книги / Функциональный анализ
..pdf§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ |
461 |
на всех функциях, являющихся производными функций из D. Эти функции образуют подпространство, отличающееся от D на одно измерение. Поэтому можно положить
(А. Ф0) = с
оо
для фиксированной функции ф0(*) из D такой, что J ^а(х)йхФ
— оо
Ф 0, после чего обобщенная функция fi будет однозначно опре делена.
Ли т е р а т у р а : [12], [67], [68].
6.Предел последовательности обобщенных функций. После довательность {fk} обобщенных функций называется сходящейся
кобобщенной функции /, если для любой функции ф(х) из про странства D имеет место равенство
lim (fk, <р) = (/, ф).
& -> оо
Для каждой обобщенной функции / можно построить сходя щуюся к ней последовательность функций {ф&(*)} из простран ства D, т. е. такую последовательность, что для всех функций ср(я) из D
lim |
f ф* (х) (р (х) dx = (/, ф). |
/г->оо |
J |
Если последовательность {fk(x)} локально суммируемых функций такова, что
lim |
f | / (х) — fk (х) \dx = 0, |
k->oo |
J |
то обобщенные функции (Д, ф) сходятся к обобщенной функции (/, ф). Однако из того, что в любой точке х выполнено равенство lim fk (х) = / (х), не вытекает, что lim (fk, ф ) = (f, ф ) . Напри-
& -> оо |
fe->oo |
|
мер, при всех значениях х |
2k3x2 |
п |
|
||
|
n ( l + k 2x2)2 - и |
- |
Однако для любой функции ф(х) из пространства К имеем
lim |
2k3 |
х2ср (х) dx |
= Ф (0), |
||
k->oo |
^ |
( l +k2X2)2 |
|
||
и поэтому в смысле обобщенных функций |
|||||
lim |
2k3x2 |
= 6 ( Х ) , |
|||
(1 + k2x2)2 |
|||||
/г->оо |
|
|
|||
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ |
463 |
где
оо
ф( А , ) = q>(x)eiKxJ dx
—оо
—преобразование Фурье функции ф(я). Далее, из равенства
оооо
2 eikx = 2я 2 б(х — 2nk)
k=—oo k=z—oo
вытекает, что
оооо
Y + 2 cos kx — n ^ б (х — 2nk).
k*=\ оо
Дифференцирование этого равенства дает
оо оо
^ |
kqcos {kx + |
= л |
2 |
S(<7) (x — 2nk). |
fea=l |
|
/j=s—oo |
|
|
Точно так же из равенства |
|
|
||
|
cos /г* |
- I n |
2 sin- |
|
|
k |
|||
|
|
|
|
|
вытекает, что2 |
|
|
|
|
2 |
k11-1cos {kx + |
= |
— | In 12 sin Y | j(?), |
|
где производная в правой |
части |
этого |
равенства понимается |
|
в обобщенном смысле. |
|
|
|
|
Ли т е р а т у р а : [12], [67], [68].
7.Локальные свойства обобщенных функций. Говорят, что
обобщенная функция |
f(x) равна |
нулю в области £2, если |
(f, ф) = 0 для любой функции ф(х) |
из пространства D, равной |
|
нулю вне замкнутого |
множества А, |
лежащего в £2. Например, |
обобщенная функция 6(х) равна нулю в области £2, получаемой из пространства Rn «выкалыванием» точки х = 0.
Обобщенная функция f(x) называется сосредоточенной на замкнутом множестве В, если она равна нулю на дополнении к этому множеству. Наименьшее замкнутое множество, на ко тором сосредоточена обобщенная функция f(x)y называется но сителем этой функции. Например, носителем обобщенной функ ции 8(х) и всех ее производных является точка х = 0. Носите лем регулярной функции f(x) является замыкание* множества точек, в которых эта функция отлична от нуля.
§ 1 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ |
465 |
9. Свертка обобщенных функций. Пусть f(x) и g ( x ) — обоб щенные функции одного переменного, причем выполнено одно из следующих условий:
а) одна из функций f(x), g(x) имеет ограниченный носитель; б) носители обобщенных функций f(x) и g(x) ограничены с одной и той же стороны (например, f{x) = 0 при х < a, g(x) —
=0 при х < Ь).
