книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс
..pdfВеличина угла между положительным направлением действитель ной оси и вектором г, изображающим комплексное число, называется аргументом этого числа, обозначается Arg г.
Аргумент комплексного числа z ф 0 величина многозначная: Arg z = = argz + 2&7Г, к = 0, i l , dr, 2 , ..., где argz = ip — главное значение ар гумента, заключенное в промежутке (—7г; 7г], то есть —тг < argz ^ тг.
Аргумент комплексного числа z = 0 = 0 + гО не определен.
Замечание. В качестве значения аргумента можно брать величину принадлежащую промежутку [0;2тг).
^Запись числа z в виде z = х + iy называют алгебраической формой комплексного числа.
Запись числа z в виде
|
|
|
|
z = r(cos ip + i sin ф) |
|
|
(1.2) |
|||
|
называется тригонометрической формой. |
|
|
|
||||||
Аргумент ip определяется из формул cos</? = |
sin<^ = |
где г = |
||||||||
= \Дт2 + у'2. Аргумент z можно найти, используя формулу tgip = |
так |
|||||||||
как —7г < argz ^ тг, то из формулы tgip = |
^ находим |
|
|
|||||||
|
|
|
ai'ctg %, |
|
при х > 0; |
|
|
|
||
|
|
<р = arg z = < arctg JL + |
7г, |
при х < 0, |
у > 0; |
|
(1.3) |
|||
|
|
|
arctg ^4 —7г, |
при х < 0, |
у < 0. |
|
|
|||
^ |
Запись числа z в виде |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
= т1{р |
или |
z = |z|eiarg~ |
|
(1.4) |
||
|
называют показательной формой (или экспоненциальной) |
|||||||||
|
комплексного числа. |
|
|
|
|
|
|
|||
10.1.1. |
Следующие комплексные числа изобразить векторами и запи |
|||||||||
|
сать в тригонометрической и показательной формах: |
|
|
|||||||
|
a) |
z = 2 + 2г; |
|
|
|
б) z = |
— 1 + г%/3; |
|
|
|
|
в) |
z = |
—5г; |
|
|
|
r) z = —3 —2г; |
|
|
|
|
д) |
z = |
- 3 ^cos 5 - |
г sin ^ . |
|
|
|
|
|
ОИспользуем формулы (1.1)—(1.4).
а) Находим модуль и аргумент комплексного числа z =
= 2 + 2г. Здесь х = |
2 > 0, у = 2 > 0, |z| = г = у/22 + 22 = 2\/2, |
|
<р = argz = arctg |
Значит, |
|
2 + 2г = 2\/2fcos^ 4 -г sin |
= 2\/2е1* . |
б) Для |
z = |
- 1 |
+ гУ3 имеем г |
= |
+ (у/$р |
_ |
||
У> = arctg^-^j-^ |
+ тт = |я. Значит, |
|
|
|
||||
|
—I + i\J3 = 2^cos ^7г + гsin |
|
= 2е*'$п |
|
||||
в) Имеем: г = V0 + 25 = 5, у? = |
|
Значит, |
|
|||||
|
—5г = 5 (c°s( - ^ ) |
+ zsin^— |
= 5е~г^. |
|
||||
г ) Имеем: |
г |
= |
> / 9 + 4 |
= л / 1 3 , |
(р |
= a r c t ê ( - 5 ^ ) - |
7г = : |
|
о |
7г. Значит, |
|
|
|
|
|||
= arctg ^ - |
|
|
|
|
- 3 - 2 * = \/Ï3(cos(arctg | - 7Г^ + i sin(arctg ^ - 7г)^ =
= >/Ï3e*(arctg î-*)
|
Рис. ИЗ |
|
д) |
Запись z = - 3 ^cos ~ г |
sin ^ не является тригонометри |
ческой формой записи комплексного числа (см. формулу (1.2)). |
||
Перепишем z в виде z = 3 |
cos ^ + i sin ^ . Надо найти |
такой угол у?, что cosy? = — cos^, sin у? = sin|r. Таким углом
т.е. х2 + у2 = 4 представляет собой окружность радиуса R = 2 с центром в начале координат.
