книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс
..pdf
|
|
H + R |
|
|
|
( - s/к1- |
|
|
|
|
Р = ду |
I |
(vAR2 - |
(x - Я )2 - |
(х - |
H f ) ) x d x = |
|||||
|
|
H - R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H + R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2ff7 |
J |
Xy/R2 ~ { x ~ H ) 2dx = |
|
||||
|
|
|
H - R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x — H = t , a; = t + Я , dx = dt, |
|
|
|||||
|
|
|
|
t\ = —P , to —P |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2(77 |
f |
(t + H)y/R:2 - t 2dt = |
|
|
|||
|
|
|
|
- R |
|
|
|
|
|
|
|
/ |
i |
R |
|
|
|
л |
|
|
ч |
= |
2fl7( ~ 2 / |
(л '2 - |
<2) ^ ( л 2 - |
<2) + |
я / |
V R 2 - t 2 dt\ = |
||||
|
' |
-л |
|
|
|
|
- д |
|
|
' |
. |
/ 1 2\/(Rr—t'2)3 |
П |
a ( t |
r ^ r ^ ; |
R2 |
. |
t \ |Л \ |
|||
=2» 4 '2 ------3----- _„+Hb '/5^ |
+T " CS", 2 jL J = |
|||||||||
|
|
|
|
|
= 2-)RH т |
( | + | |
) = „ » „ Я’ |
|||
Подставляя значения г/, 7 , H , P, 7г получаем |
|
|
||||||||
|
|
P |
= 9,81 |
1020 •тг •10 •0,04 « 12,6 кН. |
• |
9.3.258. Найти давление воды (плотность 7) на вертикальную пластин ку, имеющую вид равнобедренной трапеции. Высота ее равна /i, большее основание — Ь, меньшее, лежащее на поверхности воды, равно а.
Рис. 111
О Введем систему координат так как указано на рисунке 111. Давление жидкости на различные слои пластинки разное: за висит от глубины погружения х. Для решения задачи приме ним «метод дифференциала».
9 .3 .265 . |
Найти координаты центра тяжести однородной дуги (7 = const) |
|
окружности х2 + у2 = R 2, расположенной в третьей координат |
|
ной четверти. |
9 .3 .266 . |
Вычислить момент инерции относительно осп Оу окружности |
|
х 2 + у 2 = Я2, масса которой равна т . |
9 .3 .267 . |
Найти координаты центра тяжести однородной дуги астроиды |
|
х = cos3 t, у = sin3£, расположенной левее оси Оу. |
Дополнительные задачи
9 .3 .268 . |
Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной ско |
|
ростью VQ, без учета сопротивления воздуха, равна v = Vo —gt, |
|
где t — протекшее время, g — ускорение свободного падения. |
|
На каком расстоянии от начального положения будет находит |
|
ся тело через t секунд от момента бросания? На какую макси |
|
мальную высоту поднимется тело? |
9 .3.269. |
Скорость движения точки v = te~°'üot м/с. Найти путь прой |
|
денный точкой от начала движения до полной остановки. |
9.3.270. |
Найти работу, которую надо затратить, чтобы выкачать жид |
|
кость (плотность 7) из вертикального цилиндрического резер |
|
вуара высоты Я и радиусом основания R. |
9.3.271. |
Найти работу, затраченную на выкачивание жидкости (плот |
|
ность 7) из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина ко |
|
торого Я , радиус R. |
9.3.272. |
Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение ко |
|
торой имеет форму равнобочной трапеции. Размеры трапеции |
|
(плотины): а = 7м (низ), b = 12м (верх), h = 5м. Считать, что |
|
плотность воды 7 = 1000кг/м3, ускорение свободного падения |
|
g = 10 м/с2. |
9.3 .273 . |
Пластинка в виде треугольника с основанием а и высотой h вер |
|
тикально погружена в воду вершиной вниз тале, что его основа |
|
ние находится на поверхности воды. Вычислить силу давления |
|
воды. |
9 .3 .274 . |
