книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс
..pdf9 .3 .1 3 7 . |
2 ж Д |
+ 4тг2 + 1п(2тг + Д |
+ 4ж2). 9 .3 .138 . ± ( Д |
+ 1п(1 + Д ) ) . |
||||||||||||
9 .3 .139 . |
|
16. |
9 .3.140. fix /T T F . 9.3.144. |тгД3 |
9 .3 .145 . |тгR2H. 9 .3 .146 . 8. |
||||||||||||
9 .3 |
.1 4 7 . |
8. |
9 .3 .148. 8тг. 9.3.149. |
|
9.3.150 . 54тг. 9 .3 .151 . 24тг. |
|||||||||||
9 .3 |
.152 . 24х/3тг. 9 .3 .153. |/»(о2 + аЬ + Ъ2). 9 .3 .154 . |
|
9 .3 .155 . 24тг. |
|||||||||||||
9 .3 |
.156 . |
|
9 .3 .157 . |
|
9 .3 .158 . Щж. 9 .3 .159. 135. 9 .3 .160 . |
|||||||||||
9 .3 .1 6 1 . 27тг. |
9.3.162 . |
9 ^ . |
|
9.3.163. |
24 |
|
9 .3 .164 . 50. |
9 .3 .170 . Щ ж . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
9 .3 |
.171 . |
^ + |
27Г. 9.3.172. ^ |
ж. 9.3-.173. |
15 |
9 .3 .174 . 4тг2. |
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|||
9 .3 |
.175 . 7г(3тг + 4). |
9.3.176. 4тг. 9 .3 .177. |тг. 9 .3 .178 . |тга26. 9 .3 .179 . |тга2Ъ. |
||||||||||||||
9 .3 |
.180 . T r(ln 4- |
9 .3 .181 . 2тг2 |
9 .3 .182 . 48тг. 9 .3 .183 . 18тг. 9 .3 .184 . 48тг. |
|||||||||||||
9 .3 |
.185 . ^г. 9.3.186. ^ т г . |
9 .3 .187 . тга3 ( § ^ + |
i j . 9.3.188 . ^тг. |
|||||||||||||
9 .3 |
.189 . | (е2 - 1). |
9 .3 .190 . Щ ж . 9 .3 .191. |тг. 9 .3 .192 . утгЛ 3 |
||||||||||||||
9 .3 .193 . |тга3 |
9.3.194 . Щ‘ |
. 9 .3 .195 . |тг. 9 .3 .196 . |тга3 |
9 .3 .197 . ^тг. |
|||||||||||||
9 .3 .198 . 216тг. 9 .3 .199 . | R3 9 .3 .200 . 8. 9 .3 .201 . ^тг. 9 .3 .202 . 8тг. |
||||||||||||||||
9 .3 .203 . i|^7r. 9 .3.204. |тг. |
9 .3 .205 . 4тг2. 9 .3 .206 . |
|
“ 2). 9 .3 .207 . тг. |
|||||||||||||
9 .3 .208 . | (1 5 - 1 6 1 п 2 ) . |
9 .3 .209 . |
|
9 .3 .210 . тг2. 9 .3 .211 . ± ж . |
|||||||||||||
9 .3 .212 . ж. 9.3.213. 7r(l - |
1 ) |
-► ж. 9.3.214 . |
Щж. 9 .3 .215 . Да. |
|||||||||||||
9 .3 .220 . у |
mi2. 9 .3 .221 . 16тг2а2. 9 .3 .222 . ^тг. 9 .3 .223 . |
2 ж { Д + 1п(1 + Д ) ) . |
||||||||||||||
9 .3 .224 . 2жЪ(ь + у |
arcsin |
|
. |
9 .3 .225 . 2тга(а+ |^ln|a-±-S|). 9 .3 .226 . 16тг2. |
||||||||||||
9 .3 .2 2 7 . 4тг. 9.3.228 . |тг(2л/2 - 1). 9 .3 .229 . жRy/R2 + Я 2. |
|
|||||||||||||||
9 .3 .2 3 0 . ж(е - |
е-1 + 2). 9 .3 .231 . Щ (\/Ш - |
|
11п(х/Ш - 3 )). 9 .3 .232 . у г а 2. |
|||||||||||||
9 .3 .2 3 3 . тг(л/2 -Ь 1п(1 + Д ) ) . |
9 .3 .234 . ^ (2 е 4 - 5е2 - 1). |
9 .3 .235 . i|âjrЯ2. |
||||||||||||||
9 .3 .2 3 6 . Щ Д . ( е * -2). |
9 .3.237 . Ц^-ж. 9 .3 .238 . ^(Э Тх/ЗЗ* - 97 - вОх/ЗЗ3). |
|||||||||||||||
9 .3 .2 3 9 . 640тг. 9 .3 .240 . 8тг(2 - |
Д ) . |
9 .3 .241 . |
|
|тг(2\/2 - 1). |
9 .3 .242 . 8тг2. |
|||||||||||
9 .3 .2 4 3 . ж |
( Д |
- Д |
+ In 2 y g |
|
* ^ |
) •9-3.244. ж |
Д { 2 - |
|
9 .3 .245 . Зтг. |
|||||||
9 .3 .2 4 6 . Щ ж. 9.3 .247 . |тг(Зтг-4). |