Тогда для любой функции (р(х) из пространства D опреде
лено выражение
(f(x)Xg(y)> Ф (* + |
*/))> |
|
которое обозначается через (f*g, |
ф). |
Обобщенную функцию |
f * g называют сверткой обобщенных функций f(x) и g(x). |
||
Если обобщенные функции f(x) |
и g(x) регулярны и удовле |
|
творяют одному из условий а), б), то обобщенная функция f *g также регулярна и задается функцией
оо
f * g ( x ) = J f ( x - y ) g ( y ) d y .
— оо
Примеры . 1. Если f ( x ) —любая обобщенная функция, то б*f{x) =f ( x) . Таким образом, б-функция играет роль единицы относительно операции свертывания. В частности, б *6(х) = 6(х).
2. Свертка обобщенной функции f(x) с 6 {x — h) равносильна сдвигу f{x) на А:
б(х — А) * / (х) = / (х —■А). Справедливы равенства
f*g(x) = g*f(x)
(f*g)*h{x) = f*(g*h) (х),
выражающие коммутативность и ассоциативность свертки обоб щенных функций.
Формула дифференцирования свертки имеет вид
|
|
|
d[_ |
|
dg ' |
|
|
|
dx |
* g = f * dx |
|
Если |
limfv= f, то |
lim fv * g^=f * g |
при каждом из следую- |
||
|
V оо |
V |
со |
|
|
щих предположений: |
|
функции |
fv(x) |
сосредоточены на одном |
|
а) |
все обобщенные |
||||
и том же ограниченном множестве;
б) обобщенная функция g сосредоточена на ограниченном множестве;
в) носители обобщенных функций /v(x) и .g(x) ограничены с одной и той же стороны, и притом не зависящей от v по стоянной.
466 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Отсюда вытекает, что если обобщенная функция ft {x) зави сит от параметра t и дифференцируема по этому параметру, то формула
справедлива, если ft(x) и g(x) удовлетворяют одному из пред положений а)—в).
Свертка обобщенных функций f(x) и g(x) от нескольких пе ременных определяется точно так же, как и для функций одного переменного. При этом требуется, чтобы хоть один из сомножи телей, например f(x), был свертывателем, т. е. обладал тем свойством, что для любой функции ф(х) из пространства D функция
f *ф==ф(г/) = (/, ф(х + у))
принадлежит тому же пространству, и из qpv->0 следует f *qpVr>0.
Свертка свертывателя £(х) с обобщенной функцией g(x) опре деляется формулой
a *g, ф) = ( g> f * ф)-
Если /(х) — регулярная функция и ф (х)е D, то f *ф (х)= J f{y — x)y(y)dy.
Л и т е р а т у р а : [12], [13], [67], [68].
10. Общий вид обобщенных функций. Пусть обобщенная функция f(x) финитна. Тогда найдется параллелепипед
a j ^ X j ^ b / , 1 < / < п ,
на котором сосредоточена эта обобщенная функция. Можно
показать, что для |
любого е > |
0 найдутся целое число р > 0 и |
|
непрерывные функции |
fg8(x), |
0 ^ |ф |^ / 7 , обращающиеся в |
|
нуль при cij — е ^ |
Xj ^ |
bj -f- в и удовлетворяющие соотношению |
|
Таким образом, каждая финитная обобщенная функция яв ляется линейной комбинацией производных от непрерывных фи нитных функций (причем, разумеется, производные понимаются в обобщенном смысле).
