книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

Разложить по формуле Маклорена функцию f(x) до о(хк), где

Более сложные задачи

Доказать тождества:

Можно дать другое, эквивалентное, определение выпуклости вверх (выпуклости вниз): функция /(ж) называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале (а; 6), если график этой функции при х € (а; Ь) распо­

ложен ниже (соответственно, выше) касательной, проведенной в любой его точке (рис. 84,а и б).

Д ост ат очное условие выпуклост и вверх (вни з). Пусть функция /(ж) имеет вторую производную на интервале (о; 6). Тогда, если /"(ж ) ^ О (соответственно, /"(ж ) ^ 0) на этом интервале, то функция f( x ) выпукла

вверх (соответственно, выпукла вниз) на нем.

^Пусть функция /(ж) дифференцируема в некоторой окрестно­ сти точки жо. Тогда если при переходе через точку жо функция меняет направление выпуклости, то эта точка называется точ­

кой перегиба функции /(ж ). Точка (жо, /(жо)) при этом называ­ ется т очкой перегиба графика функции /(ж) (рис. 85,о и б).

Рис. 85

Н еобходим ое условие т очки перегиба. Если жо — точка перегиба

функции /(ж ), то в этой точке вторая производная функция либо равна нулю ( / " ( жо) = 0), либо не существует.

^Точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует, называются крит ическим и т очкам и 2-го рода.

Точки перегиба следует искать среди критических точек 2-го рода.

П ер вое дост ат очн ое услови е т очки перегиба. Пусть функция /(ж)

имеет первую производную в точке жо и вторую производную в некоторой

окрестности этой точки (кроме, быть может, самой точки хо). Тогда если при переходе через точку хо вторая производная меняет знак, то хо — точка перегиба.

Второе достаточное условие точки перегиба. Пусть в точке хо функ­ ция /(х ) имеет производные до третьего порядка включительно. Тогда если /"(хо ) = 0, а / ,,;(хо) Ф0, то хо — точка перегиба этой функции.

Асимптоты

Прямая линия т называется асимптотой графика функции у = = /(х ), если расстояние d от точки М, лежащей на этом графике, до прямой т стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат в бесконечность (рис. 86 а), б), в))2.

Рис. 86

Асимптоты бывают трех видов: вертикальные, наклонные и горизон­ тальные.

Прямая х = хо называется вертикальной асимптотой графи­ ка функции /(х ), если хотя бы один из односторонних пределов

Прямая у = kx+b называется наклонной асимптотой графика

(рис. 86 б)).

Прямая у = кх+6 является наклонной асимптотой графика функции /(х) при х -+ +оо (при х -+ —оо) тогда и только тогда, когда существуют пределы

2Приведенное здесь наглядное описание асимптоты не является, вообще говоря, строгим математическим определением.

Построение графиков функций

При построении графика данной функции целесообразно пользовать­ ся следующей схемой:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность;

3)найти участки непрерывности функции, а так же точки разрыва с указанием вида разрыва;

4)найти точки пересечения графика с осями координат;

5)найти интервалы зиакопостоянства функции;

6) найти асимптоты;

7) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции;

8) найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Н айт и инт ервалы возраст ания и убы вания функции /(ж ):

Проверим, есть ли у графика функции наклонные асимпто­

ты. Находим

Таким образом, прямая у = х — наклонная асимптота графика функции при х —>■-boo. Аналогично получим, что эта прямая

является наклонной асимптотой и при х -+ —оо.

Поскольку угловой коэффициент к наклонной асимптоты

не равен нулю, то график функции не имеет горизонтальных асимптот. •

Н айт и асим пт от ы граф ика функции f{ x ) :

7.4.11.|.

Следовательно, данная функция нечетная и ее график симме­ тричен относительно начала координат. Поэтому далее иссле­ дуем функцию только при х ^ 0.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

сосью Оу график пересекается при х = 0, откуда

У= / ( 0) = о,

т.е. М (0; 0) — точка пересечения с осью О у ;