е предела функции, найт и пределы :

6 .4 .66 .	lim	(х2 — х).
	х->-2
6 .4 .68 .	lim	\/х2 + 27.
	х—>0

6 .4 .6 7 .	lim	5х
	х—>—1 х + 3
6 .4 .6 9 .	lim (x + 2а)5.
	х—>а

Используя второе определение предела функции, доказать, что:

6.4.70.	limsina;а; = 0.	6.4.71.	lim \х\ = 0.
	x—>0		х->сг 1
6.4.72.	lim x3 = 1 .	6.4.73.	lim	= 2.
	х—>1		х->3 X -	1

Доказать, что функция f(x ) не имеет предела в точке хо, если:

6.4.74.}{х ) = sin i, хо = 0.

Найти пределы:
6.4.76.	lim		- g- •
	x—>2 2x + 5
6.4.78.	lim	^ + 1 ± 1.
	x->-l	y/x + D
6.4.80.	lim 3x2 + 5x “ 2
		3x -		1
6.4.82.	lim ( —		---- Л _
	x—>2 \x -		2	X - 4 /
6.4.84.	lim	3 y3 + ,fÿ -5
	y	+ 2 y		- y - 2
6.4.86.	lim	£ = - 8 x n.
6.4.88.	lim V x + h - ^ x
	/i->0		fl

6.4.90.lim У 1 +tt " -1..*->0

6.4.92. lim 5XV 2M ^ . x->oo X —3x

6.4.94.lim K - 3 i S t 9)

х-too (x" + x+ l)(3x~ —4)

6.4.96.lim (\/x2 + l-\/a;2 - l ) .

x—>oo v

6.4.98.limî£3®.

x—►0 X

6.4.100. lim

x->0 x 6.4.102. Ит(х - 2) ctg7ra;.

6.4.77. lim y/4x —1 . x—>2,5

6.4.79.lim (x 2 + -^ - з ) .

	x->\/2 '	X	J
6.4.81.	lim £	l - 2z_±J.
	x—>1	XJ —1
6.4.83.	lim	^xl. ~t>x 2 .
	x->o	x4 + 2 x"
6.4.85.	lim (x + a)3 - x 3
6.4.85.	a —>0	CL
	a —>0	CL
6.4.87.	lim N/ 9 - X - ^
	x->5 3 —y/x + 4
6.4.89.	lim
	x—>\/з V X2 + 6 - 3
6.4.91.	lim	Ц-.
	y-»l ^ 7 - 1

6.4.93.lim 7x 3 - f + Z x = l

6.4.95.	lim (\/я2 + 4 —lOx).
	x—>—oo v
6.4.97.	/	Q	2
6.4.97.	lim ( —f _ .
	X->OO\5X2 + 1		5 x —3
6.4.99.	lim si.n 3x .
	x—>TT sin 2x
6.4.101.	lim * 7	Sîn t
	/i->o /i + sm h
6.4.103.	lim 1 —cos 4х
	х->о 2х •tg 2а:

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 5827 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.91 Mб64Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб34Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб3Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб30Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб36Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб10Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб17Сборник задач по общей физике.-1.pdf