Аналогично, каждый линейный функционал в пространстве D(a) бесконечно дифференцируемых функций, обращающихся
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ |
НАД НИМИ |
46? |
|
в нуль при 1*1 ^ |
а, имеет вид |
|
|
(/, Ф) - |
(F«>, Ф) а ( - 1 )*1J F (х) Ф<*> (х) dx, |
|
|
где F(x) — непрерывная функция в шаре |х| |
а. |
|
|
Если f ( x ) — любая обобщенная функция, |
то можно постро |
||
ить такую последовательность финитных обобщенных функций h(x), .... fn(x)', ...,-что
1)lim fn(x) = f(x);
Л-> оо
2) для каждого |
а > О найдется такое |
N, что при |
N, |
m ^5 N имеем fn(x) |
= fm(x) в области \х\ ^ |
а. |
|
Особенно простое строение имеют обобщенные функции, со средоточенные в одной точке. Например, все обобщенные функ ции, сосредоточенные в точке * = 0, являются конечными линей ными комбинациями 6-функции и ее производных, т. е. имеют вид
f(x) = |
2 |
C q 6 (<7) ( x ) . |
I |
я1 = 0 |
|
Л и т е р а т у р а : [13], [67], [68].
11. Теорема о ядре. Во многих приложениях обобщенных функций оказывается полезной следующая теорема:
Т е о р е м а о ядре . Пусть В (ф, ф) — билинейный функционалтакой, что ф(х) пробегает пространство бесконечно диффе ренцируемых финитных функций от m переменных, а ф(у) про бегает аналогичное пространство функций от п переменных. Если функционал В(ф, ф) непрерывен по каждому из аргумен тов ф и ф, то существует такая обобщенная функция f(x, у) в пространстве бесконечно дифференцируемых финитных функ ций от m + п переменных, что
я (ф, Ф) = (А ф (*Ж*/)).
Аналогичная теорема справедлива и для пространства S быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций (см. гл. II, § 1, п. 2).
Л и т е р а т у р а : [15].
12. Аналитические представления обобщенных функций од ного переменного. Для любой обобщенной функции одного пере менного F из D7существует функция F(z), аналитическая в пло скости zy за исключением носителя F, такая, что для всех ф е Д имеем
(F, ф) = Jоо [F (х + /0) — F(x — /0)] ф (ж) dx.
470 |
ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ |
§2. Обобщенные функции и расходящиеся интегралы
1.Регуляризация расходящихся интегралов. В ряде задач
математической физики возникают расходящиеся интегралы. С помощью аппарата обобщенных функций можно получить
.алгоритм, позволяющий приписывать некоторым расходящимся интегралам определенное числовое значение, и, оперируя с ним, шолучать решения задач. Этот алгоритм называется регуляри зацией расходящегося интеграла.
Пусть f(x) — некоторая функция. Точку х0 называют точкой локальной суммируемости функции f(x ), если существует окре стность U(xo) этой точки, в которой функция f(x) суммируема. Точки, не являющиеся точками локальной суммируемости, назы ваются особыми точками. Здесь рассматриваются функции, име ющие на любом интервале лишь конечное множество особых точек.
Пусть Df — подпространство в Z), состоящее из функций <р(х) G D, обращающихся в нуль в некоторой окрестности любой особой точки функции /(х). Последовательность функций {фт{*)} из пространства Df сходится к нулю, если все функции ц>т(х) сосредоточены на одном и том же компактном множестве, не содержащем особых точек функции /(х), причем для любого q выполняется равенство
lim sup I фМ (х) I = 0.
m - > оо х 1 |
1 |
Для любой функции <p(x) из пространства Df интеграл | f(x)<p(x)dx сходится, причем равенство
(f, ф )= J* f(x)q>(x)dx
определяет линейный функционал в пространстве Df. Этот функ ционал можно распространить на все пространство D*). Значе ние (f, ф) этого функционала для какой-нибудь функции ф(х)
и з пространства D называют регуляризованным значением ин теграла j f(x)y(x)dx (если функция ф(х) не принадлежит под
пространству Df, то этот интеграл может, вообще говоря, расхо диться). Обобщенную функцию (/, ф), получаемую при описан ном распространении, называют регуляризацией функции f(x). {Регуляризация функции f(x) совпадает с f(x) на множестве то- <чек, дояолнительном к множеству особых точек.
*j) Продолжение непрерывного линейного функционала с подпространства на все пространство возможно в линейном локально' выпуклом топологиче ском пространстве (ср. гл. I, § 3, п. 3).