Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 5830 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Найти производную данной функции в точке X Q :

7 .1.23.	у =	х •arctg х, х 0 = 0.		7 .1 .2 4 .	у = х 4 + х 3 - 175, х 0 = 1.
7.1 .25 .	y =	lj^	, x 0 = e .	7 .1 .2 6 .	у = - У * , х0 = 9.
7.1.27.	Применяя правило дифференцирования сложной функции,
	найти производную функции у:
	1 ) у =		sin2 х;
	2) у =		ln(arctg3x).

О1) Данная функция является композицией двух имеющих

производные функций и = sinх и /(и ) = и2. Так как и' = cosx, а /'(и ) = 2и, то с учетом правила дифференцирования сложной

функции получим:

т/'(х) = (и2)'х = 2и •и' = 2 sinx ♦ cosx = sin2x.

2)Функция ln(arctg3x) — композиция функций u = arctg3x

иf( u ) = In и, откуда

Î,'(X) = (ln u ); = l - u ' =

■(arctgSx)'

Функция arctg Зх, в свою очередь, является композицией двух функций V = Зх и g(v) = arctg v, поэтому для нахождения ее

производной нам придется еще раз применить правило диффе ренцирования сложной функции:

(arctg Зх)' =	(arctg v)'x		1	1	з -	3 -
(arctg Зх)' =	(arctg v)'x		1 + V2	1	з -	3 -
		“	1 + V2	1 + (Зх)2		1 + 9х2
Отсюда окончательно
у ' -	1	•(arctg Зх)' :_		3	.	%
	arctg Зх			(1 + 9х2) arctg Зх

Найти прои зводны е ф ункций:

7 .1 .28 .	у =	cos 5х.	7 .1 .2 9 .
7 .1 .30 .	у = cos3X.		7 .1 .3 1 .
7 .1 .32 .	у =	y/tgX .	7 .1 .3 3 .
7 .1 .3 4 .	У ~	1пх*	7 .1 .3 5 .
	У ~	1пх*
7 .1 .3 6 .	у =	ectgx.	7 .1 .3 7 .
7 .1 .3 8 .	у =	arctg2 X	7 .1 .3 9 .
7 .1 .4 0 .	У =	\/(1 - Зх)2.	7 .1 .4 1 .

у= 73* - 1.

У= (х + I)100.

у= arcsin у/х.

у= In sin х.

у= arccos(ex).

y = Sm9 ( | ) .

y _ a r c s m J 1 + x .

7 .1 .4 2 .

7 .1 .4 4 .

7 .1 .4 6 .

7 .1 .4 8 .

7 .1 .5 0 .

7 .1 .5 2 .

7 .1 .5 4 .

7 .1 .5 6 .

7 .1 .5 8 .

		tg x			7 .1 .4 3 .
2/=ln/ ï? tg x
y =	ln(x +	y/x2 — l).			7 .1 .4 5 .
y = x 3 ■sm (cosx).					7 .1 .4 7 .
y =	log6sin 4x.				7 .1 .4 9 .
	, (.-с +	l)(x	+	3)3	7 .1 .5 1 .
» = ln ( ï +		W	M	) '
y =	sin1 1 + cos4				7 .1 .5 3 .
					7 .1 .5 5 .

У1 7 ^ 7 *

У = (1 +tg 2 3®) -e f .

y = tg4® +| tg34 ® + l tg54®.

y = 3x2 •\/®3 — 5®.

y =	cos ^	+	.
J	1	+	y/x

y=a r c t ^ - ^ + ^ î f g - - .

y =	e sh 2 5 1 .
y =	arccos	+ у/ X — x2.

y = arctg	7 .1 .5 7 .	_	sin2a:	, cos2®
		J	ctga; + l	t g i + Г

Используя логарифмическую производную, найти производные функций:

1)У = Æsinx;

