книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс
..pdfимеет единственное решение х = jj( D |
4- 26 + 2с — 26с —2), |
у = J J (D 4- 2а + 2с —2ас —2), z = |
+ 2а + 26 —2а6 —2). Если D = 0 и все |
числа а, 6, с не равны 1, то система несовместна. Если £> = 0 и а = 6 = с = 1, то общее решение имеет вид .г* = 1 —у —z, где у \\z — свободные неизвестные. Если D = 0 и два из чисел а, 6 и с равны 1, а третье — не равно, например,
а ^ 6 = с = 1, то общее решение имеет вид х = 1, |
у = —2, где z — свободное |
||
неизвестное. |
|
|
|
§ 2. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. |
|||
Формулы Крамера |
|
|
|
2.2.4. (—3; 1). 2.2.5. (\/3;4). 2.2.6. ^—6; — |
при ab ф 0; невозможно решить |
||
при ab = 0. 2.2.7. |
—~Lc^) при а<^ ~~ |
^ невозможно решить |
при ad —6с = 0. 2.2.8. (—2; 2; 1). 2.2.9. (1; 2; —3). 2.2.10. Невозможно решить.
2.2.11. |
(—3; 3; 0). 2.2.12. |
|
при Л ф 1, Л # |
2; |
|||||
невозможно решить при Л = 1 или Л = 2. 2.2.13. (—2; 0; 1; —1). |
|
|
|||||||
2.2.14. |
(2; -3 ; 2; -1). 2.2.15. (0; 0; 0; 0). 2.2.16. а = |
-1 , |
6 = |
3, с = |
2. |
||||
2.2.17. |
а = -2 |
, 6 = 3, с = |
2. 2.2.18. (2; -3). |
2.2.19. (2л/5; 2). |
|
|
|||
2.2.20. |
( fy? |
* ; Q>~*~^■V 2.2.21. ( —у-г; |
ПРИа 7^ |
’ |
невозможно |
||||
|
\а“ + 2 |
а* + 2/ |
\а + 6’ 3(а + 6)У |
^ |
^ |
|
|
решить при а = ±6. 2.2.22. (—1; 1; 3). 2.2.23. (2; —3; 2). 2.2.24. Невозможно решить. 2.2.25. (—4; 1; 2).
о О |
9 |
R |
| |
_______ Q — 6_______ . аб- |
+■ 6 —2 |
а —6 |
при 6(а - |
1)(а + 2) ф 0; |
||
|
|
|
|
__________ . ________ -, |
||||||
|
|
|
\(а —1)(а + 2) ’ 6(о - |
1)(а + 2) * (а - 1)(а + |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
невозможно решить при 6(а — 1)(а + 2) = 0. 2.2.27. (0; 0; 0; 0). |
|
|||||||||
2.2.28. (-1 ; 1; 2; -2 ). |
2.2.29. (3; -2 ; 0; 1). |
2.2.30. а = -1 , 6 = -3 , |
с = 5. |
|||||||
2.2.31. |
|
а = |
-1 , 6 = |
2, с = 3. 2.2.32. Нет. 2.2.33. Да. 2.2.34. Нет. 2.2.35. Да; |
||||||
нет. 2.2.36. |
Указание. Записать разложение определителей Di по t-му |
|||||||||
столбцу, i = |
1 ,2 ,..., п. 2.2.37. а = -тт— |
. где |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(6 —o,i)f (ai) |
|
|
|
f(x) = |
(х - ai)(x - 02) ... (х - |
an). 2.2.38. СТА"1 В 1 где С, и В |
— |
вектор-столбцы, составленные соответственно из чисел {с,} и {bi}.