Найти давление спирта (7 = 830 кг/м3), находящегося в цилин |
|
дрическом баке высотой 3 м и радиусом 4 м на боковую стенку |
|
бака. |
9 .3 .275 . |
Найти статические моменты и моменты инерции однородной |
|
дуги (7 = const) астроиды х = 2 cos3t, у = 2 sin3 t, расположен |
|
ной в первой четверти. |
9 .3 .276 . |
Найти моменты инерции окружности (7 = 1) радиуса R отно |
|
сительно ее диаметра. |
9 .3 .277 . |
Найти центр тяжести четверти окружности х2 + у2 = Я 2, распо |
|
ложенной в первом координатном углу, если в каждой ее точ- |
|
ке линейная плотность пропорциональна произведению коор |
|
динат точки. |
9.3.278. |
Найти центр тяжести однородной (7 = const) дуги окружности |
|
.г*2 + у2 = Л2, стягивающей угол а. |
9.3.279. |
Найти массу и статические моменты относительно координат |
|
ных осей Ох и Оу дуги астроиды :сз + yt = а з 5расположенной |
|
в первой четверти, если линейная плотность в каждой ее точке |
|
равна 7 = х. |
9.3.280. |
Найти статический момент окружности г = 4sin</? относитель |
|
но полярной оси. |
Более сложные задачи
9.3.281. |
Точка оси совершает гармонические колебания около начала |
|
координат со скоростью v = VQCOS ut, где t — время, LJ — угло |
|
вая скорость, vo начальная скорость. Найти закон колебания |
|
точки и среднее значение абсолютной величины скорости за |
|
период колебаний. |
9.3.282. |
Скорость движения точки меняется по закону v = 12t — 3£2м/с, |
|
где t — время. Найти: путь, пройденный точкой за вторую |
|
секунду; среднюю скорость движения за промежуток времени |
|
[0; 2]; перемещение точки за первые 6 секунд движения. |
9.3.283. |
Из одной точки в одном направлении одновременно начинают |
|
двигаться два тела со скоростями v = 2t2 — 41м/с и Ы 4- ^ м/с |
|
соответственно. Через сколько секунд и на каком расстоянии |
|
тела снова будут вместе? |
9.3.284. |
Пластинка в форме параболического сегмента с основанием а, |
|
высотой /i, толщиной d вращается вокруг осп параболы с посто |
|
янной угловой скоростью си. Плотность материала пластины 7. |
|
Найти кинетическую энергию пластинки. |
|
Указание. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг |
|
неподвижной оси, равна К = ACJ2J, где ш — угловая скорость, |
|
J — момент инерции; момент инерции материальной точки от |
|
носительно оси равен произведению массы точки на квадрат |
|
расстояния до оси. |
9.3.285. |
Дубовая прямоугольная балка плавает в воде. Ее размеры: |
|
а = 4м, Ь = 2м, с = 0,5 м; плотность 7 = 0,8кг/дм3. Вычи |
|
слить работу, необходимую для извлечения ее из воды. |
9.3.286. |
Какую работу надо затратить, чтобы остановить железный шар |
|
радиуса 1?, вращающийся с угловой скоростью и вокруг свое |
|
го диаметра. (Плотность железа 7 . Работа равна кинетической |
|
энергии шара.) |
9 .3 .287 . Какую работу затрачивает подъемный кран при извлечении медного конуса из морской воды? Конус с вертикальной осью погружен в воду так, что его вершина находится на поверхности воды. Высота конуса Н = 1 м, радиус основания R = 1м, плот ность меди 7i = 8900кг/м3,а морской воды 70 = 1020кг/м3.
9 .3 .288 . Тело, температура которого 30°, погружено в термостат (в ко тором поддерживается температура 0°). За какое время тело охладится до 10°, если за 20 минут оно охлаждается до 20°?