2)у = (х ~ р 3 * ^ \/(® + I)2

О1) Прологарифмируем обе части равенства у = ®smx. Тогда

In у = In ®sin х , т. е. ln у = sin ®•In х. Теперь продифференцируем

последнее равенство, при этом в левой части используем про изводную сложной функции, а в правой — производную произ

ведения: (Inу)7=	(sin® •Inх )1, т.е.		у	= (sin®)7ln®-f sin®(ln®)7
или У- = cos® •In® 4- sin^ .
Отсюда y7 =	y (cos® •ln® -f 31-n x )			или, учитывая, что y =
■ein <r	N	X	J
	y 1 =	x Sin x (cos x •ln ® -f- “			) •

2) Непосредственное дифференцирование данной дроби

привело бы к громоздким вычислениям, зато применение лога рифмической производной позволяет найти ответ без труда:

!	,	(я? - 1)3(® + 2)1/3
'а У	= Ы	( , + !)*/«	'

Отсюда, используя формулы для логарифма произведения, частного и степени, получим:

ln у =	ln(® - I )3 +	ln(® + 2)1/2 -	ln(® -f I)2/ 3,
ln у =	31п(® - 1) +	^hi(® + 2) -	“ ln(® + 1).

Осталось продифференцировать обе части полученного равенства:

)1	=	3	1п(ж - 1) + ^ 1п(ж + 2) - \| 1п(ж + 1)j
(1п у ) '	=	[з	li

или

2/ =

откуда

т.е.

' _ 3 _ _ _ 1 __________ 2

— 1 2(х + 2) 3(х + 1) )•

( х - 1 ) 3л/ж +

2 /

У ~

У ( а + 1)*

- l +

2(x + 2)

3(х +

1) Г

Найти производные:

7 .1 .59 .

У = Xх .

7 .1 .6 0 .

у = x lnl.

7 .1 .61 .

J (х2 + 1)(х + 3)

7 .1 .6 2 .

„

(х3 -

2) - У

( х - 1)

(* - З)3

’

У ~

(Т + 5У 1

7 .1 .63 .

г/= (tg x )C0SI.

7 .1 .6 4 .

у = (!

x2)_C0SSx

УЖ5

7 .1 .65 .

Найти производную неявно заданной функции у:

X3 + у3 = sin(x -

22/)-

О Дифференцируя обе части уравнения и учитывая, что у —

есть функция от х (поэтому, например, (у3)'х =

Зу2 - у1), полу

чим:

о .

2у)(1 -

2у )

Зх2 + Зу2

•у = cos(x -

или

Зж2 + Зу2 •у' =

cos(x - 2у) -

2у •cos(x -

2у).

Отсюда находим у':

3у2у' + 2у' •cos(x - 2у) = соб(ж —2у) - Зж2

или

2 соб(ж -

2у)) =

у '(3у2 +

соб(ж - 2у) - Зж2,

Т 6

/ _

cos(x - 2у) -

Зж2

^Зу2 + 2 соз(ж - 2у)

Найти производную функции у, заданной неявно:

7 .1 .6 6 .	еху -	cos(x2 + у2) = 0.	7 .1 .6 7 .	а“	^ = 1.
				а“	62
7 .1 .6 8 .	х 2 +	у2 = In & + 7.	Т .1.69,	ж sin у + у sin ж = 0.
		Ж

7 .1 .7 0 .

7 .1 .7 1 .

7 .1 .7 2 .

x 4 — у А = х 2у 2.

е у — е — xt/. Найти т/; в точке (0; 1).

Найти производную у'{х) от следующей функции, заданной па

раметрически:	у = 3 sin t.
х = 2 cos t,	у = 3 sin t.
О Производная функции у(х)	находится по формуле у'(х) =
, откуда в нашем случае
'()
(3 sin t)1	3cos t
у\х) = (2 cos t)1	2 sin£	1,5 ctg£.