§ 3. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений
2.3 |
.4 |
. Общее решение (0; 0); фундаментальной системы решений нет. |
|
|||
2.3 |
.5 |
. (-*;*), |
(—1; 1). 2.3.6. (3i;2t), (3;2). 2.3.7. (0;*;*), (0; 1; 1). 2.3.8 |
. (y/3t;t), |
||
(у/3;1). |
2.3.9 |
. (*;2«), (1;2). 2.3 |
.10. (t2 - ti;ti;t2), (—1;1;0), (1; 0; 1). |
|
||
2.3.11. |
(t; —21 ; <), (1; —2; 1). 2 |
.3.12. Общее решение (0; 0; 0; 0; 0; 0); |
|
|||
фундаментальной системы решений нет. 2.3.13. (2 ti - З ^ ;^ ;^ ) , (2; 1; 0); |
||||||
(—3; 0; 1). 2.3 |
.14. (^i;^2;^2 —2^i), (1;0;-2); (0; 1; 1). 2.3.15. Общее решение |
(0; 0; 0); фундаментальной системы решений нет. |
|
2.3.16. (8ti - 7 * 2;-6 ii +5*2i*i;*2), (8; —6; 1;0); |
(—7;5;0; 1). |
2.3.17. (-2*; lt\0; 9*), (-2;7;0;9). 2.3.18. (-3ti |
- Ы2\ + 3t2; ti;0; ta), |
(—3; 2; 1; 0; 0); (—3; 3; 0; 0; 1). 2.3.19. При Л = 6 общее решение (7*; 21\3£), |
|
фундаментальная система решений (7; 2; 3). При Л ф —6 общее решение |
|
(0; 0; 0); фундаментальной системы решений нет. 2.3.20. При Л = 2 общее |
решение (t;0; —2t), фундаментальная система решений (1; 0; —2). При Л = —4 общее решение (5£; —24£; —4£), фундаментальная система решений (5; —24; —4). При Л ф 2, Л ф —4 общее решение (0; 0; 0); фундаментальной
системы решений нет. 2.3.22. а) й\ и а2; б) В2; в) о.р. одн.сист. (2£;—£); о.р. неодн. сист. (2t —2; 3 —t) или (21\2 —t). 2.3.23. а) Система несовместна; б) Вз; в) о.р. одн. сист. (13t;2t;7t). 2.3.24. а) й\ и аз; б) В2 и Вз;
в) о.р. одн. сист. (ti; t2; h + t2) или {2t\ —t2\—t\ + 2t2; t\ + t2)\ о.р. неодн. сист.
(1 + ti; 1 •+* t2; 1 •+■*i 4" *2) пли (1 + 2t\ —t2\1 —ti ~Ь 212\1 + t\ + t2) или |
|
(tr, 1 + t2\t\ + *2) или (2t\ —t2; 1 —t\ 4-12\t\ + *2)- 2.3.25. a) âi, â2, аз; б) Вз; |
|
в) о.р. одн. сист. (3<; 0; 4£; 0); о.р. неодн. сист. (3t —1; —2; 4£ + 1; 2) или |
|
(3* + 2; -2; 41+ 5; 2) или (3t - 4; -2 ; 4i - 3; 2). 2.3.26. (t; 2t); (1; 2). |
|
2.3.27. |
(i\/3; t); (\/3;l). 2.3.28. (0; 0); фундаментальной системы решений нет. |
2.3.29. |
(-2t;t); (-2; 1). 2.3.30. (ti + t 2;ti;t2)i (1; 1; 0); (1;0; 1). |
2.3.31. |
(t]7t\—5£); (1;7; —5). 2.3.32. (0;0;0); фундаментальной системы |
решений нет. 2.3.33. (t;-t;t); (1;-1; 1). 2.3.34. |
(2*! - 3 t 2;ti;t2); (2; 1;0); |
(—3; 0; 1). 2.3.35. (t;3t;5t); (1; 3; 5). 2.3.36. (ti - |
<2; ti - t3; *r, t2; t3); (1; 1; 1;0; 0); |
(-1; 0; 0; 1; 0); (0; —1; 0; 0; 1). 2.3.37. (0; 0; 0; 0); фундаментальной системы |
|
решений нет. 2.3.38. (2£i + 2£2; t\\ —5£2; 7t2); (2; 1; 0; 0); (2; 0; —5; 7). |
2.3.39. (0; ti - 212; 3*i; 0; 312); (0; 1; 3; 0; 0); (0; -2 ; 0; 0; 3). 2.3.40. При a = -1 общее решение (—5i;<;3£), фундаментальная система решений (—5;1;3). При a ф —1 общее решение (0; 0; 0) фундаментальной системы решений нет.