Указание, скорость охлаждения тела пропорциональна разно сти между температурой тела и температурой окружающей среды.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1
1. Вычислить интегралы:
ч/З
а) J х2 (/(3 - х3)2 dx\
1
б) /
О
ГР
в) [ — V " dx. J cos х
о
2. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходи
мость:
+ ° °
*> / А 4 * '
3
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = х3, у = х2, х = - 2 , х = 1;
б) г = 3 — 2 cos </?, г =
4.Вычислить длину дуги кривой:
ч I х |
= |
2(г •cosi - cos2£), |
л |
7Г. |
а I у = |
2(2 sin г - sin2t), |
^ |
^ 3 ’ |
|
б) у = |
1 — In sin х от х = 0 до х = |
£ . |
5. а) Найти объем тела, ограниченного поверхностями г = х2 + 5?/2,
2 = 5 .
б) Найти объем шарового сегмента высотой 3, отсеченного а шара радиуса 6.
Вариант 2
1. Вычислить интегралы:
7Г
а) J у/sin х - sin3 х dx;
£
1
б) J X- ■(2х - I)8 dx-
h
3
в) J (х - 3)е~х dx.
о
2.Вычислить несобственные интегралы или установить их расходи мость:
+о о
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = (х - 5) •(1 - х), у = 4, х = 1;
/ х |
= 2\/2cos£, |
, |
. |
РЧ |
б) |
. /к . , |
2/ = 5 |
т/ ^ |
5). |
12/ = 5v2sini, |
|
|
|
4.Вычислить длину дуги кривой:
а) х = In cos ?/, 0 ^ 2/ ^ f î
б) г = 3 •(1 + siny?), ~ |
^ |
^ 0. |
|
5. а) |
Вычислить объем |
тела, |
ограниченного поверхностями z 0, |
2 = 1, 16 + 9 + 4 |
А‘ |
|
|
б) |
Найти объем тела, образованного при вращении вокруг осиОх |
фигуры, ограниченной линиями 2х — у — 2 = 0, у = 0, х = 3.
в) / я -cos 4х •с/х.
л
2.Вычислить несобственные интегралы или установить их расходи
мость:
2
а)
— ОО
5
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = х4, нормалью к ней проведенной в точке с абсциссой х = 1,
прямой х = 0;
б) г = cosy? г = sin ip (0 ^ у? ^ ^).
4.Вычислить длину дуги кривой а) г = З -e -f, 0 ^
б) у = 4 —х2, х = —2, х = 2.
5.а) Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями х2+т/2 = 9,
Z = 2/, г = 0 (у ^ 0 ) .
б) найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фи гуры, ограниченной линиями у = х2, х = 2, у = 1.
□
Глава 10. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
□
§1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.
ФОРМЫ ЗАПИСИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
^Комплексным числом z называется упорядоченная пара дей ствительных чисел (я;?/), первое из которых х называется его
действительной частью, а второе число у — мнимой частью. Обозначение: z = х + iy.Символ i называется мнимой единицей.
Если х = 0, то число 0 + iy = iy называется чисто мнимым, если у = 0, то число х -h i •0 = х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество Е действительных чисел является под множеством множества С всех комплексных чисел, т. е. Е С С.
Число х называется действительной частью комплексного числа 2 и обозначается х = Re 2, а у — мнимой частью, у —lm z.
Два комплексных числа z\ = х\ +iy\ и 2о = гг-2И-гг/*> называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части, т. е.
Г Х\ — Х'2,
Z\ = 22 4 = >
12/1 = 2/2-
Два комплексных числа z = х + iy и z —х —iy, отличающиеся только знаком мнимой части называются сопряженными.
Всякое комплексное число z = х + iy мож но изобразить точкой М(х;у) плоскости Оху
такой, что х = Re 2, у = lm z. И наоборот. Плоскость, на которой изображаются ком
плексные числа называется комплексной плос костью (ее также обозначают С). Ось абсцисс называется действительной осью, а ось орди нат — мнимой.
Комплексное число 2 = х + iy можно изобра жать и с помощью радиус-вектора f = ОМ = (х; у).
Длина вектора г, изображающего комплексное число 2 (см. рис. 112), называется модулем этого числа и обозначается \z\или г. Модуль г = \А однозначно определяется по формуле
Г = \z\= yjx1 -h у1. |
( U ) |