Н айт и y'(x) для заданны х парам ет рически функций у = у {х ):

7 .1 .7 3 .	х	=	t3 + t, у =	t2 + 1 + 1.	7 .1 .7 4 .	х	=	t - sint,	т/ = 1 cos J.
7 .1 .7 5 .	x	=	e*sih£, Î/ =	e* cos t.	7 .1 .7 6 .	x	=	sin2 1, y	= cos2 1.
7 .1 .7 7 .	x = 5 ch £, y = 4 sh £.
7 .1 .7 8 .	1) Написать уравнения касательной и нормали к параболе у2 =
	=	4х в точке М (1; 2).
	2) Найти точки, в которых касательная к графику гиперболы
	У —		параллельна прямой у = —^ х + 3.
	3) Найти угол, под которым пересекаются кривые
				у = §	И я : 2 — у2 — 1 2 .

О1) Найдем 2/'(х) как производную неявной функции: (у2)1=

= (4х)', т.е. 2уу! = 4, откуда у1 =		Значит, 2/'(х 0) =	2/'(1) = 1.
Отсюда получаем уравнение касательной в точке М :
у — 2 = х — 1: т .е .		у = х + 1.
Теперь найдем уравнение нормали:
2/ — 2 = —(х — 1),	т.е.	2/ = - х + 3.
2) Угловой коэффициент данной прямой равен — i , поэтому
		^	1
производная к кривой в искомой точке хо также равна —
у'(хo) = - J ,	т .е .	=

откуда х 2 = 4, или х = ± 2 .

3) Сначала найдем точку пересечения кривых, для чего

подставим у = — во второе уравнение: я2 ~ ( § ) = 12, или t - ~ = 12, где £ = х 2. Решая последнее уравнение, найдем

t = 16, откуда x =	± 4 , y =		± 2 . Таким образом, имеем 2 точки
пересечения M i(4; 2) и М2( - 4 ; - 2 ) .
Найдем угол (рг пересечения кривых в точке Mj, предвари
тельно вычислив	(4) и 1/2(4) из уравнений j/i = — и х 2 —т/\|=12:
,	8		2/К4) =	- j g		= - ° . 5;
2/1 =	— 2
(* 2 - 2/\|)' =		12'	= > 2 х -	2у2 -у'2 = 0
	2/2		2/1(4)=			2 = 2 .
		2/2

Теперь окончательно найдем
	_	2/1(4) —2/1(4)			_ 2	+ 1
tg¥>i		1 + 2/1(4)2/1(4)			1 - 1 '

Поскольку знаменатель дроби обратился в ноль, то это озна чает, ЧТО (f i =

Аналогично находим угол <^2 =	^ во второй точке пересе
чения данных кривых.	•

Найти уравнения касат ельн ой и норм али к данной кривой в т очке хо:

7 .1 .7 9 .	у = ех , хо = 0.
7 .1 .8 0 .	у = sinx, хо =
7 .1 .8 1 .	В какой точке касательная к кривой у = 1пх параллельна пря
	мой:
	а) у = 2х + 5;
	б) у = х + л/З?
7 .1 .8 2 .	Найти углы, под которыми пересекаются кривые у2 = 2х и
	ж2 + У2 = 8.
7 .1 .8 3 .	Найти:
	1) / /;,(х), где /( х ) = sin3x;
	2) у£х для функции у = 2/(х), заданной параметрически х = £2,

2/ = *3.

О1) Находим первую производную:

f ( x ) = (sin3x)' = 3cos3x.

Отсюда получим вторую производную —

/" (х )	= (3 cos Зх)' =	—9 sin Зх,
а затем и искомую третью:
/" '(х ) =	(-9 s in 3 x )' =	—27 cos Зх.