2.3.41.При Л = 3 общее решение (2t\ + 5t>; 3£i —3t2; 7t1; 7t>), фундаментальная система решений (2; 3; 7; 0), (5; —3; 0; 7). При Л = 3 общее решение (51; —31; 0; 71), фундаментальная система решений (5; —3; 0; 7).
2.3.42.Нет; да; да. 2.3.43. Да. 2.3.44. Да; нет; нет. 2.3.45. Нет; да.
2.3.46.Нет; да. 2.3.47. Да. 2.3.48. Да; нет. 2.3.49. Нет. 2.3.50. Да — у определенной системы. 2.3.51. а) Да. б) Нет. 2.3.52. Нет. 2.3.53. Нет; да.
2.3.54.При тп > п — ничего; при т ^ п — фундаментальная система решений содержит не менее одного решения (здесь т — число уравнений,
п— число неизвестных системы). 2.3.55. Множество решений первой системы содержит множество решений второй системы.
2.3.56.ai + ot2 + * ••+ an = 1. 2.3.57. е = ad —be.
Глава 3. Векторная алгебра
§ 1. Векторы. Линейные операции над ними. Разложение векторов
3.1.4. Да. 5 = -\/Зс._3.1.5. (-оо; 0_)U (1; оо). 3.1.6. (-ос^ -1) U (0; 2). З.1.Т. 22. 3.1.8. 13; 13. 3.1.9. АВ = За- Ь; ВС = 2Ь —За. 3.1.10. BD = 2b- 22;
3-1.24. = 2; в одну. 3.1.25. d = S + b - c. 3.1.26. (0;1;0). 3.1.27. (7;0) и
(-1 ; 0). 3.1.28. 7. 3.1.29. -48t + 45j - 36Л. 3.1.30. a = 2 ,0 = -A ,
D A = — ^BC. 3 |
.1.32. q —p; —p; —q; p —q\p + q\ 2q; 2q —p. 3.1.34. |
\/Ï2 Q; 7. |
||||||||||
3.1.35. |
27Ï —2m; 2n |
H- 2m; 3m + n; 2fn —n. 3.1.37. 0. 3.1.38. c = |
—2Û 4* 26. |
|||||||||
3.1.39. |
—12г - |
21j |
+ |
12fc. 3.1.40. -5 Î + 10J + 10k. 3.1.41. 1) |
(-^ L ; |
o) |
||||||
2) ( 3 ;y ;0 ) 3) |
- 2 j |
4) 6. 3.1.42. n - Г 2 + Г3. |
3.1.44. (—4; 4;4>/2). |
3.1.45. 7; |
||||||||
( f ; S ). 3.1.46. 15. |
3.1.47. R = {23,173}; |
a |
« 18e; 0 я 27e. 3.1.48. 54e; |
|||||||||
7,7 м/с. ЗЛ.49. |Fj| =_10>/3 (H); |^J = 20y/3 (H). |
|
|
|
|||||||||
3.1.50. |
OM = ” |
|
OA + |
™ |
OB. 3.1.53. 1; -2. 3.1.54. |m + f n + %p. |
|||||||
|
771 *t* 71 |
|
|
771 “Г 7î |
|
|
D |
O |
D |
|||
3.1.55. | c+ i 5. 3.1.56. x= |{+ M j + |
3.1.57. 1) ( C b ) - острый; |
2) (â, 6) — тупой; 3) одинаково направлены; 4) противоположно направлены. ЗЛ.58. Вектор суммы не изменится по модулю, но будет повернут на тот же угол. 3.1*59. а) возможно, единственное; б) возможно единственное; в) 0, 1 или 2 решения в зависимости от модулей слагаемых. 3.1.60. Ai = Аг = 0, если с = 0; Ai = 0, Аг ф 0, если с |6; Ai ф 0; Аг = 0, если с |а. 3.1.61. Да.
3.1.62. Да. 3.1.63. Нет.
