книги / Функциональный анализ

рождены в том смысле, что имеют место «лишние» изоморфиз­ мы, а именно

Во всех пространствах типа S и ^ определены и ограниче­ ны операторы дифференцирования, умножения на независимые переменные, сдвига и умножения на expi(e, х)> где a — веще­ ственное число.

Пространства <Их+> <^a-> Sa+> Sol и сильно сопряженные к ним обладают следующими свойствами: они полны и ядерны (гл. I, § 4, п. 11). Чтобы получить для них сильно сопряженные пространства, надо заменить lim ind на Пт рг, а банаховы про­

странства <2?a, л — на сильно сопряженные к ним про­ странства. Например,

lim рг (Я**})*.

«В -»оо, Л - » 0 4

Чтобы получить пространство М(Ф) для пространства Ф ти­ па S, надо:

1)Заменить S на &.

2)Сохранить знак наверху и поменять его внизу; если при

этом получатся одинаковые знаки, то добавить сверху знак V; если же получатся разные знаки, то сверху никакого знака не писать. Например,

м (sSt) ~ й±, м(sit) ~

Чтобы получить для любого пространства Ф типа S про­ странство С(Ф), надо:

1) Заменить S на & и добавить знак * (переход к сильно сопряженному пространству).

функций, быстро убывающих вместе с производными любого порядка; S0+— пространство D финитных бесконечно дифферен­

цируемых функций; 50+— пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций с более слабой топологией, ч*ем в D\ <§ъ— пространство С°° всех бесконечно дифференцируемых функций; Sa ч=(<§?а+) — пространство бесконечно дифференцируе­ мых функций, которые вместе со всеми производными убывают

порядка р, быстро убывающих вместе со всеми производными (медленно растущих вместе со всеми производными).

Л и т е р а т у р а : [13], [308].

4. Таблица преобразований Фурье обобщенных функций од­ ного переменного. Значения функций А(Х), В(Х), С(Х), D(X) и коэффициентов а("} и т. д. приведены в конце таблицы 1.

Здесь и в дальнейшем приняты стандартные обозначения:

Е>(X) = 2 cos ^ г (Я + 1) - - Ц - + dV + d\n)(X + « ) + . . .

2 л Р ( ~ 1 - к ) ь { 8 )

510 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

положительно определены (они являются преобразованиями

Фурье положительных обобщенных функций | х |\ х+, х~). Любая положительно определенная обобщенная функция

может быть представлена в виде F = (1—-Д)т/(х), где f(x) — положительно определенная непрерывная функция, Д — опера­ тор Лапласа. Свертка двух положительно определенных обоб­ щенных функций положительно определена.

Отмеченные результаты позволяют получить описание ин­ вариантных относительно сдвигов положительно определенных эрмитовых функционалов. Функционал В(ф, ф) называют эрми­ товым полуторалинейным, если при фиксированном ф он ли­ неен и непрерывен относительно ф, а при фиксированном ф он антилинеен и непрерывен относительно ф. Функционал В(ф, ф) инвариантен относительно сдвигов, если

В (ф (х + h)f ф (х + Щ) = В (ф, ф).

Если В(ф, ф)>0, то функционал называется положительно определенным.

Всякий положительно определенный инвариантный относи­ тельно сдвигов эрмитов полуторалинейный функционал в про­ странстве D имеет вид

В(<р, Ф) = | ф(Я)ф(А)йр(Я),

где (ы(Я)— некоторая положительная мера степенного роста, а ф(Я) и ф(Я)— соответственно преобразования Фурье функции ф(х) и ф(х).

Ли т е р а т у р а : [15].

6.Условно положительно определенные функции. Обобщен­ ную функцию F называют условно положительно определенной порядка s, если неравенство {AAF, ф*ф*)^>0 выполняется для

всех основных функций и всех линейных однородных дифферен­ циальных операторов А порядка s с постоянными коэффициен­ тами. Всякая условно положительно определенная обобщенная функция порядка s в пространстве D имеет вид

Здесь Qo — Rn — {0}, ф(Я) — преобразование Фурье функции ф(я), (X— такая положительная мера степенного роста, что

о < |я,|< I