Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Функциональный анализ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2023

Размер:

24.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 4748 / 5548 49 50 51 52 53 54 55 > Следующая >>>

§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ	471
Пр и ме р . Равенство
Ф (*) + ф (— х) — 2ф (0)	dx
м *

задает регуляризацию обобщенной функции | х | Вообще говоря, одна и та же функция может иметь различ

ные регуляризации. При этом регуляризации различных функ ций могут быть не согласованы друг с другом, так что, напри

мер, может нарушаться равенство	(/i + /2, ф) = (fu q>)-+ (/2, ф).
Вводится понятие канонической	регуляризации. Пусть L — ли
нейное пространство, состоящее	из функций f(x) (вообще го

воря, не локально суммируемых), каждая из которых имеет дис кретное множество особых точек и бесконечно дифференцируема на дополнении к этому множеству. Предполагается, что про странство L содержит вместе с каждой функцией f(x) все ее производные (на дополнении к множеству особых точек) и все функции a(x)f(x), где а(х) — бесконечно дифференцируемые функции.

Пусть каждой функции f(x) из пространства L сопоставлен линейный функционал (/, ф) — регуляризация этой функции. Эта регуляризация называется канонической, и функционал обозна чается через к.р./(х), если выполнены следующие условия:

1)	к. р. [Л,/, (х) + %2f2(*)] = %1 к. р. /, (х) + л2 К. р. f2 (х);
2)	к- р - Ш ~ г г ( к- Р' Пх));

здесь слева -gj — производная от функции в обычном смысле,

асправа — производная от обобщенной функции;

3)для любой бесконечно дифференцируемой функции а(х)

к. р. (а (я) f (*)) = а {х) к. р. f (я).

Примером пространства функций, для которого существует каноническая регуляризация, служит класс функций со степен ными особенностями. Точка Хо называется степенной особой точ кой функции f(x), если в окрестности этой точки функцию f(x)

можно представить в виде

ТП

f (х) = 2 а/ (х) hI (х),

где аj(x) —бесконечно дифференцируемые функции, a hj(x) — одна из следующих функций:

( х — х0)+> \ ( х —Х п)1, {х — х^ ~ 'п„ А ф — 1, —2, ..ч

472	ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ			ФУНКЦИИ
Функция	определяется равенством
		( хк	при ж>0,
	Х+	I 0	при л:< О,
а функция х \	— равенством
	.	[\ 0	при	х> 0,
		{ \ х\к	при	х<0 .

Функция f(x) называется функцией со степенными особенно стями, если она имеет на любом интервале конечное множество степенных особых Точек. Для того чтобы определить канониче скую регуляризацию в пространстве функций со степенными особенностями, сначала решают вопрос о регуляризации функ ций А , х~п.

Ли т е р а т у р а : [12].

2.Регуляризация функций ж*, ж*, х~п и их линейных ком

бинаций.

1) Если Re Л > — 1, то интеграл

оо

(*+> ф) = J А р (x)dx

сходится для произвольной функции ф(х) из пространства D и задает линейный функционал в этом пространстве. Чтобы оп

ределить		функционал				ф) при Re Л < — 1, используют усло
вие 2)		канонической				регуляризации.		Пусть	Re Л >	— п — 1,
Я Ф —1, —2,			. .. ,	—п,		...	Тогда Re (Я + п) >		— 1 и	потому
функционал				ф) определяется равенством
							оо
				(х^+п, ф) = J xl+nq>(х) dx.
							о
		р	/Л I	\| \
Но х \	== г (Л + П + 1) (A:++n)(”>• Поэтому в силу условия 2) должно
иметь	место равенство
(*+’ Ф)=		г(Я +		1)	l(xl+nf		\ ф] =
(*+’ Ф)=		Г(Я + « + 1)			l(xl+nf		\ ф] =
		Г(Я+1)		г..				г (Я + 1)	оо
		Г(Я+1)		г..		,ф (")]=(-1)"		г (Я + 1)	J xl+nqfnl(x) dx.
	Г(Л + п +			1 ) Г	+			Г(Л+П+Г) О
	Г(Л + п +			1 ) Г				Г(Л+П+Г) О