§ 2. Скалярное произведение векторов |
|
|
||||||
3.2.2. N/13. |
3.2.3. N/ 73. 3.2.6. |
|
3.2.7. - | i + |
§ J + §£• 3.2.9. -4 . |
||||
3.2.10. |
а) |
- 3 ; б) 26. 3.2.11. |
5. |
3.2.13. -1,5. |
3.2.14. 7. 3.2.15. 2 * - 3 j . |
|||
3.2.18. (2; 4 ; - 6). 3.2.19. а) |
3; б) |
и 77е; в) |
« 0,7; г) 1. 3.2.20. 20. |
|||||
3.2.21. |
2 (ед. раб.). 3.2.22. |
-5 . |
3.2.23. а) |
3; 3; %/2; б) и 76е; и 76е; я 27е; |
||||
в) и 50е. 3.2.24. я |
122°; я |
37е; я 74е. 3.2.26. -3 . 3.2.27. - 1. |
||||||
3.2.28. |
|;arccos2^S; a rc co s^ . 3.2.29. -13. 3.2.30. 60е. 3.2.31. |
|||||||
3.2.32. |
с = (1; 0; —1) или с = |
( —3 ! ji j ) - |
3.2.34. 8t + 83 + 7к. 3.2.35. 5. |
|||||
3.2.37. |
Плоскость, перпендикулярная к оси вектора а. 3.2.38. ip = arccos - . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 * |
3.2.41. |
Нет. 3.2.44 |
. а |с, 6 _L 5 и 6 JL с. 3.2.45. Нет. Нет. Да. 3.2.46. Нет. |
||||||
3.2.47. |
Нет. 3.2.48 |
. а) Да; б) Нет, т.к. из 2-го =£■ 1-ое; в) Да. |
||||||
§ 3. Векторное произведение векторов |
|
|
||||||
3.3.2. (5;1,7). 3.3.3. (10;10;10); |
10\/3. 3.3.4. \/3; 5л/3. 3.3.6. лф й . |
3.3.7. 18уД . 3.3.8. 50у/2. 3.3.10. -10Î + 13j + llfc; а я 120°; 0 я 49е; 7 я 56е
4.2.15.а) у = л/Зх - 6; б) у = 2; в) 4х + Зу - 12 = 0. 4.2.16. х + 2у - 8 = 0.
4.2.17.х + у - 7 = 0. 4.2.18. 4.2.19. (1,0); х + у - 1 = 0. 4.2.20. а = 3;
Р= —4. 4.2.21. 2х —у —4 = 0 или х —2у + 4 = 0. 4.2.22. 5х + у —3 = 0.
4.2.23.Зх - 4у - 25 = 0. 4.2.24. х = 3; у = 2; 2х + у - 14 = 0.
4.2.25. х - у + 2 = 0. 4.2.26. 5. 4.2.27. rcos(ip - | ) = 2%/2. 4.2.28. у = 0;
7/= 3 ;х + т/ -5 = 0 ;ге —т/+ 5 = 0. 4.2.29. х + 2т/ —8 = 0; х —2у + 4 = 0.
4.2.30.у = —х + 3. 4.2.31. 6; -9 . 4.2.32. х 4- у - 1 = 0. 4.2.33. 5х + 13 = 0.
4.2.34. х + у |
—6 = 0. 4.2.35. х + у + 4 = 0. 4.2.36. (2;0); (0; -3) или (-4; 0); |
(О; | ). 4.2.37. |
(1;0). 4.2.38. 2х + у + 4 = 0 ;2 х - у + 4 = 0;2х + у - 4 = 0. |
4.2.40.у + 2 = 0. 4.2.41. А = В. 4.2.42. у = ^ х + 4. 4.2.43. а = 1.
4.2.50. |
С = ±90. 4.2.51. у = -| х + 6. 4.2.53. 1) |
2) 0; 3) arctg 4) |. |
||
4.2.54. |
а) |
6) arctg |
4.2.55. 1) Перпендикулярны; 2) Пересекаются; |
3)Совпадают, 4) Параллельны; 5) Совпадают; 6) Перпендикулярны;
7)Пересекаются; 8) Параллельны; 9) Пересекаются; 10) Перпендикулярны.
4.2.56. 1) а) 4; б) -9 ; 2) а) 8; б) -2; 3) а) |; б) -12; 4) а) б) |.
4.2.58. а) 2х —у + 4 = 0; б) Зх —у + 5 = 0. 4.2.59. а) х —Зу —11 = 0; б) х -f у + 1 = 0. 4.2.63. 5. 4.2.64. 49. 4.2.65. 4х + у —6 = 0 или
Зх + 2у - 7 = 0. 4.2.66. 5х - 12у - 52 = 0, 5х - 12у + 26 = 0. 4.2.69. •ЛЗ.