9 .3 .248 . ^£тг. 9 .3 .250 . |
10 м; 1 м/с. |
Глава 11. Функции нескольких переменных
§ 1. Понятие функции нескольких переменных. График и линии уровня
функции двух переменных
11.1.3. S = у/р(р ~ х)(р - |
у)(х + у - |
р), 0 < х < р, 0 < у < р, х + у > р. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
у/К2 —х 2 —ту2), если центр |
||||||
11.1.4. Функция неоднозначная; V = 4хт/(2Я + |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
шара расположен внутри пирамиды; V = g хт/(2Я —у/К2 |
|
■ж2 —т/2), если |
|||||||||||||
центр шара расположен вне пирамиды; D = {(гс, 7/) |
0 < х ^ 2Я, |
|
|||||||||||||
О< у ^ у/ Ш 2 - х 2}. |
11.1.5. V = f Л(12 - /г), 0 < h < L |
11.1.7. а) |
^ ; |
||||||||||||
б) |
х |
— 7/~ |
|
|
2x7/ Т. |
11.1.8. а) |
- 2 . 6 ) |
|
|
в) |
XI/ + |
£ . |
|||
|
2ху |
■>S ïf |
г/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
r) |
|
|
д) |
1+ |
7 ’ е) |
** - г/2+ |
t + J - |
|
|
/(*) |
= V T + ^ . |
|
|||
1 1 .1 .1 1 . f(x\ у) = х |
1+7/ |
Указание. Обозначив и = х + у, v = У-, определим |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71 |
2 ?;2 |
|
_ Ц2(1 —у) |
|
||
|
т |
Ъ ’ У = |
T T ÏÏ - тогда/(” ;”) = ( Г 7 ^ |
+ |
|
т = |
(1 |
-— + . Остается |
|||||||
|
(1 + V) |
2 |
|
+ т;) |
|
||||||||||
заменить и на хит; на у. 11.1.12. /(х) = х2 —х, a z = |
2у —(х —у)2. |
||||||||||||||
11.1.15. |
Полосы 27Г71 ^ х ^ (2тг + 1)7Г, у ^ 0; (271 + 1)тг ^ х ^ (2тг + 2)7Г, у ^ 0, |
||||||||||||||
где п — произвольное целое число. 11.1.16. Биссектриса II и IV |
|
||||||||||||||
координатных углов, у = —х. 11.1.17. Полоса: 1 ^ у ^ 1, х 6 R. |
|
||||||||||||||
11.1.18. |
Часть плоскости первой четверти, расположенная выше параболы |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
{ |
х > 2 |
|
|
|
Гх < 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
^ |
’ |
|
|
и < |
’ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
^т/<2 |
|
|
2 ^т/^2. |
|||
1 1 .1 .22. |
Часть пространства над (или вне) эллиптического параболоида. |
||||||||||||||
11.1 .23. |
Часть пространства, расположенная над гиперболическим |
параболоидом. 11.1.24. I, III, VI, VIII октанты системы координат O xyz, не
включая границу. 11.1.25. Полупространство, ограниченное плоскостью
х + т/ + z = 1, и содержащее начало координат. 11 .1 .27 . Линии уровня — прямые х + т/ = с, а график функции — это плоскость. 11 .1 .28 . Линии уровня — равносторонние гиперболы ху = с, с > 0 (они расположены в первой
и третьей четверти плоскости). График функции — конус. 11 .1 .29 . Линии уровня — равносторонние гиперболы. 11.1 .30 . Линин уровня — прямые линии, параллельные прямой х + у + 1 = 0. 11 .1 .32 . Плоскости, параллельные плоскости х + у + z = 0. 11 .1 .33 . Концентричесне сферы