§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ		473
Таким образом, при Re A> — п — 1	функционал	(хх+, <р) за
дается формулой	оо
	оо
И , 1') = < - 1)“ г№ + » + 0	J

Можно проверить, интегрируя по частям, что эта формула рав носильна следующей:

			1
(*+ >	ф	) = \|	Xх [ф (х) — ф (0)— х<р' (0) — ...
			(п Г)Г Ф(п_1) (°)] dx + { ххц(х) dx + ^			( 0 )
			(п Г)Г Ф(п_1) (°)] dx + { ххц(х) dx + ^			1)!(Я + k) *
				1	k—1
При	-	п — 1 < Re Л < — п		можно воспользоваться		более про
стой	формулой:
			оо		Jl—1
			хх \|^ф (х) — ф (0 )	— х<р' (0 ) —	Jl—1
(*+» ф) =			хх \|^ф (х) — ф (0 )	— х<р' (0 ) —	(« —1)! Ф(п -1 )
		о

Приведенные формулы и задают регуляризацию функций х%при Re А, < — 1. Следует отметить, что эта обобщенная функ ция не определена при А = — 1, — 2, ..., — п, ...

2) Обобщенная функция (х^, ф) задается при ReA> —п—1,

А ф	— 1,	— 2, ... , — п,	...,	формулой
(хх ,	ф) =	I	Ф (0)	+ xq>' (0) — . . .
(хх ,	ф) =	{ Xх [ ф ( — х) —	Ф (0)	+ xq>' (0) — . . .
		о

и при — п — l<ReA<— п	более простой формулой:
(хх, ф) = Jоо Xх [ф ( —х) — ф (0) +
о
+ дсф'(0)—	... — ( - 1)*-1	<P{a~l) (0)] dx.

3)Наряду с обобщенными функциями хх+ и х)_ иногда

полезно рассматривать их линейные комбинации (при

474

ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

2, ...):

I х |я =

х \ +

х \,

| х I* sign х = х^_ — я*,

(х +

/0)я =

lim (х + 1г)к =

eiKnx \ y

в->+0

(х —

Ю)к =

l i m(х — ie)K= х \ +

е~апхК

е-*+0

Для этих линейных комбинаций можно указать более удоб

ные формулы. Так, при — 2т — 1 <

Re А, <

— 2т +

(U W ф) = Jоо х%{ф (х) + Ф(— х) —

2 [ ф ( 0) + 4 ^

° )

ж ' > '

При Х— — 2т пишут | х \~2т=

х~2т, так что

(Х~2т, ф) =

Jоо х ~ 2т | ф (х) +

ф (— х) —

{2-+

W<p(2m'

}dx-

2 [ф (0) +-

£ ф" (0)

. . .

2) Н

В частности,

ж)&—

l0)-dx.

(X-*,

Ф) =

ф(ж) +

<р(~

При

— 2т — 2 < R e ^ < — 2т имеет место формула

(U P1signх,

ф) =

Jоо

|Ф(х) — ф(— х) —

. . .{2С +

1-)\ Ф(2т_1)

2[x tf(0)

ф<» (0) +

(0)] )

При X — — 2т —

пишут |х |

2m_I sign х —

х~2т~1, так

что

оо

(x~2rn~l, ф) =

|*х~2т~1| ф (я) — ф (—

х) —

- 2 [xtf (0) +

ф(3) (0) + • • • +

V(2m~l) Н )

dx'

§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ

475

В частности,

оо

т) „ Г	dx,
О
оо
(*-», Ф)= f	H fL r .T (-^ )-W (0 ) dx%

6 Выражение (х~1, ф) называется главным значением интеграла

Jоо	в с м ы с л е К о ш и .
— оо	А — — п обобщенная функция	(л: -ф- Ю)я определяется
При	А — — п обобщенная функция	(л: -ф- Ю)я определяется
равенством
	(х + Ю)~п= х~п -	Ь(п~1) (х),

а обобщенная функция (х — Ю)~п — равенством

(х - /о)- = + ■" ^ У -а(я"1) (*),

где (агп, ф) д л я четных и нечетных п определено выше.