2)Воспользуемся формулой

,,x't•Ун- y't•x'tt

Ухг (а.;)з

откуда

„	(t2)' •(t3)" - (t3)' •(t2)"		2t -6t —3t2 -2	6t2	3
Vxx ~	[(i2)']3	”	(21)3	~ 8t3 “	41'

Н айт и производны е указанны х порядков для следую щ их ф ункций:

7 .1 .8 4 .	у = tg Зх, у" =?	7 .1 .8 5 .	у = - X •COS X, у" =?
7 .1 .8 6 .	у = In2 х, у" =?	7 .1 .8 7 .	у =	X	•		у"' =?
					In X,
7 .1 .8 8 .	У = е2х, у М =?	7 .1 .8 9 .	у = 1п(1 + х), у(п) =?
7 .1 .9 0 .	х = t3, у = t2, у"г =?	7 .1 .9 1 .	х = c o st,			у = sinf, у"х

Дополнительные задачи

П ользуясь оп ределением , найт и производные следую щ их функций:

7 .1 .9 2 . у = - 4.					7 .1 .9 3 . у = е*.
7 .1 .9 4 .	у =	5<3 —2f + 7.			7 .1 .9 5 .	/(Д )		.
Найт и / ;(хо)		по определению производной:
7 .1 .9 6 .	/(я ) =		4х	— Зя + 8, а?о == 1 .7 .1 .9 7 .		f{ x ) = cos2x, XQ = 0.
Найт и производные функций:
7 .1 .9 8 .	у =	5%/ г		+ р - - ^ .	7 .1 .9 9 .	у = 10а:в _ 1		+ з ^ г .
7 .1 .1 0 0 .	у =	2 ctg x — 3 sin х.			7 .1 .1 0 1 .	у =	arctg x +	7 - es .
7 .1 .1 0 2 .	у =	19* -		8arcsinx.	7 .1 .1 0 3 .	у =	(х 2 _ 1)(х з + х )
7 .1 .1 0 4 .	^ (а ) =		3 arcsin а —4 arccos а + 14 ^ 5 .
7 .1 .1 0 5 .	/ ( 0	=	j	^2•	7 .1 .1 0 6 .	у == 3sin2 x —lg x + 3cos2 x.
7 .1 .1 0 7 .	у = f i ) * - 4 + 4 * .				7 .1 .1 0 8 . у = e l ± J n x
				л			е* — ln x '
7 .1 .1 0 9 .	у = (х + 1)(х + 2)(х + 3).				7 .1 .1 1 0 .	у = (х*-1)(х2-3)(х2- 5)-
7 .1 .1 1 1 .	/ ( » ) -				7 .1 .1 1 2 .	, - ,
7 .1 .1 1 3 .	у ~	у /х (х ъ+ у/х —2).			7 .1 .1 1 4 .	у =		.ina;5.

Найти производную данной функции в т очке XQ:

7 .1 .1 1 5 . f( x )	= - 2 г г т , *о = 1.
7 .1 .1 1 6 . f( x )	= 4x + 6 ^ i , XQ = 8.

7 .1 .1 1 7 .	f( x )	=	X2 + 3sinX — 7ГХ, XQ =
7 .1 .1 1 8 .	/( x )	=	e*+1 •(4x - 5), x0 = ln2.

Найти производны е функций:

7 .1 .1 1 9 .

7 .1 .1 2 1 .

7 .1 .1 2 3 .

7 .1 .1 2 5 .

7 .1 .1 2 7 .

7 .1 .1 2 9 .

7 .1 .1 3 1 .

7 .1 .1 3 3 .

7 .1 .1 3 5 .

7 .1 .1 3 7 .

7 .1 .1 3 9 .

7 .1 .1 4 1 .

7 .1 .1 4 3 .

7 .1 .1 4 5 .

7 i 1/jc

'.1 .1 4 6 .

7 .1 .1 4 7 .

y = 10l2+1.

y = ch4 | .

y = cos4 x - sin4 x.

7/ = ^ 1 + ctg lOx.

x= In4 sin 3t.

y= — -•— . arcsin x

_ x ln x x - r

?/ = x arcsin x 4- \/l -

7 .1 .1 2 0 .

7 .1 .1 2 2 .

7 .1 .1 2 4 .

7 .1 .1 2 6 .

7 .1 .1 2 8 .

7 .1 .1 3 0 .

7 .1 .1 3 2 .