радиуса д/гГ, и > 0, с центром в начале координат; начало координат 0 (0; 0; 0)
при и = 0. 11.1.34. Однополостные гиперболоиды с осью Oz, если и > 0 или двухполостиые гиперболоиды при и < 0, если же и = 0, то х2 + у2 - г 2 = 0 —
конус. 11 .1 .35. а) |
4 ^ |
" 2L ± £ i б) |
( ,/ + |
+ 4 |
' |
Уj + X2 |
у - х ’ ’ |
х *)ху у - х ’ |
+ ( |
ухи- |
|
Inи -- г - И ------^)du . |
|
|
|
|
|
|
||||||
\у/х2 - у2 |
|
|
л/х2 - y 2VJ |
|
|
|
|
|
|
||||||
11.4.16 |
. dz —— ^'yev+ х ^ |
sinxydw —(yev+ xln«)sinxydu. |
|
|
|||||||||||
11.4.17 |
. dz = |
-— Ц -y |
[ ( —JO |
,------- + x 4) du + ( —jÆ |
------- x") dv . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 + x V [\ V u 2 + v 2 |
) |
V V u 2 + V2 |
J |
J |
|
|||||
11.4.18 |
. dz = |
T -, 1 L |
[ - ? % - |
+ ( — |
-----------—'jtidu]. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2y/x + y L sin |
2v |
\ cos2 v |
sin"!;/ |
J |
|
|
|
|||
11.4.19. dz = |
|
1 |
3- [(2a; cos v + 1Ьул sin v) du + (—2xusm v + lb y 4u cos v) dv] . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
7 ( x * + 3 y°) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
e2y — — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n -4 -22- y = |
|
|
|
n -4 -23- y = |
|
n -4-24- y - |
|
||||||||
11.4.25 |
. |
y' = |
|
I . |
11.4 .26 . j/' = |
|
11.4.28. (t): |
|
|
||||||
llx |
+ 2y - |
24 = |
0, (n): 2x - lly |
+ 7 = |
0. 11.4 .29 . (t): |
7x - |
y - 13 = 0, (n): |
|
|||||||
x + |
7y - |
9 = |
0. |
|
11.4.35.dz = |
|
+ s*dy |
ц . 4.36. |k = |
d±. = |
----------1------- - |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z - x y |
|
ox |
ay |
X 4-у + 2 |
— 1 |
|
11.4 .37 . |
4 |
= |
-a4 z? , |
4 = |
-b~£z tt. 11.4.38. x + 4y + 62 = |
±21. |
|
|
|||||||
11.4.39. ±a: ± |
?/ ± z = |
\/a2 + b2 + c2. 11.4.40. В точках (1; 1; 0) |
и (1; - 1 ; 0) |
|
касательные плоскости параллельны плоскости O xz, в точках (0; 0; 0) и
(2; 0; 0) касательные плоскости параллельны O yz, а касательных плоскостей,
параллельных О ху, нет. 11.4 .42. 4т = |
— S X ~V^- |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
at |
х” + î/ |
|
|
|
||
11.4.43. dz = |
2(4x3 - |
8x y 2) + |
(4t/3 - |
8rr2î/)e2t dt. |
|
|
|
|||||
11.4.44. d2 = |
[(y + I ) |
|
+ (x - |
4 ) }]Л . |
|
|
|
|||||
11 .4.45 . d z = ( X |
— |
- |
|
2.T |
|
|
dt. |
|
|
|
||
|
, . |
: ---- ) |
|
|
|
|||||||
|
Vy7 ! + 4Г |
y V l |
- |
t. J |
|
|
|
|
||||
|
|
i2' |
|
|
|
|
||||||
11.4.46. dz = |
|
У |
|
(2ty5‘2 •In2 + - J Ê Ï -----)Id*, . |
|
|
||||||
|
У (x2 + y2)3 V |
J |
|
|
|
V l - 4 t * ' |
|
|
|
|||
1 1 .4.47. d2 = |
[_3 sin(x + y) + xcos(x+j/) + ^ _ |
1}^ |
+ x)] ^ |
|
||||||||
11.4.48i. dz = |
|
2a; sin x 2 |
cos a;2 |
|
|
-)d t. |
|
|
|
|||
|
|
2/(t + 2) |