Ли т е р а т у р а : [12].

3.Регуляризация функций со степенными особенностями.

Пусть функция f(x) имеет единственную особую точку ^ = 0 и может быть записана в виде

f	(х) = 2	а/ (к) h , {х),
где а/(х) — бесконечно дифференцируемые функции,				a h ; { x ) —
одна из функций х х	%, х ~ п,	% ф — 1, 2, ...	Тогда
		П
(/. ф )=		2 (А/, аУф).
	У==1
Так как а3-(я)ф(я)— функции		из пространства	D, то	все сла

гаемые в правой части имеют смысл. Этим определяется регу ляризация функции f ( x ) .

Аналогично определяется регуляризация функции f ( x ) , имеющей степенную особую точку х — XQ. Для любой функции f ( x ) со степенными особенностями можно построить такие функ

ции f k ( x ) ,	1 ^ k < оо, что	/ = 2 / ь	каждая	из функций f k ( x )
имеет одну	особую точку,	причем на	каждом	отрезке \х\ ^ а

476	ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

лишь конечное число функций fh(x) отлично от нуля. Тогда по лагают

(/> ф) = 2 (/й. ф)- k=\

Можно показать, что значение (f, ф) не зависит от способа разбиения и что приведенная формула определяет каноническую регуляризацию в пространстве функций со степенными особен ностями.

Таким образом, построен алгоритм для регуляризации инте гралов вида J f(x)cp(x)dx, где f(x) — любая функция со степен

ными особенностями, а ф(х) — функция из пространства D. По лученные формулы применимы к более широкому классу функ

ций. Например, если функция f(x) имеет степенной		рост (т. е.
если существуют такие а, р и С, что	\ f (х) \| ^ С(1 +	\х \2) р	при
\х\ ^ а ) , то формулы регуляризации	применимы ко	всем	бес

конечно дифференцируемым функциям, убывающим вместе со

всеми производными при					\х\ —>оо		быстрее	любой	степени \х\.
П р и м е р	1.	Пусть		бесконечно			дифференцируемая			функция
ф(х) обращается в нуль вне отрезка [— я/2, я/2].									Из	формул
регуляризации следует, что оо
(ctg J		, Ф (*)) =			J	[ф() — ф (— )] ctg У dx.
Аналогично
-	т	Н		=	ф(-у) +		Ф(— X)	8(р (0)	dx.
-	т	Н	)	=	1	sin^
;ш	Т		)	0

Пр и м е р 2. Известное интегральное выражение

Г(Я) — J хх~]е~х dx

для Г-функции сходится лишь при ИеЯ>0 . Однако оно сохра няет силу при любых значениях X, %ф — 1, — 2, ..., если пони

мать интеграл в обобщенном смысле.			При	этом,		если	— п >
> R e A > — п — 1, то	формула в	развернутом				виде	записы-v
вается так:	/г —1
Г			-1)* хк		dx.
	"—2	■
			k\

h=Q

Л и т е р а т у р а : [12],

			§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ								477
4.	Регуляризация в, конечном промежутке. Пусть
			( хх		при	х е	[О, Ь],
			х[0, Ь) \|	О	при	X <£=[0,		6].
Поскольку		функция ср(х)		может не равняться нулю в точке
х — Ь,	формулы п. 2 не			применимы			в	данном		случае.	При
Re X> —п — 1, К Ф —1, —2,					..., имеет место формула вида
		ъ
(ХК>, ьу	ф) =	J^	[ф(-ж) — Ф(0) — —			— \ п	- 1	)	1ф<П-1) (°)] d x +
		о			*Л+1					и^+п
					*Л+1					и^+п
			+ ф ( 0 ) х + Т +				•••	+	ф("_1) (0) 7^Г(Г+ П) •
Эту формулу			можно рассматривать как					регуляризацию			инте-
	ъ			— /г — 1< Re Я < — /г, то
грала	Jххц>{х)йх. Если			— /г — 1< Re Я < — /г, то						при 6	оо

формула переходит в одну из формул п. 2.