7 .1 .1 3 4 .

7 .1 .1 3 6 .

y = tg4x.

y = ln(5x3 - x).

y = \/4 — 7x2.

y = (sin3x - cos3x)2.

f( h ) = arctg y/h.

7/ _ sinx

1 + tgx*

y = sh(ln(tg 2x)).

y __ gsin3 2x+4sin 2x

y = arcsin y/1 —X2.

y — x •2 ^ .

7 .1 .1 3 8 .

5 (1 / logs*).

6 ш X + 3 ■

7 .1 .1 4 0 .

ln(e21 +

1) — 2 arctg e x.

y _

7 .1 .1 4 2 .

У =

tg 3x + ln cos2 3x

2\ /l — x 4

y =

l n

j } -

œ s x .

7 .1 .1 4 4 .

f( x \ =

arcts ? ______ ® _

V 1 + cosx

2(1 + x 2)'

f( x )

^ x \

1 + arctg k

y =

лл

• x + 1

(3x — 19)\/3 — 2x — x 2

1 4 arcsin

--~2

■" ~

A------------

2-----------------*

y =

ln(^2 + 2) +

2 - x

1 arctg

4 (x2 + 2)

4V 2

b V2

Н айт и производны е функций, и сп ользуя логариф м ическую производную:

7 .1 .1 4 8 .	у =	x arctgx.			7 .1 .1 4 9 .	у =	(ж2 +	1 ) ^ .
7 .1 .1 5 0 . У =		е х - ( ж + 4 ) 4			7 .1 .1 5 1 . П, -		Х3 \ /х - 1 0			6*
		\ / 5 ж — 1				^ “ (х2 * ^ 3 ^				6*
7 .1 .1 5 2 . у =		3 х • х ъ • л / ж 4 + ж .			7 .1 .1 5 3 . f( t ) = t ^ î .
Н айт и производную				функции у , заданной неявно:
7 .1 .1 5 4 .	v/æ -Ь		=	л/5.	7 .1 .1 5 5	. ж2 +	Зу2 -	4жт/ + 10 =			0.
7 .1 .1 5 6 .	arcsin^		= у\пх.		7 .1 .1 5 7	. arctg?/ = х 2у.
7 .1 .1 5 8 . хУ -у х = 1.
7 .1 .1 5 9 .	ж2 + у2 = 4. Найти ?/' в точке (—\/2; \/2).
Найт и у'{х)		для заданны х парам ет рически функций у = у (х ):
7 .1 .1 6 0 .	x =	t3, y	=	3t.	7 .1 .1 6 1	. ж =	cos3	у =	sin3
7 .1 .1 6 2 .	х =	£ ± 1 , у		= L	f 7 .1 .1 6 3 .	x =	t — arctgt,		j/ =	у	+ 1.

Н айт и уравнения касат ельной и норм али к данной кривой в данной точ ке:

7 .1 .1 6 4 .	у = ж3, жо =	—2.
7 .1 .1 6 5 .	х 2 + у 2 = 4,	М0 = (1; у/З).
7 .1 .1 6 6 .	у = 2х — ж2 в точках пересечения с осью Ох.
7 .1 .1 6 7 .	x = t2,y = t3, to = 2.
7 .1 .1 6 8 .	В какой точке касательная к параболе —ж2 + 4ж — 6 наклонена
	к оси абсцисс под углом

а ) 0 ° ;

б) 45°?

Н айт и угол м е ж д у кривым и:

7 .1 .1 6 9 . у = ж3 + Зж2 + 2ж и у = —5ж — 5.

7 .1 .1 7 0 . у = sinx и у = cos ж, 0 ^ ж ^ 7Г.

Н айт и производны е указан н ы х порядков для следую щ их ф ункций:

7 .1 .1 7 1 .	у = In cos ж, у" = ?	7 .1 .1 7 2 .	у =	sin2 ж, у" = ?
7.1.173.	у = 5х,у"=?	7.1.174.	у =	у" =?