4.2.70.5,1 •V2. 4.2.71. 4. 4.2.72. у - 5 = 0 или 5х + 12т/ - 65 = 0. 4.2.73. (1;3).
4.2.74. (2;4). 4.2.75. Зх + 2у - 11 = 0. 4.2.76. (-3; -1). 4.2.77. (6;6). 4.2.78. х + 2у - 10 = 0. 4.2.80. 7х - 56у + 83 = 0 и 32х + 4у + 73 = 0.
4.2.81. 4х - Зу + 7 = 0, х = 2. 4.2.82. 4х - Зу - 7 = 0. 4.2.83. (2;1) и (5;2) или
(0;7) |
и (3;8). 4.2.84. 5х —Зу —2 = 0, 7х + 6у + 4 = 0, = arctg3. 4.2.85. Да; |
||
Ai = |
-10; Л2 = 6. 4.2.86. |; |. 4.2.87. а = |
а = Ъу/3. 4.2.88. в) и г). |
|
4.2.89. ± у/2. 4.2.90. |
4.2.91. 4о - b - 1 = 0. 4.2.92. а = 3, а = 4. |
4.2.93.(Г,6). 4.2.94. Пересекаются. 4.2.96. 13. 4.2.97. а) х ——2;
б) у = - х - 1; в) 2х + у4- 3 = 0; г) у = х + 3; д) х + 6у - 4 = 0; е) 2х - у + 5 = О или Зх + у + 5 = 0. 4.2.98. 7х - у = 0, 17у - 28 = 0. 4.2.99. arctg 2.
4.2.100. а) (4;4); б) f . 4.2.101. 2х + Ну - 26 = 0. 4.2.102. & Ш .
4.2.103. х + 2у —7 = 0, х —4у —1 = 0, х —у + 2 = 0; 4.2.104. (2; -3). 4.2.105. Зх - Зу - 8 = 0. 4.2.106. (0;2); (4;0); (2;4); (-2; 6). 4.2.107. (-3 ; 1). 4.2.108. а) (-3; ±3\/3); б) (-3; ±\/3). 4.2.109. Зх - 4у - 9 = О, Зх - 4у + 16 = 0, 4х + Зу - 37 = 0 или 4х + Зу + 13 = 0. 4.2.110. Квадрат со сторонами, лежащими на прямых Зх + у = ±5, х —Зу = ±5.
4.2.111. 2х + 7у + 22 = 0; 7х + 2у - 13 = 0; х - у + 2 = 0. 4.2.112. 1 ) 5; 5; 2) 4х + Зу - 27 = 0 и Зх - 4у - 14 = 0; 3) 4х + Зу - 27 = 0; 4) 5;
4.2.113. 3x + у —14 = 0 и x —3?/ + 12 = 0. 4.2.114. у = 2x, x —3?/ = 15, |
|
|
||||||||||||||||
Зх + у = 25. 4.2.115. Зх + Ay + 6 = 0, 3r + |
“ 14 = 0 или Зх + Ay + б = 0, |
|
||||||||||||||||
Зх + Ay + 26 = 0. 4.2.116. Зх + Ay —12 = 0. 4.2.117. К стороне AD. |
|
|
|
|
||||||||||||||
4.2.118. |
Зх —Ay —25 = 0, Зх —4у + 5 = 0. 4.2.120. rsin(0 —ф) = r\ sin(0 — |
|||||||||||||||||
4.2.121. х - Зт/ - |
23 = 0, 7х + 9у + 19 = 0, 4х + Зт/ + 13 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
§ 3. Кривые второго порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4.3.2. |
а) |
(2; -3 ); Я = 4; 6) |
( -1 ; |); R = |
4.3.4. (х - 2)2 + |
(у + 2)2 = |
4, |
||||||||||||
(x - |
10)2 + (у + 10)2 = |
100. 4.3.5. у = 0 и 4* - Зу = 0. 4.3.6. (-А ; | ); |
R = |
I . |
||||||||||||||
4.3.8. а) (х + 2)2 + у2 = 4; б) (х + 4)2 + (у - |
5)2 = 25; в) (х - |
З)2 + (у - |
2)2 = |
13. |
||||||||||||||
4.3.9. (х - |
4)2 + (у - 2)2 = 10. 4.3.10. 4. 4.3.11. Зх - |
4у + 7 = 0. 4.3.12. (4;1); |
||||||||||||||||
