книги / Функциональный анализ

В то же время замыкание оператора Я3 может не быть самосо­ пряженным, если v(x) — С|л;|2+6 (е > 0).

До сих пор предполагалось, что v{x) не имеет особых точек на конечном расстоянии. Пусть для какого-либо значения R >» 0

стоянии (при |х| sg: #) допускаются изолированные особые точ­ ки, вблизи которых v(x) = 0( \х — x0|_v), у < 3/г. При указан­ ных предположениях оператор Н3, определенный на гладких финитных функциях, в существенном самосопряженный.

Д о с т а т о ч н ы й п р и з н а к с у щ е с т в е н н о й с а м о с о ­ п р я ж ё н н о с т и о п е р а т о р а Ш р е д и н г е р а

и при | х | R

i, / = 1, 2, ..., n, i < /. Тогда оператор Шредингера H, опреде­ ленный на гладких финитных функциях, в существенном са­ мосопряженный. Область определения его замыкания совпадает

П

с областью определения замыкания оператора— 2 А/. /=1

Л и т е р а т у р а : [158], [304], [305].

6. Спектр оператора Шредингера с убывающим потенциалом.

Если потенциал v{x) оператора Н3 стремится к нулю при |х | —>оо, то предельный спектр Н3 совпадает с полуосью (см. п. 2). Дальнейшие заключения о свойствах спектра можно

сделать при наличии дополнительных сведений о скорости убы­ вания v(x). Условие v(x) = о ( |х |”1) при |х |—>оо обеспечивает отсутствие положительных собственных значений. В этом случае положительный спектр — чисто непрерывный.

Другой признак отсутствия у оператора Я3 положительных собственных значений состоит в том, что у(*)->-0 при |*|->-оо и вне какой-либо сферы выполнено условие

Если периодический потенциал v(x) возмутить непериодиче­ ским потенциалом т}(х), удовлетворяющим, например, условию

+оо

JU ri(0lrf/<oo,

—00

то характер непрерывного спектра оператора Hi не изменится. При этом левее точки ко и в каждой лакуне появится разве лишь конечное число собственных значений, а в достаточно далеких лакунах возникнет не более двух собственных значений. Если

т](х) сохраняет знак и

+оо

J* t2\Ti(f) \dt < оо,

— 00

то можно утверждать, что в каждой достаточно далекой лакуне возникнет ровно одно собственное значение.

Ли т е р а т у р а : [290], [297], [299].

§4. Непрерывный спектр оператора энергии

изадача рассеяния

1.Частица во внешнем поле. Простейшую систему, на при­ мере которой можно проиллюстрировать основные положения теории рассеяния, представляет собой частица в поле фиксиро­ ванного источника, описываемого потенциалом о(дс). При боль­ ших расстояниях от центра потенциал исчезает. Оператор энер­ гии в координатном представлении действует в L2{Rz) как диф­ ференциальный оператор

H = H 0+ V ; Я0ф(*) = —Дф(дс); Уф(дс) = 1>(х)ф(*).

Математически задача рассеяния состоит в следующем. Пусть задан нормированный вектор ф<_). Требуется:

1. Построить решение ф(<) уравнения Шредингера

удовлетворяющее начальному условию

Игл || ф (t) — || = 0.

—оо

2.Доказать, что существует такой нормированный вектор ф(+), что для полученного решения ф(/) справедлива асимпто­

тика при /-+• оо

tmf°S

444ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

3.Показать, что существует такой унитарный оператор S,

что

(p(+) = S(p(-).

Для интерпретации сформулированной задачи следует за­ метить, что в координатном представлении любой вектор вида <p(t) = e~iHotcp можно записать следующим образом:

ф (*, t) = ('J - J 12 J с (k) e -ikHel (*. *> dk,

где

J I с (ft) f d k = \ .

При этом для любой ограниченной области D

J | Ф (х9 t) |2 dx -> О

D

при |^| —►оо.

Вектор ср(^) описывает движение свободной частицы, при котором вероятность того, что частица остается в ограниченной области, исчезает с ростом времени. Можно говорить, что при этом движении частица со временем уходит на бесконечность.

Участвующие в постановке задачи рассеяния векторы и ф(+)(0 описывают асимптотическое движение частицы далеко

от центра до (—) и после (+ ) рассеяния. Решение ф(^) уравне­ ния Шредингера описывает сам процесс рассеяния. Основной интерес представляет связь между характеристиками свобод­ ного движения частицы до и после рассеяния. Вся информация об этой связи содержится в операторе S, который называется

оператором рассеяний.

Ли т е р а т у р а : [54].

2.Система нескольких частиц. В системе нескольких частиц существует, вообще говоря, много различных типов асимптоти­ ческого движения, отвечающих разбиению всей системы на не­ сколько подсистем. Каждой подсистеме естественным образом сопоставляется свой оператор энергии. Дискретный спектр этого оператора описывает различные состояния связанного комп­ лекса, образованного частицами подсистемы. Асимптотическое движение, соответствующее взятому разбиению системы, пред­ ставляет собой свободное движение таких далеко разведенных комплексов. Различные типы асимптотического движения назы­ вают каналами реакций, возможных в рассматриваемой системе,

или просто каналами.