Пример . При любом значении К, отличном от —1, —2,

(при R e X< — 1 этот интеграл расходится и выражение в пра вой части дает регуляризованное значение интеграла).

Полезно отметить,	что при	0 < с <	Ъ для любой функции
ф(л:) из пространства D выполняется равенство
JЪх \ {х) dx — Jс х \		(х)dx +	Ь J (х) dx,
0	О		с

если под первыми двумя интегралами понимать указанное выше регуляризованное значение.

Аналогично предыдущему можно регуляризовать интегралы вида

Jь(х — а)%а (х) ф(х)dx

J (b — х)1 а (х) ф(х)dx,

где а (л;)— бесконечно дифференцируемая функция, а <р(я) — функция, совпадающая на отрезке [а, Ь] с функцией из простран ства D.

478 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Если точки а и Ъ являются особыми точками для .функции f(x ), то полагают

Ь	с	Ъ
\| / (х) ф (х) dx =	\| f (х) ф(х) dx +	\| f (х) ф (х) dx,
а	а	с

регуляризуя слагаемые справа указанным выше способом. По лученный результат не зависит от выбора точки с.

Примеры.

1. Равенство

В(Я, р) = J xx~l (1 — х ) ^ 1dx,

справедливое в классическом смысле при Re %> 0, Re р > О, остается справедливым при всех % и р, кроме значений — 1,

— 2, ..., если понимать интеграл в смысле регуляризованного значения. Однако в развернутом виде эта формула при

> — k, Re р > — 5 имеет такую громоздкую запись:

В	О	L			Г==0—0				dx -(-
	О	L			Г==0—0				j
					5—1			Г(Л)(1 - х ) г 1
+	J	( 1	-	Л -1	S'	,	1Ч Г	Г(Л)(1 - х ) г 1
+	J	( 1	-	*Х‘ Г	S'		;	г! Г (Л—г) J £?Х +
	Vi	л-1			г=О
		л-1		(~1)гГ(\|х)				5 — 1	с—1)гГ(Х)
	+	r=0S		(~1)гГ(\|х)					с—1)гГ(Х)
	+	r=0S	2r+Vl Г (ц —г) (г+ Я)					^2 2Г+^! Г (X - г) (г + ц) *
2. Интегральное представление сферической функции
				(х2 - 1)9/2		1		(1 —р)4-'1*
				(х2 - 1)9/2		/■		(1 —р)4-'1*
						/■	(x + < /x 2- 1)" Р
			2 « /я Г (? + «/>) _Ji				(x + < /x 2- 1)" Р

IX I > 1,

справедливое в классическом смысле при Re<7>—‘/г, сохра няет силу при всех q, q ф — ‘/г, — 3/г, .... если рассматривать регуляризованные значения интегралов.

Л и т е р а т у р а : [12].

5. Регуляризация на бесконечности. Пусть b > 0 и D(b, оо) — класс всех функций ф(х), каждая из которых определена и бес конечно дифференцируема при всех х > b и такова, что преоб разование инверсии ф(я) г* ф(1/*) переводит ее в функцию

§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ

479

ф(х), совпадающую на интервале (0, 1/6) с некоторой функцией из пространства D. При Я Ф —- 1, 0, 1, ... по определению

оо	1/6
J А р ( x ) d x =	J y - %- \ { \ l y )	dy,
ъ	О
где интеграл в правой части	понимается в	смысле, указанном
в п. 4.	вид xxg ( x ) f	где g (х) — функция
Если функция f{x) имеет	вид xxg ( x ) f	где g (х) — функция
класса D(6, оо), то полагают
оо	оо
J f{x) qp(х) dx = J Xхg (х) qp(х) dx.
ъ	ъ

Аналогичным образом регуляризуютсяфункции на интер вале (— оо, — 6). Для регуляризации функции на всей оси по лагают

оо	— 6	6	оо
J	f(x) Ф (я) dx — j f(x) <р(л:) dx	j	f(x) <р(х) dx + J f (х) <p(л) dx,
— оо	— оо	— b	b
применяя к отдельным слагаемым			указанные выше	формулы.
	Примеры.			1
	1. Подстановка у — 1/х показывает, что приЯф —			1

оо1/6

j x * d x = j y - b - * d y = - j ^ L .

