книги / Функциональный анализ

однородного линейного дифференциального оператора А поряд­ ка s с постоянными коэффициентами функционал Ва (ф, ф) = 3= В (Лф, Лф) инвариантен относительно сдвигов и положительно определен. Тогда для любых бесконечно дифференцируемых фи­ нитных функций ф(х) и ф(х), все моменты которых до (s — 1)-го порядка включительно равны нулю, справедливо равенство

где р, и ah имеют тот же смысл, что и выше.

Ли т е р а т у р а : [15].

7. Теорема Пэли — Винера — Шварца. Существует тесная связь между носителем обобщенной функции и аналитическими свойствами ее преобразования Фурье. Если обобщенная функ­ ция F сосредоточена в области G&: |х|-^6, то ее преобразова­ нием Фурье является целая аналитическая функция 1-го порядка роста и типа <£>. Обратно, пусть f{z) = f{zu ..., zn)— целая аналитическая функция 1-го порядка роста и типа -О , которая возрастает при |х|->оо не быстрее некоторой степени \х\<*у и

(f>ф) = J f{x) ф(х) dx

— соответствующий этой функции функционал в пространстве Z. Тогда преобразование фурье f функционала / сосредоточено в области G&.

Ли т е р а т у р а : [13], [67], [68].

8. Спектральные функции для голоморфных функций. Пусть функция /(г) голоморфна в трубчатой области Тв = Rn + iB. Спектральной функцией для f(z) называют обобщенную функ­ цию g ^ D ' такую, что

Фурье — Лапласа спектральной функции g(£). Носитель g(Q назовем спектром функции f(z).

Для того чтобы функция f (z), голоморфная в трубчатой об­ ласти Тв, была преобразованием Фурье — Лапласа некоторой спектральной функции, достаточно, чтобы для любого ком­ пакта К а В существовали такие числа m и М, что

\ f ( z ) \ ^ M ( l + \ x \ ) m, ze=Rn + iK,

и необходимо, чтобы f(z) была голоморфной в выпуклой обо­ лочке Тв и удовлетворяла вместе с производными любого по­ рядка этой оценке.

Ли т е р а т у р а : [307].

9.Теорема об острие клина. Если носитель обобщенной функции F лежит в объединении светового конуса прошлого и светового конуса будущего, то преобразование Фурье для F равно разности двух функций d>i и Ф2, одна из которых аналитична в трубе будущего, а вторая — в трубе прошлого. Совмест­ ная граница трубы будущего и трубы прошлого — это про­ странство Rn- Если F обращается в нуль в некоторой области пространства Rn, то функции Ф1 и Ф2 являются аналитическими продолжениями друг друга. Эта теорема называется т е о р е м о й об «острие клина». Более точная формулировка этой теоремы такова:

Пусть функция f(z) голоморфна в открытом множестве

7^ = {:г:|г| < R, */е С}, где С — открытый конус. Пусть, далее, открытое множество G cz Rn содержится в шаре |л:| < R. Если существует f(x-\- /0), то функция f(z) голоморфна и однозначна

в области TR [}(6 [\Т0{С))у где О (С )— выпуклая оболочка ко-

нуса С, a G—комплексная окрестность множества G, имею­ щая вид

G = [J {z:\x - t \ < 0ДО(0). feO

Здесь 0 < 1— положительное число, не зависящее от t, G, R и f, и AG (t) — расстояние от t до границы области G.

Л и т е р а т у р а : [307].

10. Преобразование Радона основных функций и его свой­ ства. Преобразование Фурье функций нескольких переменных разлагается на два преобразования: на интегрирование преоб­ разуемой функции по плоскостям /г-мерного пространства и на одномерное преобразование Фурье. Именно, если

f ( l ) = J

где положено

f (i. p) = ‘\ f (х) b(p — (1, X)) dx

(относительно значения символа б(р — (£, х)) см. § 3, п. 5).

Функцию f (|, р) называют преобразованием Радона функ­ ции f(x). Основные свойства преобразования Радона выра­ жаются следующими формулами:

1) f(a£, ap) = | a r !f(6, р) для любого а ф 0;

44 ( a’ ^ ) f w } = ( a ’

5) {(a, x)f(x)}'' = — (a, ~§jr)f(l, РУ>

оо

6) (f\ * h Y = / M l . t)h(i, P - t ) d t .

Функция f(x) выражается через f(t,p ) по формуле

П—1

2 (2JT)

если n нечетно, и по формуле

если n четно. Через Г здесь обозначена произвольная поверх­ ность, окружающая начало, и через dco— дифференциальная форма на этой поверхности, определяемая равенством

Интеграл по p надо понимать в смысле регуляризованного зна­ чения (см. § 2, п. 2).

§ 5. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 515

Этот функционал можно распространить на пространство всех функций ф(|, /?), удовлетворяющих условиям 1)—3), однако при этом он будет определен не однозначно, а лишь с точностью до

а - к - i (<*Е) = a " fe | а |-1 а -ft-, (|);

при k ^ n —■1, кроме условия однородности, должно еще вы­

полняться условие

J* a ~k-\(?) Pk-n+i(?)d® = 0

г

для любого однородного многочлена P/t_n+1(g) степени k — п + 1. Особый интерес представляют преобразования Радона ха­ рактеристических функций неограниченных областей. Дело в том, что для ограниченных областей преобразование Радона S (?> Р) характеристической функции области V дает площадь сечения этой области плоскостью (g, х) = р. Поэтому преобра­ зование Радона характеристической функции неограниченной области можно рассматривать как регуляризованное значение

площадей сечений этой области.

Ли т е р а т у р а : [16].

§5. Обобщенные функции и дифференциальные

уравнения

1. Фундаментальные решения. Пусть

линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффи­ циентами. Фундаментальным решением, соответствующим этому оператору, называется обобщенная функция £(х), удовлетворяю­

точностью до решения однородного уравнения P {J ^ ) u (x) ~ 0.

Если р(х) — такая обобщенная функция, что имеет смысл сверт­ ка E*\i(x), то эта свертка является решением дифференциаль­

§ 5. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 517

Аналогично получается решение задачи Коши, если отлична от нуля производная (m -- k)-ro порядка. Решение задачи Коши в общем случае является суммой таких решений.

Поэтому решение задачи Коши при начальном условии и(х, 0) =

— и0(х) дается формулой

Пользуясь им, легко получить решение задачи Коши для этого уравнения в форме Даламбера.

Отметим следующее утверждение:

Если Е (х, t) является фундаментальным решением задачи Коши для дифференциального уравнения

В левой части равенства Е0(х, t) применяется к основной функции двух переменных <р(х, /), в правой части под знаком интеграла E(x,t) при каждом фиксированном / > 0 применяет­ ся к основной функции одного переменного ф(х, t).

Л и т е р а т у р а : [12], [67], [68].

2 . Фундаментальные решения для некоторых дифферен­ циальных уравнений. Для итерированного оператора Лапласа А™ фундаментальное решение имеет вид

Фундаментальное решение задачи Коши для уравнения теп­ лопроводности в n-мерном пространстве дается формулой

520 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

После этого разлагают обобщенную функцию гк на плоские вол­ ны (см. § 3, п. 1) и решают уравнения