книги / Функциональный анализ

к ней вектора ю. Аналогично из второй формулы следует, что

Ли т е р а т у р а : [12].

2.Обобщенные функции, связанные с квадратичными фор-

в случае положительно определенных квадратичных форм Р

не является однозначно определенной. Формы с комплексными коэффициентами можно записать в виде $? = Рi + ^ 2, где Р\ и Р2— вещественные квадратичные формы. Пусть «верхняя по­

полуплоскость» — множество форм вида Pi — iPi, где Рг поло­

жительно определена.

Если квадратичная форма ^ принадлежит верхней полу­ плоскости, то полагают

З х{х) однозначно определена, а интеграл сходится при Re А, > О и является аналитической функцией от А. Аналитически про­ должая эту функцию по А, определяют функционал '{3х, ф ) д л я

других значений А.

Рассматривая обобщенную функцию 3 х при Р\ = 0, полу­ чают обобщенную функцию (/Рг)*'. Поскольку форма Рг поло­ жительно определена, изучение этой обобщенной функции сво­ дится к проведенному выше изучению обобщенной функции г2Х. Аналитически продолжая выражение вычетов формы {1Рг)х по коэффициентам формы Рг, находят выражение вычетов для фор­

Здесь через L обозначен дифференциальный оператор

L== V gqg — а2_ ,

дх<х дха г

а, р=1

коэффициенты которого связаны с коэффициентами квадратич­ ной формы 3 соотношениями

П

2 & aegPv = 6“ (б“ —символ Кронекера).

Через |g | обозначен дискриминант формы 3 .

494 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

a P i - с регулярной обобщенной функцией, задаваемой форму­ лой

Р < 0

Ли т е р а т у р а : [12].

4.Обобщенные функции вида g>Kf(g>, Я). Пусть f(z, Я) —це­

С помощью аналитического продолжения определяется обоб­ щенная функция g>^f(g>, Я) для других значений Я. Аналогично определяется обобщенная функция

д>Чпmg>f(g>, я).

Обобщенная функция (Р + iO)^f(P + ДО,Я) задается равен­ ством

(Р + iOf f (Р + <0, Я) = lim (Р + ieP2f f (Р + /еР2, Я),

8-> +0

где Рг — положительно определенная квадратичная форма. Ана­ логично

(Р - i0)xf (Р - lO, Я) = liш (Р - izP2f f (Р - ieP2, Я).

8 -»+ 0

Если форма Р положительно определена, то

(Р + iOf f (Р + /0, Я) = (Р — Ю)х / (Р - Ю, Я) = Рх/ (Р, Я).

Далее

/ (Р + ю , Я) = /(Р - Ю, Я) = f(P, Я).

Справедливы равенства

(Р + io f f (Р, Я) = Px+f (Р+, Я) + eanP \f (Р_, Я)

(Р - Ю)л f (Р, Я) = Р+f (Р+, Я) + (Р-, Я),

дающие выражения наших обобщенных функций через аргумен­

ты P+, Р—

К рассмотренному классу обобщенных функций относятся, например,такие функции, как

Zx[(Р + i0)'/2], (Р + ЮГШ Zx[(Р + *-0)Ч

где Z%{x) — цилиндрическая функция.

Каждой вещественной невырожденной квадратичной форме

(Q + /О)2 ( 2 +

сматриваемой обобщенной функции при %— s.

Ли т е р а т у р а : [12].

5.Обобщенные функции на гладких поверхностях. Пусть по­

ляют следующим образом. В достаточно малой окрестности Ux любой точки х поверхности S вводят новые координаты, поло­ жив «1 = Р и выбрав остальные координаты иг, .... ип произ­

вольно, с тем лишь ограничением, что якобиан D ^ j отличен

от нуля в Ux■Если функция <р(х) обращается в нуль вне Ux, то полагают

В общем случае разлагают функцию ф(х) на слагаемые щ ( х ) 9 обращающиеся в нуль вне окрестностей UXh-

Можно показать, что обобщенная функция б(Р) зависит только от функции Р, но не зависит от выбора координат ии ... , ип- Эту функцию можно определить также следующим образом. Пусть 0(Р) — обобщенная функция

§4. Преобразование Фурье обобщенных функций

1.Мультипликаторы и свертыватели. В главе II, § 1, п. 4

дано определение преобразования Фурье обобщенных функций, рассматриваемых как функционалы над линейным простран­ ством Е, плотно вложенным в S. Это преобразование опреде­ ляется формулой

(Р, ф) = (F, ф),

где ф— преобразование Фурье основной функции ф.

Есть иное определение преобразования Фурье обобщенных и быстро растущих функций. Пространства растущих функций интерпретируются как пространства мультипликаторов в некото­ рых пространствах быстро убывающих бесконечно дифференци­ руемых функций.

Пусть Ф и W — линейные топологические локально выпуклые пространства функций или функционалов, и Ь(Ф, 4я)— простран­ ство линейных непрерывных операторов из Ф в W с топологией ограниченной сходимости. Пусть М(Ф, 4я) — замыкание в £(ф, 4я) пространства операторов умножения на функции из S. Например, M(Dt D) — пространство С°° всех бесконечно диффе­ ренцируемых функций, M (S ,S ) — пространство бесконечно диф­ ференцируемых функций, имеющих вместе с производными лю­ бого порядка степенной рост, M (Z ,Z )— пространство целых аналитических функций экспоненциального типа, имеющих на

тывателями. Топология в М(Ф, 4я) и С(Ф, 4я) задается тополо­ гией пространства £(Ф, 4я). Для краткости М(Ф, Ф) обознача­ ется через М(Ф), а С(Ф, Ф) через С(Ф).

Пусть пространство Ф состоит из непрерывных суммируе­

мых функций и через Ф обозначено пространство преобразо­ ваний Фурье функций из Ф, а через Ф* — сильно сопряжен­

ное с Ф пространство. Топология в Ф индуцируется тополо­

М(Ф, 40~ С (Ф , чо

и, в частности, М(Ф) « С(Ф).

но. Если в Ф определено и ограничено отображение ф-*ф, то

Отметим еще, что

М {М (Ф)) « М (Ф), С(С(Ф))«С(Ф).

Л и т е р а т у р а : [13], [308].

2. Пространство типов S и <ЁГ. Пространство S замкнуто от­ носительно операций умножения на независимые переменные, дифференцирования, умножения и свертки - функций. Построен широкий класс пространств, обладающих указанными свойст­ вами. Пусть