книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

Отсюда

Разложив на множители знаменатель полученной правильной дроби, представим ее в виде суммы простейших:

х2 - 1 = Л(х2 4- х 4-1) 4- (Вх 4- С)х.

Сначала воспользуемся методом частных значений. Поло­ жив х = 0, найдем А = —1. Далее воспользуемся методом не­ определенных коэффициентов (на практике часто приходится комбинировать оба метода). Раскроем скобки в правой части последнего равенства н приведем подобные:

х2 - 1 = (А 4- В)х2 4- (Л 4- С)х 4- А.

Приравнивая соответствующие коэффициенты при х2 и х, в левой и правой частях последнего равенства получим систему

откуда, учитывая, что А = — 1, найдем оставшиеся коэффици­ енты: В = 2, С = 1. Таким образом,

Возвращаясь к исходному интегралу, получим окончательный ответ:

§4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Если в рациональной дроби некоторые из слагаемых в числителе или знаменателе заменить корнями от рациональных дробей (в том числе от многочленов), то полученная функция будет называться иррациональ­ ной1.

В некоторых случаях интегралы от иррациональных функций удает­ ся рационализировать, т. е. с помощью подходящей подстановки свести к интегралам от рациональных дробей. Рассмотрим наиболее типичные случаи (везде далее подразумевается, что подынтегральная функция — иррациональная).

1. Если корни в подынтегральном выражении имеют вид:

Ух™, ÿxP, \/xï

и т. д., то оно преобразуется в рациональную дробь с помощью подста­ новки х = tk} где к — наименьшее общее кратное показателей корней,

т.е. чисел n, q, s , ...

2.Если выражение под знаком интеграла содержит только корни у/(ах + 6)ш, %/(ах + 6)р, у/(ах + Ь)г и т. д. (в частности, при b = 0, а = 1

получаем случай 1), то оно приводится к рациональной дроби с помощью подстановки ах + b = tk, где к — наименьшее общее кратное показателей корней, т. е. чисел n, q, s ,...

^ т о определение иррациональной функции не совсем строгое, но оно вполне под­ ходит для наших целей.

3. Если выражение под знаком интеграла содержит только корни

cl = 1 получаем случай 2, a при с = 6 = 0, d = a = 1 — случай 1), то оно

приводится к рациональной дроби с помощью подстановки = tk,

где к — наименьшее общее кратное показателей корней, т. е. чисел п,

5 , . . .

4. Если подынтегральное выражение представляет собой дифферен­ циальный бином, то есть равно хт -(a+bxn)p dx, где /п, л, р — рациональ­ ные числа, то данный интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби в следующих трех случаях:

1)р — целое число; тогда интеграл молено рационализировать при помощи подстановки х = tk, где к — общий знаменатель дробей т и п;

2)771 ^ * — целое число; тогда рационализация достигается подста­

новкой а + bxn = tk, где к — знаменатель числа р;

ОВ соответствии с указанной выше рекомендацией (случай 3)

Idt

- 4 ^ 4 ^ i ~ 4 Â T -

= 2 ( / ë f l + / Æ ) =2(mlg' + ï H ïT ll) + C =

ОПредставим данный интеграл в следующем виде:

^х * (1 + 3 •х з ) 5 dx.

Отсюда видно, что под знаком интеграла стоит дифференци-

следует применить подстановку 2), т. е. 1 + 3x5 = t3. Следова­ тельно, х = - 1)2, и значит, dx = t3 — 1)4 •t2 dt.

Таким образом,

= 7143 -8Т +с = П ^ 1+зЗФ) ' - ^ ( 1+ 3^ ) <+ С- •

Найти интегралы:

1. Если под знаком интеграла стоит выражение iî(sin ж, cos х), получа­ ющееся из функций sin ж и cos ж и некоторых констант с помощью четы­

рех арифметических действий (Л(sin ж, cos ж) называется рациональной функцией от sin ж и cos ж), то данный интеграл J R(sinxycosx)dx сво­

дится к интегралу от рациональной дроби при помощи универсальной тригонометрической подстановки t = tg^|. Тогда

Хотя универсальная подстановка позволяет найти любой интеграл вида

/ R(sh\XyCOSx)dx, однако в большинстве случаев она приводит к чересiyp громоздким вычислениям, и тогда удобнее пользоваться другими, более эффективными подстановками. Тем не менее некоторые интегра­ лы наиболее быстро считаются именно с помощью этой подстановки. В

то целесообразно применить подстановку t = tg ж. В частности, это отно­ сится к интегралам вида / — г-*-------— -------—----------------*--------:♦

Ja sin" ж + bsin ж •cos ж 4- с •cos" ж 4- d

3.Если подынтегральная функция R(sin ж, cos ж) меняет знак при за­

мене sin ж на —sin ж, т. е. если

Л(— sin ж, —cos ж) = —Л (sin ж, cos ж),

то интеграл рационализируется с помощью подстановки t = cos ж. В частности, это относится к интегралам вида J sin2n+1 ж •cos2* xdx, где

четных степеней синуса и косинуса, то есть данный интеграл имеет вид

5. При вычислении интегралов J sin пх •cos kxdx, J sin nx •sin kxdx,

J cos nx •cos kxdx, пользуются тригонометрическими формулами пре­

образования произведения в сумму:

6.Интегралы вида J tgn xdx и J ctgn x dx вычисляются с помощью