книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

Найти интегралы, используя таблицу неопределенных интегралов, и р е­ зульт ат проверить дифференцированием:

Найти интегралы, используя основные свойства неопределенного инт е­ грала:

т. e. при интегрировании произведения двух функций под каждой из них

рисуется стрелка, при этом на конце одной стрелки ^интегральной / j j

пишется первообразная соответствующей функции, а на конце другой

части равенства получается произведение функции, стоящей на конце ин­ тегральной стрелки, на функцию в начале другой стрелки (эти функции соединены пунктиром в формуле (2.5)) минус интеграл от произведения функций на концах стрелок. Или, более кратко, справа получается: конец интегральной стрелки на начало другой минус интеграл от произведе­ ния функций на концах стрелок.

8. 2.1 Найти интеграл, используя подходящую подстановку:

1)J ( 7 x - l ) 23dx;

2)J х2 •sin(a:3 + l)dx;

вычисляется с помощью свойства 5 интеграла из предыдущего параграфа. Однако такие интегралы можно находить и с помо­ щью замены переменной.

Возвращаясь к переменной ж, получим окончательно:

/ ( 7 х - 1 ) 23^ = ^ ~ 8 1)2- + С .

2) Подынтегральное выражение содержит сложную функ­ цию sin(x3 + 1), поэтому стоит попробовать подстановку t =

стоит в знаменателе подынтегральной дроби, то целесообразно

сделать замену t = x2 + 1- Тогда

г xdx_=rk£=1 Г±=l j n щ+c =

Последний из разобранных интегралов является частным случаем

стоит производная знаменателя), решаемых с помощью замены t = f(x).

Первый из двух последних интегралов — табличный, а во втором надо сделать подстановку £ = А. Тогда dt = — от­

куда х = —dt. Следовательно,

Учитывая, что t = arcsinx, получим окончательно:

\/1 - X2dx = - ctg(arcsinx) - arcsinx + С =

/

— arcsin х + С.

2) Сделаем замену х = £2, чтобы корни извлекались нацело:

Найти интегралы, используя подходящую подстановку х = ^(£):

8.2.20. Найти интеграл, используя интегрирование по частям:

1) J х •е1 dx;

2) / l „ xdx;

3)/ х2 cos х dx.

Q 1) Проинтегрируем по частям, используя метод стрелок:

J х •е1 dx = х •ех — J ех dx = хех — ех + С.

Заметим, что если бы мы поменяли порядок стрелок, то в итоге получился бы более сложный интеграл:

[ х - е х dx = 7- •ех — [ - - е1 dx.

У/И'

Умение выбирать нужный порядок стрелок (к счастью, здесь возможны только два варианта) приходит с практикой.

2) Для того, чтобы к этому интегралу можно было при­ менить метод стрелок, необходимо иметь произведение двух

функций под знаком интеграла. Для этого домножим подын­ тегральную функцию на единицу. Тогда

[ In х dx = f1 •Inx dx = x •Inx - [ x •- dx = x Inx - [ dx =

3)Воспользуемся методом стрелок:

/ x2 •cos x dæ = x2 •sin x - / 2x sin x dx.

y4 \ | ;

2x •sin x

После однократного применения метода стрелок получили более простой интеграл. Тем не менее для его вычисления тре­ буется еще раз применить этот метод:

ОИспользуем метод стрелок:

[ ех •cos x dx = ех •sin x — / е* •sin x dx.

ex •sin x

К полученному в правой части равенства интегралу (отме­ тим, что он, в сущности, не проще исходного) снова применим

метод стрелок:

В итоге снова получили исходный интеграл, и может по­ казаться, что решение зашло в тупик. Однако, перенеся этот интеграл в левую часть равенства, получим1

При вычислении некоторых интегралов приходится комбинировать подстановку с методом интегрирования по частям.

8 .2 .30 . Найти интеграл:

1)J arctgxdx;

2)J sin yfxdx.

О1) Сначала воспользуемся методом стрелок:

x dx

/ 1 •arctgxdx = xarctg x ■ / 1 + х2 ’

/ И '

1 4" х*

1Появление константы С объясняется тем, что фактически все интегральные фор­

мулы, в том числе и формула интегрирования по частям, верны с точностью до кон­ станты, которую обычно в этих формулах не пишут. Ну а поскольку в данном случае произвольная константа С неявно присутствует в интеграле из левой части равенства, то она должна появиться и в правой части.