ь	о
(ср. пример’п. 4). Поэтому при %Ф — 1
оо	Ъ	оо
J хк dx =	J хх dx +	J xx dx = 0.
0	0	6
2. Равенство	оо
	оо

В (Я, ц )= J лА>(1 + x ) - K~*dx,

справедливое в классическом смысле при Re Я > 0, Re р > 0, остается справедливым при всех значениях Я и р (кроме Я, р = = — 1, —2, ...), если понимать интеграл в смысле регуляризованного значения.

3. Интегральное представление функции Макдональда

480	ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

справедливое в классическом смысле лишь при Rep > — V2, со храняет силу для всех р ( р ф — Ч 2, — 3/г, . ..)> если понимать

интеграл в смысле регуляризованного значения.

Ли т е р а т у р а : [12].

6.Неканонические регуляризации. В некоторых случаях ока зываются полезными неканонические регуляризации расходя щихся интегралов.

1) Пусть х + п ““ функция, задаваемая равенствами

х ~ п =	f х ~ п	при	х > 0 ,
	<	при	х < 0 .
+	1 О

Ей соответствует функционал (х ~п, ф) вида

оо

( х + а > ф) = | х ~ п [ф(*) — ф(0) — щ ' (0) — ...

■■•- oSir ч’1"-” <°>- тйуг ф<-1(0) е(1- лг)] Лх,

где 0 ( л ; ) =		О при х < 0 и 0 ( л ; ) = 1						при х		> 0. Этот функционал
не является значением функционала х^_										при Я = —п.
2)	Функции					0		при
					х ~ п	0		при	х	> 0 ,
					х ~ п	\| х	\|~"	при		< 0
						\| х	\|~"	при	х	< 0
соответствует обобщенная						функция
		оо
(л г у 1,	ф ) =	\|	Х~п [ф		( — л:) —	ф ( 0 ) +		Х ф ' ( 0 )	— . . .
		о
					••• -	( - 1)""17Г=Т)Г <Р(П_1) (0)0(1-)]<*.
Она	также		не	является		значением обобщенной функции х \
при X = — п .
3)	Функции \| х Г 2т~1 соответствует обобщенная функция
( \| X \-2т~\		ф) =		Jоо х~2т~11 ф (х) + ф (— х) —
	— 2 [ф(0) +				-\|р Ф" (0) + ...			+ - \| ^ ГФ<2'пЧ О )0(1 -л :)]}^ .
Эта	функция			не	является		значением			обобщенной функции
\| х р при Я — — 2т					— 1.

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 4748 / 5548 49 50 51 52 53 54 55 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023778.39 Кб1Функции комплексного переменного и операционное исчисление..pdf
#
12.11.202312.71 Mб12Функции комплексного переменного..pdf
#
12.11.20239.11 Mб19Функционально-стоимостный анализ (кейсы - примеры, задания, тесты)..pdf
#
12.11.202314.84 Mб1Функциональное программирование..pdf
#
19.11.202335.37 Mб4Функциональные наноматериалы..pdf
#
13.11.202324.9 Mб86Функциональный анализ..pdf
#
12.11.20233.08 Mб2Характеристики прочности и пластичности конструкционных материалов при высоких скоростях деформации..pdf
#
19.11.202329.55 Mб3Химическая технология вяжущих материалов..pdf
#
19.11.202333.32 Mб12Химическая технология неорганических веществ. Кн. 1.pdf
#
20.11.20234.58 Mб30Химическая технология неорганических веществ.-1.pdf
#
12.11.2023658.12 Кб7Химическая технология неорганических веществ..pdf