(-2 ; -5 ). 4.3.13. х + у - 6 = 0. 4.3.14. (-3 ; -2 ); Я = 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4.3.15. |
(x + 2)2 + (у + I)'2 = 20. 4.3.16. тг - arctg Ц-. 4.3.17. О< к < |
JL |
к = О |
|||||||||||||||
и к = j i . |
4.3.18. у = 2х ± 5. 4.3.19. хх0 + ууо = Я2 |
4.3.20. 7. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
4.3.21. |
(х - 7)2 + (у - |
4)2 = |
1. 4.3.22. Нет. 4.3.23. Да. 4.3.24. Точка С. |
|
|
|||||||||||||
4.3.25. х2 + у2 + 2ах - |
6у + а2 = 0. 4.3.26. х2 + у2 + 12у - 64 = 0. 4.3.29. 5 и 4; |
|||||||||||||||||
(3;0) н (—3;0); е = 0,6; х = |
± ^ . 4.3.30. |
1) |
^ ц р * ' + jfo = |
1; |
|
|
|
|
|
|||||||||
2) й + 12Ч16# |
= 1- 4-3-32- !) й16 ^+ £4 |
= 1;2) й + й |
= 1; 3) А |
+ й |
= 1; |
|||||||||||||
|
|
|
„2 |
|
|
|
|
. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
Ш + |
576 ~ |
4 -3'33- |
|
fô + 4" “ |
1; |
36 + 16 “ |
1; |
100 + |
6Î ~ |
1; |
|||||||
4 ) ^ + У2 = 1. 4.3.35. |а| < |
^6; а = ±у/%. 4.3.36. |
~ 7)‘ |
+ (?/~g2)~ |
= 1. |
|
|||||||||||||
4 .3 .3 8 .1) |
|
£ |
= »i 2> Î5 + é= 1- 4-3-39' 4 4-3-40' ( f |
•± ^ |
|
î )- |
|
|
||||||||||
4.3.41. |
|
4.3.42. 12у/2. 4.3.43. |
|
|
4.3.44. ^ |
~ |
+ ^ |
= 1. |
||||||||||
Указание. 4 — у/х2 + у2 = |
у/{х —2)2 + у2. 4.3.45. ^ |
|
|
2? = |
|
|
|
|
||||||||||
4 -3'43' |
( - Й ’ 8# |
) ' ( - Й |
^ |
8# ) - 4 -3-47- ^ |
4-3-43- * |
- 2 » ± 3 = «- |
||||||||||||
4.3.49. (—3;2); |
\/Ï3. 4.3.50. |
|
|
4.3.51. -42а2 + В 2 Ь2 = С2. |
|
|||||||||||||
4.3.53. |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
о1 |
4* 2L = 1. 4.3.54. Эллипс. Указание, стороны угла принять за оси |
|||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координат. Ввести угол tp между отрезками и осью Оу. Исключить параметр
у) из полученных выражений для х и у. 4.3.56. е « |
0,08. 4.3.57 |
. 1; 0; 2. |
||
4.3.58. |
4.3.59. 20. 4.3.62. 1) £ - |
= 1; 2) |
^ - 2L. = 1; |
|
rî
3) m x* ~ ял36 = L 4 -3-63- 4 m36 ~ K64J = i ; 2) Ç - Ç = ! ; 3) *2 - ^
4.3.65. ^ |
|
2 |
2 |
|
4t/ - 18 = 0 и |
= 1. 4.3.66. |
- 2^ = 1; 2^5. 4.3.68. 3x - |
||||
3x + 4y + 6 = 0. 4.3.70. |
+ ^ |
= 1- 4.3.71. e = 2. 4.3.72. |
|
||
4.3.73. 3a; 4- 2?/ —6 = 0 и —За; + 2т/ + 6 = 0. 4.3.74. x + y ± 1 = 0. |
|||||
4.3.75. |
a) Гипербола ^X |
--- = 1; б) Гипербола x2 —y2 = 1. |
|||
4.3.78. 3. 4.3.79. 100. 4.3.80. —i —. 4.3.81. 9,6. 4.3.82. |
2 |
2 |
|||
lo |
_ IL- = 1. |
||||
|
|
cos a |
4o |
4.3.83.4.3.84. bs/2. 4.3.85. 5\/ÏÔ; 3\/ÏÏ); 7,5; 12,5.