Более формально канал определяется заданием пары Яа , Ра , где На — оператор энергии канала, Ра — проектор. Опера­

тор На получается из оператора энергии всей системы, если опустить члены взаимодействия частиц, принадлежащих разным подсистемам; Ра проектирует на собственное подпространство На , соответствующее дискретному спектру операторов энергии подсистемы.

Вектор состояния, описывающий асимптотическое движение в канале а, имеет вид

Фа(0 = е_Ш“Чфа.

где

(Л»Фа* Фа)~ 1-

Процесс рассеяния, возбужденный в канале ос, описывается решением уравнения Шредингора

удовлетворяющим начальному условию

14» (0 — е~Ш,Х*Рафа_) II = о, (Раф<Г>, ф(а_)) = 1•

где

Э

Семейство линейных операторов Spa, таких, что

Фб+> = 5ЗаФ(а_)-

образует оператор рассеяния.

Например, для системы трех частиц оператор энергии в ко­ ординатном представлении действует в L2(R9) как дифференци­

Здесь хи х2, х3— координаты частиц, ти т2, т3— их массы, по­ тенциалы Vij(x) описывают взаимодействие частиц с номерами i и /. Возможные подсистемы состоят из одной или двух частиц. Соответствующие операторы энергии задаются в L2(R3) диффе­ ренциальными операторами

все три оператора кц имеют по одному простому собственному значению — K j с собственными функциями фгЛ*), т0 имеется всего четыре канала. Один из них (ос = 0) соответствует сво­ бодному движению всех трех частиц в отдельности. Три других (а = 12, 23, 31) описывают свободное движение двух частиц в связанном состоянии и третьей частицы. Операторы энергии каналов На и соответствующие проекторы Ра определяются следующим образом:

Ро совпадает с единичным оператором, Р12 проектирует на функ­ ции вида

Ф12(*| — Х 2) СО(*| + *2. *з)>

где со(х, у) — произвольная функция из L2(Re); Ргз и Р31 опреде­ ляются аналогично.

Ли т е р а т у р а : [284].

3.Волновые операторы. Сформулированные постановки за­ дачи рассеяния обосновываются при помощи теорем о волновых

операторах (абстрактное определение см. гл. IV, § 5, п. 4). В случае рассеяния частицы на центре подходящее утверждение формулируется следующим образом: пусть v(x) —ограниченная

Здесь Р — проектор на инвариантное подпространство оператора Я , соответствующее дискретному спектру„ Для всякой ограни­ ченной функции ф(5 ) справедливо соотношение

<р (Я ) Ul±) — Ul±)q>(Я 0).

Операторы £/<+> и £/<_) называются волновыми операторами. Из их свойств следует, что оператор

S = U <+),U{~]

у н и тар ен и ком м ути рует с прои звольн ой ф ункц ией о п ер ато р а Я 0.

так что оператор 5 является оператором рассеяния.

Теорема о волновых операторах в многочастичном случае должна выглядеть следующим образом: при определенных-усло­ виях на потенциалы, описывающие взаимодействие частиц, су­ ществуют сильные пределы

lim еш е~1Н^Р а^ и ^ \ t->±оо

которые являются частично изометрическими операторами:

2 <&*>«=£- Л

а

где Р совпадает с проектором на подпространство, соответствую­ щее связанным состояниям всех частиц системы.

Существование волновых операторов U£** доказано в общем случае примерно при таких же условиях на потенциалы, как в случае одной частицы. Свойство проекторов доказано в

настоящее время только для системы трех частиц.

Оператор рассеяния определяется в терминах набора опе­ раторов

5 р „ = Uk+)'U{a \

Ли т е р а т у р а : [54], [65], [300].

4.Стационарная постановка. Приведенные выше формулы приобретают более явный вид, если использовать конкретный набор «собственных функций» непрерывного спектра оператора энергии. В случае рассеяния частицы на центре такой набор образуют решения уравнения

Аи (х, к) + k2u (х, k) = v (х) и (х, к),

Кроме того, выполняется условие симметрии

f{k; а, Р) = /(&; — Р, — а),

которое является следствием вещественности потенциала в ко­ ординатном представлении.

Аналогичная связь между волновыми операторами и полным набором собственных функций непрерывного спектра оператора энергии должна существовать и в случае системы нескольких частиц. До сих пор она установлена только для системы трех частиц.

В остальной части параграфа рассматривается только случай одной частицы в поле фиксированного центра.

Ли т е р а т у р а : [292], [296], [303].

5.Интегральное уравнение теории рассеяния. Основу всех

которое часто называют уравнением Липпмана — Швингера. По известному решению и ( х , Ъ) амплитуда f(k\ а, Р) определяется формулой

f(k\ а, Р) = — J* e~lk<v*x>a)v (*) и (х, Щ dx.

Можно выписать интегральное уравнение, эквивалентное урав­ нению для и(х, fe), из которого f(k\ а, р) определяется более не­ посредственно. Для этого надо рассмотреть ядро

v W = In J e~‘<6’ X>v^ dx'

Здесь (m2 — l2 — lO)-1 — известная обобщенная функция,

(z — Ю)"1= P -j + гяб (z),

где индекс Р показывает, что сингулярность понимается в смы­ сле главного значения (см. гл. X, § 2, п. 1),

Л и т е р а т у р а : [288].