б) Точки г лежат на луче, выходящем из точки 0(0; 0) под
углом |
к действительной оси. |
в) Неравенство 0 ^ lm z < 1,5 можно переписать так 0 ^ |
|
^ У < |
1,5. |
г) Условие Rez > 1 или х > 1 определяет множество всех точек, расположенных справа от прямой х = 1.
д) Множества точек, расположенных внутри и на границе круга \z\ ^ 1, заключенных между лучами ip = ^ и ip =
f W ^ i . удовлетворяют условию | тг < argz < Зтг
Рис. 114 |
|
Множества точек а)-д) изображены на рис. 114. |
# |
10 .1 .9 . Изобразить на комплексной плоскости множества точек, удо влетворяющих неравенствам:
а) |
\z\ > 2; |
б) |
|Imz| < 2 ; |
в) |
< arg.z < 0. |
10.1.10. Указать на комплексной плоскости множества точек, удовле творяющих условиям:
а) 1 ^ |z| ^ 4, |Rez| ^ \/2, \lmz\ ^ 0,7; б) Rez < Imz, \z\ > 0,2;
в) argz = (2n -f 1)тг, n G Z.
Дополнительные задачи
10.1.11. |
Найти все значения аргумента комплексного числа: |
|||
|
а ) |
- 6 |
; |
|
|
б) cos ^ + г sin |
|||
10.1.12. Найти |
главное значение аргумента комплексного числа |
|||
|
г(cos tp + i sin <р), если: |
|||
|
а) |
sin у? = |
-0 ,5 ; |
|
|
б) sin у? = |
0,5, cos (р = |
||
10.1.13. |
Представить в тригонометрической и алгебраической формах |
|||
|
числа: |
|
|
|
|
а) |
5е~%г; |
|
|
|
б) |
-2(cos30° + г sin 30°). |
||
10.1.14. |
Представить в тригонометрической и показательной формах |
|||
|
числа: |
|
|
|
|
а) - 3 + 4г; |
|||
|
б) |
3(cosl0° - г sin 10°); |
||
|
в) |
1 + г •tg l. |
||
Контрольные вопросы и более сложные задачи |
||||
10.1.15. |
Представить в тригонометрической форме комплексные числа: |
|||
|
а) |
1 + cos 22° + гsin 22°; |
||
|
б) |
sin ip + г cos р\ |
||
|
в) |
1 - г tg a, если а е ^ ;7 г ); |
||
|
|
|
|
• • 4 |
|
|
|
|
7Г — t Sin g 7T |
10.1.16. |
Найти наибольшее и наименьшее значения |z|, если z = 2 sin а + |
|||
|
+ i cos а. |
|
||
10.1.17. |
При каких значениях х и у комплексные числа z = х + 2г и |
|||
|
z = |
4 + |
л/Зт/г. |
|
|
а) равны? |
|
||
|
б) сопряжены? |
|||
10.1.18. |
Могут ли быть сопряженными: два действительных числа? два |
|||
|
чисто мнимых? действительное и мнимое число? |
1 0 .1 .19 . |
Пусть argz = ^7г. Чему равен argz? |
1 0 .1 .20 . |
Какое из чисел больше: z = 2 —г или z = —2 4- г? |
1 0 .1 .21 . |
Каковы условия равенства комплексных чисел, заданных в |
|
тригонометрической форме? |
§2. ДЕЙСТВИЯ н а д к о м п л е к с н ы м и ч и с л а м и
Основные действия над комплексными числами z\ = х\ 4- гтд и z*i = = х2-hгт/2, заданные в алгебраической форме, определяются следующими
равенствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(si |
4- iyi) + |
(х2 4- гу2) |
= |
(.г*1+ х2) + г{у\ |
4- у2), |
(2.1) |
||||
|
|
(®i |
+ iy\) - |
(^2 + гу2) |
= |
(xi - х2) + |
i(î/i |
- т/2), |
(2.2) |
|||
|
(®i + т ) •(х2 + iy2) = |
(.Т1.Т2 - |
2/12/2) + |
Цх\у2 + 7/1X2), |
(2.3) |
|||||||
gj |
+ т _ |
(xi |
+27/I )(X 2 -гт/2) |
_ |
x ix 2 |
+ 2/12/2 |
г- |
|
У\Х2 - х\у2 |
^ . |
||
^ 2 |
4 - гт/2 |
( х 2 4 - г7/2 ) ( х 2 - г2 / з) |
|
.Т а 4 - 2/1 |
х | |
+ |
2/1 ’ |
|
||||
|
|
|
|
(при Z2 Ф0). |
|
|
|
|
||||
Из равенства (2.2) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1*1 - 321= N/(^ I “ |
X‘2Ï 2 - (2/1 - |
ы |
2, |
(2*5) |
т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа на плоскости.
