книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

тогда В = 3 •( “ 5 ^ ) + А т - е- В = ~^D . Подставляя найден­

ные значения А и В в уравнение Ах -I- By + D = 0, получаем

- î D* + { - ^ü\y + D = 0. После сокращения на f —

урав-

нение искомой плоскости приобретает вид Зх + 4у —5 = 0.___

2)

Используем уравнение (2.3) плоскости. Вектор М\М2

имеет координаты М\М2 = (—1 —3;2 — (—1); 5 — 2) или М\М2 =

= (—4; 3; 3). Так как искомая плоскость перпендикулярна век­

тору М\М2, он является ее нормалью и, следовательно, значе­

ния параметров Л, В, и С в (2.3) равны —4, 3 и 3 соответствен­

но. Уравнение плоскости, таким образом, имеет вид

-4 х + Зу + 3z + D = 0.

Точка M i(3; — 1; 2) по условию задачи лежит в плоскости. Сле­

довательно, подстановкой координат точки М\ в уравнение

плоскости получим тождество:

- 4 - 3 + 3 * ( - 1 ) + 3 - 2 + Я = 0.

Отсюда находим, что D = 9. Уравнение искомой плоскости:

—4х + Зу + 3z + 9 = 0.

•

5.2.7.

Составить

уравнение плоскости, проходящей через точку

М о(2;3;—4) и параллельной векторам а = (—3; 2; —1) и Ь

=

= (0;3;1).

М Г М 3 = (0 - 1; - 3 -

0; 1 -

(-1)) = (-1; -3; 2);

п = М\М2 х M iM 3 =

i

3

1

2

- 1

- 3

i(4 - ( - 3 ) •4) - J(1 •2 -

( - 1) •4) + k(l •( - 3) - 2 •( - 1)) =

16i - 6j -

k;

n =

(16; - 6 ; - 1) .

Замечание. Приведенное решение задачи по сути является

обоснованием формулы (2.5).

•

5.2.11.

Составить

уравнение плоскости,

проходящей

через

точки

Mi (—2; 0; 0), М2(0;4;0), М3(0;0;5).

5.2.12.

Составить

уравнение плоскости,

проходящей

через

точку

М (1; —2; 3) и линию пересечения плоскостей 2х — у + 2z —6 = 0

и Зх + 2у -

z + 3 = 0.

О Линия пересечения плоскостей — прямая. Выберем на ней

две произвольные (несовпадающие) точки и сведем задачу к

предыдущей — определение уравнения плоскости, проходящей

через три заданные точки.

Координаты точек прямой, заданной пересечением плоско­

сти 2х - у + 2z - 6 = 0 и Зх + 2у - 2 + 3 = 0, — это решения

системы

/

I 2х - у + 2z - 6 = 0,

решение которой у =

- 8 ;

2 =

—4. Найдена вторая точка на

прямой (обозначим ее М з ) ,

координаты которой М

з

( 3

;

— 8 ; — 4 ) .

Теперь есть три точки Л / i

(1; —

2; 3 ) , А / 2 ( 0 ; 0

; 3 ) и М

з

(

3

; - 8 ; - 4 ) ,

определяющие в пространстве плоскость. Ее уравнение нахо­

дится способом, показанным в решении задачи 5.2.7. Уравнение

искомой плоскости: 14а; 4- 7у — 2z 4- 6 = 0.

•

5.2.13.

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 1; 1)

перпендикулярно к

линии

пересечения

двух

плоскостей

х - у 4- 2z — 3 = 0 и 2а: — 2 4- 4 = 0.

5.2.14.

Найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересе­

чения двух плоскостей а; — 22/4-32 — 4 = 0 и а;4-?/ — 52 4-9 = 0

и параллельной оси Ох.

Дополнительные задачи

5.2.15.

Найти объем пирамиды, ограниченной плоскостью x+3y —5z —

— 15 = 0 и координатными плоскостями.

5.2.16.

Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала коорди­

нат на плоскость 20а: -

Ъу 4- 42 - 210 = 0 и угол, образованный

этим перпендикуляром с осью Oz.

5.2.17.

Найти плоскость, зная, что точка М ( 2 ; - 4 ;4 ) служит основа­

нием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту

плоскость.

5.2.18.

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от точек

Мг{2; 1; —2) и М2( - 2 ;3 ;4 ) .

5 .2 .19 .

Найти уравнение плоскости, отсекающей на отрицательной

полуоси Оу отрезок, равный 4, и перпендикулярной вектору

Я = ( 3 ; - 2 ; 4 ) .

Mi(4;2;3)

и Мг(2; 0; 1) и перпендикулярной

к плоскости

х + 2у + 3z + 4 = 0.

5.2.21. Составить

уравнение плоскости, проходящей

через точку

6 = 3, с = 3.

5.2.24.

Найти уравнение плоскости, проходящей через основания пер­

пендикуляров, опущенных из точки М (2; 2; 2) на координатные

плоскости.

5.2.25.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

М (2; —2; 5) и отсекающей на осях Ох и Оу втрое большие от­

резки, чем на оси Oz.

5.2.26.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М\

перпендикулярно вектору М\Мо = г — j — 3fc, зная точку

Ма( 2 ; - 8 ; - 1 ) .

5.2.27.

Найти точку пересечения следующих плоскостей:

1) х - Зу + 2z - 11 = 0, х - 2у + г - 7 = 0, 2х + у - z + 2 = 0;

2) Зя + у + г - 5 = 0, х - 4г/ — 2z + 3 = 0, Зж - 12у — 6z + 7 = 0.