7 .1 .1 7 5 .	f { x ) = x e x , f " ( x ) = ?				7 .1 .1 7 6 .	г (</?) = cosy?, r(IV4<P)
7 .1 .1 7 7 .	у =	In x,	yW	= ?	7 .1 .1 7 8 .	a;=cos3ty 7/=sin3 £, Ухх = г?-
7 .1 .1 7 9 .	z =	e3^	=	e5S 2/"x = ?
Более сложные задачи
7 .1 .1 8 0 .	Доказать, что:
	1 ) производная четной функции — нечетная функция;
	2) производная нечетной функции — четная функция.
7 .1 .1 8 1 .	Пусть функция f( x ) — периодическая с периодом Т. Доказать,
	что /'(а;) (если она существует) также периодическая функция
	с периодом Т .
7 .1 .1 8 2 .	Доказать, что функция у				= \|я\| не имеет производной в точке

х 0 = 0.

7 .1 .1 8 3 * . Построить пример функции, непрерывной на всей действитель ной прямой и имеющей производную всюду, кроме точек 1 и 2.

				Рис. 81
7 .1 .1 8 4 .	Исходя из графика функции (рис. 81), указать точки, в кото
	рых функция не имеет производной или разрывна.
7 .1 .1 8 5 .	Дифференцируя данные тригонометрические тождества полу
	чить соответственно формулы для cos 2а;, cos За; и cos(x + а),
	а	=	const:
	1 )		sin 2a; =	2 sin x cos x;
	2)	sin 3x =		3 cos2 x sin x — sin3x;
	3)	sin(a; 4- a) = sin x cos a 4- cos x sin a.
7 .1 .1 8 6 .	Доказать, что:
	1 )		(a*)<n) =	a x lnn a;
	2) (sin x )^			= sin^x+

3) (cosa;)(n) = cos^a; 4-

7 .1 .187 . Доказать частный случай (при п = 2) формулы Лейбница для второй производной произведения: если и(х) и v(x) имеют вто рые производные, то

(uv)" = u"v + 2uV + uv”

7.1.188 . Верно ли, что если функция Д х) имеет производную в точке х0, а функция g(х) — не имеет, то функция f{x)g(x) также не имеет производной в точке хо ?

§2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ Понятие дифференциала

^Пусть функция у = Д х) определена в некоторой окрестности точки XQ. Тогда если существует такое число А, что прираще ние Ау этой функции в точке хо, соответствующее приращению Ах аргумента, представимо в виде:

Ау = А •Ах + а(А х) •Ах,

(2.1)

где Нш а(А х) = 0, то функция /(х ) называется дифференци-

Дх—>0

руемой в точке хоПри этом главная, линейная относительно Ах, часть этого приращения, т. е. А •Ах, называется дифферен циалом функции в точке хо и обозначается dy или df(x0).

Нетрудно показать (положив у = х в формуле (2.1)), что dx = Ах. Функция /(х ) дифференцируема в точке х0 тогда и только тогда,

когда в этой точке существует конечная производная /'(хо); при этом

А = / ;(хо). Поэтому df(x0)	= f'(xo)dx,	или, если / ;(#) существует на
данном интервале (а; 6), то
dy =	/'(x )d x , х	е (а; 6).

Отсюда f'(x) = 2^, т.е. производная функции у = /(х ) в точке х равна

отношению дифференциала этой функции в данной точке к дифферен циалу независимой переменной.

Если приращение Ах аргумента х близко к нулю (т. е. достаточно ма ло), то приращение Ау функции приближенно равно ее дифференциалу, т. е. А у w dy, откуда

Дхо + Ах) « f (х0) + / ;(х0)А х . 4-----V----- '

df(xo)

Последняя формула удобна для приближенного вычисления значения функции Д х) в точке хо + Ах по известному значению этой функции и ее производной в точке XQ.

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 5830 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.91 Mб61Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб34Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб2Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб28Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб35Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб10Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб17Сборник задач по общей физике.-1.pdf