Из равенства (2.3) следует, что г2 = - 1 .
При умножении комплексных чисел zi = r\(costal 4- ishupi) и Z2 = = r2(cos <р24" i sin ip2), заданных в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются, т. е.
Z\ ‘ z2 = Г\ •т2(cos((/?i 4- ^2) + i sin((/?i 4- ip2)) •
Отсюда следует формула Муавра для возведения комплексных чисел в
натуральную степень:
zn = (г(cos ip 4- г sin у?))n = rn •(cos mp 4- isinnt/?). |
(2.6) |
||
Деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, |
|||
осуществляется по формуле |
|
|
|
*1 |
п |
<р2) + isin(<pi - ip2)). |
|
— = |
— •(cos(<£i - |
|
|
z2 |
т2 |
|
|
Корень n-ой степени из комплексного числа имеет п различных зна чений, которые находятся по формуле
,лг- |
„ |
------------- —-----г |
п Г -( |
Ф + 2к7г |
. . |
(р + |
2ктг\ |
|
y z — y/r(cos<p 4- гsin у?) = |
y r f c o s --------------h гsin------------), |
|||||||
|
|
|
\ |
п |
|
|
п |
/ |
|
|
|
|
где fc = 0, |
1, |
2, 3 |
, |
( 2 . 7 ) |
10.2.1. Найти z\ + 22, Z\ —22, Z\ - 22, |
если z\ = 1 4- 2г, 22 = 2 — г. |
ОИспользуя формулы (2.1)—(2.4), находим:
|
|
z\+ 22 = (1 + 2г) + (2 — г) = 3 + г; |
|
|||
|
|
Z\ —22 = |
(1 + 2г) —(2 —г) = |
—1 + Зг; |
|
|
21 |
22 |
= (1 + 2г) •(2 —г) = 2 — г + 4г — 2г2 = 4 + Зг; |
|
|||
|
|
£i __ (1 + 2г)(2 + г) _ |
5г |
_ . |
^ |
|
|
|
22 |
(2 - г )(2 + г) |
5 |
|
|
10.2.2. Найти ( - 1 |
- |
г>/3)15. |
|
|
|
|
ОЗапишем число z = — 1 — г\/3 в тригонометрической форме:
к| = г = >/1 + 3 = 2, arg2 = = tg |
-7Г = -|7г, т.е. |
- 1 - г\/3 = 2^cos^—|тт^ + i s i n ( - - 7r)^.