4.3.86. |
|
|
|
|
|
|
4.3.87. 2\/2; 6\/2. 4.3.88. |a| > \/Ï0; |
||||
a = ±VÏÔ. 4.3.89. f j |
- £ |
= |
1. 4.3.90. |
= 1. |
|||||||
4.3.91. x2 - |
y2 = §. 4.3.92. ^ |
- |
g |
= 1. 4.3.93. Л2а2 - B 2b2 = C2. |
|||||||
4.3.94. |
|
^ |
= 1. 4.3.95. x2 - |
^ |
= 1; x > 0. 4.3.97. 4. 4.3.99. CM. 4.3.98. |
||||||
4 |
.3.100. |
Нет. \k\^ |
4.3.101. 1) Ветвь гиперболы в нижней полуплоскости; |
||||||||
2) Ветвь гиперболы в лсвоИ полуплоскости. 4.3.102. 90° 4.3.103. 4. |
|||||||||||
4 |
.3.104 |
. Через В. 4.3 |
.107. у2 = -Зх. 4.3.108. 3. 4.3.110. Ах - 2у + 1 = 0. |
||||||||
4 |
.3,111. |
к < |; к = |
|. 4.3.112. х2 = у. 4-3.113. (2;±2%/3). 4.3.114. 12. |
||||||||
4 |
.3 |
.115. |
4\/Зр. 4.3.116. |
8 уД . 4.3.117. 1,6 м. 4.3.118. 7 м. 4.3.119. (—1; 2). |
|||||||
4.3 |
.120. |
у = ±х. 4.3.121. х-2 = |
16?/; у2 = -9,6а:. 4.3.122. х2 = 2у. |
||||||||
4.3 |
.123 |
. 4ч/5. 4.3.125 |
. у2 = 8(х + 2). 4.3.126. 4х - |
2у + 7 = 0. 4.3.127. 24. |
|||||||
4,3 |
.128 |
. х - у + 9 = 0; 9 ж |
- у + 1 = |
0. 4.3.129. 9 ж |
- by + 9 = 0. |
||||||
4.3 |
.132 |
. у - 18 = 0. См. 4.3.131. |
4.3.133. 2® - у - |
4 = 0. 4.3.135. ж2 = Ау\ |
|||||||
у2 ——4 ж ; |
ж 2 |
= —Ау. 4 |
.3.136. ж 2 |
= 14у. 4;3.137. Парабола, у2 = | ж ; Р — |; |
^ (| ;0 ); ж = - | . 4.3.139. 8.
Глава 5. Аналитическая геометрия в пространстве
§ 1. Метод координат в пространстве
5.1.2.^^;24;0^. 5.1.5. Относительно плоскостей ОхулOyz, Oxz —
соответственно (3;—4 ;—2), (—3; —4; 2), (3; 4; 2); относительно осей Ох, Оу, Oz — соответственно (3; 4; —2), (—3; —4; —2), (—3; 4; 2); относительно точки
О — (—3; 4; —2). 5.1.6. \/65. 5.1.9. (б ;3 ;^ ) . 5.1.10. (4; —1;3). 5.1.11. (0;0;6);
(0;0;2). 5.1.12. 0,75 •y/ÎÔ. 5.1.13. Да. 5.1.14. 1) 1,3,5,7; 2) 2,3,5,8; 3) 1,3,5,7;
4)2,4,5,7. 5.1.15. (3; —3; -3 ), R = 3. 5.1.16. |.40| = 5V% расстояния до осей
Ох, От/, Oz соответственно равны л/ЗТ; л/34; 5. 5.1.17. 0(7; —1; 7); 0(10; —3; 6)
5.1.18. |
3,5. 5.1.20. Указание. Доказать, что середины этих отрезков имеют |
одинаковые координаты. 5.1.21. .4 G Oz, В G Оху, О G Oyz. 5.1.22. 5. |
|
5.1.23. |
5.1.27. (1; 0; —3), R = 4. 5.1.28. Вне сферы; внутри; внутри. |
5.1.30. |
1) Две плоскости у = 2, у = —2; 2) Параболический цилиндр; |