|
|
cos2 1> |
|
|
|
||||
11 .4 .49 . dz = |
f —— sec2 — sin2t — 2 ^ j sec2 — cos 2*) dt. |
11.4.56. Да. |
|
|||||||||
|
\ |
У |
У |
|
|
|
|
у |
У |
J |
^ |
|
11.4.57. Нет. 11.4 .58. |
Да. |
|
|
|
11.4.59. Нет. |
11.4.60 . Нет. |
MQ(—1; 1) не |
|||||
линии 11.4 .61 . Да. 11.4 .62 . у = |
± |
|
Зх2 ± ДЭх4- |
arctg2x. |
|
|||||||
11.4 .63 . у = |
\/х + 1п(20х + 18х3 + 1). 11.4 .64 . у = |
± 1/arctg(3x2 + 17) - х 2. |
||||||||||
.............. |
3 + |
i/9 + |
16Х-1 ± |
\И З+ У д + 16х")2 + |
1бх4 |
|
|
|||||
11.4.65 . у = |
-------------------------- ---------------------------------------, |
|
|
уравнение определяет две однозначные неявные функции, так как при хо = 1
уравнение допускает два корпя у = 2 и у = 0. Касательная через (1; 0):
у = - - у (я - 1), через (1; 2): у - 2 = -у ^ (х - 1)- В окрестности у = 2
уравнение допускает также две однозначные неявные функции, ибо при у = 2
уравнение имеет два корня х = 1 их = 20 .11 .4 .67 . || =
1 1 .4.68. dz = |
(2xf'v(u; v ) - |
|
^)) dx+ ( |
f u(H; г ;)-3 /'(ц ; t;)) dy. |
|||
11 |
.4 |
.69 . |
= |
i 2a: т/и(ц;^) + г/2/и ц ; ^)> If: = |
2xyf'v(u \ v )- ■ |
||
|
|
|
OX |
X — y |
|
oy |
x —y |
11 .4 |
.70 . dz = |
£(2uv — v2)sinî/ - (и2 — 2m;)î/sin.x'J dx+ |
|||||
+ [^(2ш; —v2)x cos y + (u2 - |
2uv) cosxj dy. |
|
|||||
11.4 |
.71. dz = |
^5x 4/ ' ( u ; u ) - 7//'(n;t;)sinx?/^ d x - |
( x s m x y f,n(u]v) + 7 f,v{u\v)) dy. |
||||
11 |
.4 |
.72. dz = |
J?(co s^ /i(w ;v ) + i |
(“ ï v)) (?У rfx “ -г* dv)- |
|||
1 1 .4.73. dz = |
— VJ^L' |
Указание. Из данных условий нужно исключить и |
и v: и = |
>/х + у, v = >/х - |
?/. Тогда z = у/х2 — у2) |
|
|
||
= |
xdx |
_ |
_ = x d x - y d y n 4 7 4 |
dz = xdx + 2^ |
||
у / х 2 — у 2 |
у / х 2 — у 2 |
z |
а |
а |
||
11 .4.75 . |
dz = |
y/z{xdx - y d y ) . |
11 .4 .76 . dz = 2(xdx + ?;dy). |
|
||
11 .4 .77 . dz = 2(x dx + y dy). |
|
|
|
§ 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков
11.5.7.—sinxsinydx2 + 2cosх cosуdx dy — sinх sinydy2. 11.5.8. 24x + 6y.
11.5.9. —sin(x + y). 11.5.10. _ 4cc|s2(x + y) |
n 5Л1. 0. Ц .5.12. д’(д + 2у1, |
||
|
sin |
2(x + y) |
(x + y) |
11.5.13. î/(2 - y 2) cosx y - xy 2sinxy. 11.5.14. sin 2/ cos(x + cosy). |
|||
11.5.15 - 2^2-----%rrz(dx2 - dy2) - 4xî/ |
f |
•11.5.16. - cos(x + 2/)(dx + diy)2. |
|
(s + 2/ ) |
+ 2/ |
) |
|
11.5.17. dz = |
(2xy —y2)dx + (x2- 2xy)dy, d2z = 2ydx2 + 4(x - y)dxdy - 2xdy,2 |
||
11.5.18. dz = |
( у + j&)dx+ {x ~ x ) dy’ d*z = ~^idx2 + 2{l + -£z)dxdy. |
11.5.19. dz = 6(x2 + y2)2(xdx + ydy),
d2z = 6(x2 + J/2)[(5X2 + y2)dx2+ Axydxdy + (x2 + 5y2)dy2].
11.5.20. dz = (sinx)c0‘v(cos yctgxdx - |
sinуIn sin xdy), |
d2z = cosx(sinx)C03v[(cosу - l)ctg2x - |
l]dx2- |
- 2sin yctg x(sin x)cos*(1 4- cosуIn sinx)dx dy+