х — XQ У - Уо

Z - ZQ

7711

П\

Р1

= 0.

то

712

Р2

5.2.29.

Составить уравнение

плоскости,

проведенной через точку

Мо{хо;уо] zo) параллельно вектору а = {ах\ау;аг) и перпенди­

кулярно плоскости Ах + By 4* Çz + D = 0.

5.2.30.

Составить уравнение плоскости, проходящей через начало ко­

ординат, точку Л/о(—1; 2; 1) и точку

пересечения

плоскостей

2х —Ау -h 5z = 21, х - 3z + 18 = 0, 6х + у + z —30 =

0.

5.2.31.

Плоскости х = 0, у = 0, z = 0 и Зя+7/—2z—18 = 0 образуют тре­

угольную пирамиду. Найти объем куба, вписанного в пирамиду

Найти величину острого угла между плоскостями:

1)

х + у —2z + 5 = 0 и 2х -f Зу + 2 — 2 = 0;

5 .2 .4 3 .

2) 2 х — 2 у + z = 0 и z = 0.

Написать

уравнение

плоскости,

параллельной

плоскости

х —2у + 2z 4- 5 = 0 и удаленной от точки М (3; 4; —2) на рассто­

яние d = 5.

О

Уравнение искомой плоскости ищем в виде х — 2 у 4- 2 z +

4- D = 0. Найдем значение D. Так как точка М

удалена от

искомой плоскости на расстояние d = 5, то по формуле (2.15)

записываем

|3 —2 •4 4- 2 •(—2) 4- Р\

ИЛИ

■■ |Д -9|

V I + 4 + 4

з

’

т. е. 15 =

±(D —9), откуда D = 24 и D = —6. Условию за­

дачи удовлетворяют две плоскости х —2 у + 2z + 24

= 0 и

х —2 у 4- 2 z - 6 = 0.

•

5.2.44.

Найти расстояние между параллельными плоскостями:

1) х + у —z —2 = 0 и 2.т + 2у - 2z + 5 = 0;

2)

2х - Зу + 6 z -

14 =

0 и 2х - Zy + 6z + 42 = 0.

5.2.45.

Найти расстояние от точки Mo(5; 4; —1) до плоскости, проходя­

5.2.46.

щей через точки M i(0;4;0), М 2 (0 ;4 ;-3 ), М з(3;0;3).

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей через

точки

M i(—1; 3; 0) и

М2(2; 4 ;— 1),

перпендикулярно

плоскости

х — 2у + 3z — 10 = 0.

в виде Ах 4- By + Cz + D = 0.

О

Ищем

уравнение плоскости

Точки Mi

и Mo лежат в искомой плоскости, следовательно,

вектор М\Mo также лежит в ней. Его координаты: M iM 2 =

г

3

к

щ = М\М х п = 3

1

- 1

= г(3 - 2) - J(9 + 1) + &(—6 -

1);

1

- 2

3

ni = (1; —10; —7). Уравнение

искомой плоскости имеет

вид

х — 10у —7z + D = 0.

Подставляя координаты точки Mi =

= (—1; 3; 0)

(или М2), лежащей в плоскости, п это уравнение,

находим, что D = 31. Уравнение искомой плоскости имеет вид

х —10у — 7z + 31 = 0.

•

5 .2 .4 7 . Составить

уравнение плоскости, проходящей через начало

координат

и точку М (2 ;1 :-1 ) перпендикулярно плоскости

5 .2 .6 1 .

Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пе­

ресечения плоскостей А\х + В\у + C\z + D\ = 0 и Аох + В2У+

+ C2 Z + D2 = 0 и начало координат.

5 .2 .6 2 .

Найти уравнение плоскости, параллельной оси Оу и проходя­

щей через точки M\(ai]bi;ci) и М г(а 2 ; bo\С2 ).

5 .2 .6 3 .

При каких значениях а и р уравнения будут определять па­

раллельные плоскости:

1) 2х + ay + 3z - 8 = 0 и 0х — 6т/ — 6 z + 4 = 0;

2) сих + 2 у - 3z + 11 = 0 и Зя - 5у - pz - 2 = 0?

5 .2 .6 4 .

Определить, при каких значениях 7 следующие пары уравне­

ний будут определять перпендикулярные плоскости:

1)

4.т -

7у + 2z - 3 = 0 и —За; + 2у + 72 4- 5 = 0;

2)

х -

7?/ + z = 0 и 2х + Зт/ + 7 2 : - 1,2 = 0.

5 .2 .65 .

Пересекаются ли плоскости 2х —у Л- z —140 = 0, х — z = 0,

х + оу - 2 z + 1 = 0?

(яо,2/о,*о) параллельно вектору â =

(га,п,р), имеют вид

х - х р _ у - у о _ z - z p #

.

т

п

р 1

'

< У - У 0 + nt,

(3.2)

г = г0 + p i,

имеет вид

f = го + st,

(3.3)

где г0 = (хо',Уо;го), s = (m ;n;p).

3. Уравнение прямой, проходящей через две точки

«

M2(x2;y2;z2), где xi ф х2, yi ф у2, zi ф z2, имеет вид

Х-Х\ _ у - у 1 _ 2 - 2 1

(3.4)

х2 - XI

у2 - 7/1

22 - 21