3) Точка 0(0; 0; 0); 4) Плоскость z = 0 и у = —z. 5..1.31. 1) Плоскость х = О, г/ = О, 2 = 0; 2) Две плоскости, проходящие через ось Oz и делящие пополам двугранные углы, образованные плоскостями Оху и Oyz; 3) Никакой;
4) Круговой цилиндр с R = 2 и осью параллельной оси Oz. 5.1.33. Сфера (х —тр) + (у —4)2 + z2 = ijp . 5.1.34. Окружность, лежащая в плоскости
у= 2, с радиусом Я = >/б и центром в точке (3;2;0). 5.1.35. 1) Ось Oz;
2)Прямая параллельная оси Ох; 3) Окружность с R = 2>/5 и центром в
точке (4;0;0)J . |
L . U U . |
- Г |
— X J |
|
|
|
|
5.1.37 |
J (х — 2)2 Н- (т/ — 2)2 + (z — 2)2 = 9, |
у — х. 5.1.39. |
у ( |
0. |
|||
\ |
0. |
|
5.1.38. |
||||
|
[ у - |
|
|
|
|
|
|
5.1.40. х2 + у2 = 2pz, где р — расстояние от точки до плоскости. |
|
|
|||||
5.1.41. х2+ у2 + z2 = а2. 5.1.421 |
~ ^ + fg = -1- 5.1.43. Эллипс. |
|
|||||
5.1.44. |
Цилиндр. 5.1.45. А\ лежит, Ао не лежит. |
|
|
|
§ 2. Плоскость в пространстве
5.2.2. 1) z - 1 = 0; 2) х + 2z = 0. 5.2.3. 1) х - 5 = 0; 2) х + ?/ + г - 7 = 0.
5.2.5. |
coso = 2^2, cos/3 = |
cos7 = ' 5 . 2 . 8 . 9х + у + Hz - |
7 = 0. |
|||||
5.2 |
.9. |
8х + Зу - 2z - |
5 = 0. 5 |
.2.11. 10х - |
5у - |
4z + 20 = 0. |
|
|
5.2 |
.13. |
х + 5у + 2z - |
8 = 0. 5.2.14 |
. Зу - |
8z + |
13 = 0. 5.2.15. 37,5. |
5.2.16. 10; |
|
arccos фг. 5.2.17. х - |
2у + 2z - |
18 = |
0. 5.2.18. 2х - у - 3z + 5 = 0. |
|
||||
5.2.19. Зх - 2у + 4z - 8 = 0. 5.2.20. x - 2 y + z - 3 = 0. |
|
|||||||
5.2.21. 5х —2у — 3z + 4 = 0. 5.2.22. 5х - |
2у + 5z - 16 = 0. 5.2.23. 2. |
5.2.24. x + y + z —4 = 0. 5.2.25. х + у + 3z - 15 = 0. 5.2.26. x - y - 3 z - 2 = 0.
|
|
|
1) (1; - 2; 2); 2) Нет общей точки. 5 |
|
X - XQ |
у —2/0 |
2 - 2 |
0 |
||
5.2 |
.27. |
.2.29. |
0>хах |
а»у |
а. |
= 0. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
А |
в |
С |
|
5 |
.2 |
.30. |
9х + 10у - |
Hz = 0. |
5.2.31. 27. 5.2 |
.32. (-40; -8 ; 44). 5.2.33. 6.. |
|
|||
5 |
.2 |
.34. |
Зх + 2у + z - 10 = 0. 5.2.35. 1) и 4). 5.2.36. Да, через А и С. |
|
||||||
5 |
.2 |
.37. |
( -6 ; 0; 0); |
(0; -3 ; 0); |
(0; 0; 2). 5.2.39. х + 2у - 3z + 4 = 0. |
|
|
|||
5 |
.2 |
.40. 15х — 5у — 4z —7 = 0. 5.2.42. 1) arccos |
2) arccos i . |
|
|
|||||
5.2 |
.44. |
1) Зл/З ; 2) |
8. 5.2.45 |
. 4. 5.2.47. Зх - 4у + 2z = 0. |
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|