По формуле Муавра (2.6) имеем
|
|
( - 1 — гл/З)15 = [^ (cos( “ | 7r) + îsin (" " § 7r) ) ] |
= |
||||
|
= 215 •(cos(—Ю7Г) + isin(—Югт)) = |
215(1 + 0г) = 215 = 327G8. |
|||||
10.2.3. |
Вычислить: |
10.2.4. |
Вычислить: |
1 — Зг. |
|||
|
а) |
(1 —г) •(—3 + 2г); |
|
a) i £ f + |
|||
|
|
2г 7 |
|||||
|
6) l ± ^ |
+ (1 _ i)2 . |
|
||||
|
|
б) |
г2 + г3 + г4 + г5. |
||||
10.2.5. |
Найти: |
|
10.2.6. |
Найти: |
|
||
|
|
|
|
|
' |
1 + г______ . |
|
|
б) |
(1 + г)10. |
|
(y /3 + i ) ( l + i y / 3 ) ' |
|||
|
|
б) ( - 1 + г')5. |
|||||
10.2.7. |
Доказать, что: |
10.2.8. |
Доказать, что: |
||||
|
а) |
2i + 22 = zi + 22; |
|
а) |
Rez = ^ ± I ; |
||
|
б ) |
2 i * 2 2 |
— 2 i •22* |
|
б) |
ki •22| = |
k iI •kal- |
10.2.9. |
Вычислить: г •г2 •г3 • ... г100. |
|
|
|
|||
10.2.10. |
Вычислить: г4 + г14 + г24 + г34 + г44 + г54 + г64 + г74 + г84. |
||||||
10.2.11. |
Решить уравнение 25+ 32 = 0 на множестве комплексных чисел. |
||||||
|
О Перепишем уравнение в виде 2 = |
32. Число (—32) пред |
|||||
|
ставим в тригонометрической форме: |
|
|
||||
|
|
|
-3 2 |
= 32(cos7r + zsin7r). |
|
По формуле (2.7) находим
г = |
ъГ^й---------------\ |
o f |
тг + |
2тгА : |
. тг + |
2тгА : |
||
v32(cos7r |
4- г sin тт) = |
21 cos-----3------- h г sin----- |
). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где к = |
О,1,2,3,4 . |
|
|
|
|
|
|
|
Полагая & = 0 ,1 ,2 ,3 ,4 , получим |
|
|
||||||
|
zo = |
2 ^cos ^ 4- гsin |
« |
1,6180 4- 1,1756 •г, |
|
|||
|
гх = |
2^cos ^ |
4- гsin |
|
« -0,6180 4- 1,9021 |
г, |
||
|
г? = |
2(cos я + г sin тг) = —2, |
|
|
||||
|
г3 = |
2 fcos ^ |
+ г sin ^ -) |
и -0,6180 - |
1,9021 •г, |
|||
|
|
\ |
О |
|
D / |
|
|
|
|
Z4 = |
2^cos ^ |
4- г sin |
|
« 1,6180 - 1,1756 •г. |
|
Рис. 115
|
|
Найденным корням уравнения соответствуют вершины |
||||
|
правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса |
|||||
|
R = 2 с центром в начале координат (рис. 115). |
® |
||||
10 .2 .12 . |
Найти действительные решения уравнения: |
|
||||
|
а) |
(1 + г)х 4- (1 - |
г)у = 3 - г; |
|
|
|
|
б) |
х 4- у 4* гху = |
г. |
|
|
|
10 .2 .13 . |
Найти: |
|
|
|
|
|
|
а) действительные решения; |
|
|
|
||
|
б) комплексные решения |
|
|
|
||
|
|
|
/ (2 4- г)х 4- (2 - |
г)у = |
6, |
|
|
системы уравнений | (3 + 2г> + (3 _ |
2i)y |
= g |
|
ный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки z\ = { и Z‘2 = —2 (см. рис. 117).
|
Рис. 118 |
в) |
Изобразим на отдельных рисунках множества точек, удо |
влетворяющих каждому из неравенств условия (см. рис. 118).
|
|
Рис. 119 |
|
|
|
Находим пересечение трех полученных областей — это и |
|
|
будет искомое множество (выделено на рис. 119). |
# |
|
10 .2 .19 . |
Изобразить на рисунке множество точек z, удовлетворяющих |
||
|
условию \z —3| = 2 •\z\. |
|
|
10 .2 .20 . |
Изобразить на комплексной плоскости множество точек г, для |
||
|
которых выполняется условие |3 + iz\ ^ \z\. |
|
|
Дополнительные задачи |
|
||
10 .2 .21 . |
Найти Re z и Imz, если |
|
|
|
а) г = (2 — г)2 •(3 + 4г); |
|
|
|
б ) 2 = j « + i ± j , . |
|
|
10 .2 .22 . |
Решить уравнения: |
|
|
|
а) |
z2 + z = 0; |
|
|
б) |
\z\ - 3z = -12г. |
|