книги / Функциональный анализ

Другое важное следствие:

Пусть для положительного вполне непрерывного оператора

Тогда оператор А имеет в конусе К непрерывную ветвь соб­ ственных векторов длины г.

Ли т е р а т у р а : [33].

5.В огнуты е о п ер ато р ы . Пусть и0— фиксированный ненулевой

элемент из К. Оператор А называется щ-вогнутым на К, если он положителен и монотонен и для любого ненулевого су­ ществуют такие положительные числа а и р , что

с вполне непрерывным и0-вогнутым оператором имеет ненуле­

ляется вполне непрерывным оператором, то верхняя грань р яв­ ляется положительным собственным значением оператора Л'(0). Если при этом Л'(0) является ^-положительным, то р совпадает с единственным позитивным собственным числом оператора Л'(0).

Если оператор А имеет сильную асимптотическую производ­ ную Л'(оо) по конусу, являющуюся вполне непрерывным ^-по­ ложительным оператором, то а является собственным числом оператора Л'(оо).

Важным частным случаем и0-вогнутого. оператора является

равномерно щ-вогнутый оператор, т. е. такой, что для любого

Г Л А В А IX

ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

§1. Общие положения квантовой механики

1.Состояния и' наблюдаемые величины. Основными харак­ теристиками физической системы в квантовой механике яв­ ляются наблюдаемые величины и состояния. Удобный способ математического описания этих объектов состоит в следующем: наблюдаемым величинам соответствуют самосопряженные опе­ раторы в комплексном сепарабельном гильбертовом простран­ стве ф, состояниям —классы нормированных элементов этого пространства (с нормой 1). Элементы внутри каждого класса

отличаются друг от друга только комплексным множителем, равным единице по модулю.

Пространство ф называется пространством состояний, его нормированные элементы — векторами состояния, наблюдаемые величины часто принято называть просто наблюдаемыми.

Физический смысл введенных объектов дает следующая ин­ терпретация. Пусть А — самосопряженный оператор, отвечаю­ щий наблюдаемой величине, ф — вектор состояния, Еа (—оо < < а < оо)— спектральная функция оператора А (см. гл. IV, § 3, п. 2). Мера

dmA Q(a) = d{Eа-ф, я|>)

задает распределение вероятности возможных значений наблю­ даемой А в состоянии ф.

В частности, если величины

3. Примеры пространств состояний. Простейшей системой в классической механике является одна бесструктурная частица. Основными величинами, описывающими поведение частицы, яв­ ляются ее координаты Хч, *з и импульсы ри Р2, Рз. Все осталь­ ные характеристики частицы являются функциями этих вели­ чин. В квантовой механике наблюдаемые координат Х\, Х2, Х3 и импульсов Рь Р2, Рз также играют основную роль при описании частицы. Пространство ее состояний строится по следующему принципу.

1.Совокупности координат или импульсов каждая в отдель­ ности образуют полный набор совместно наблюдаемых величин.

2.Выполняются перестановочные соотношения

,Pfe]= ^6/fe> k = \ /,, 2, 3.

Здесь бjk — кронекеровский символ, h — фундаментальная кон­ станта квантовой механики, имеющая размерность действия и называемая постоянной Планка.

Представление пространства состояний частицы, приспособ­ ленное к координатам, образовано квадратично интегрируемыми

странство состояний и операторы импульсов и координат части­ цы однозначно с точностью до унитарной эквивалентности. Дей­ ствительно, после некоторого уточнения этого принципа, которое необходимо сделать в связи с неограниченностью рассматривае­ мых операторов, можно доказать, что все удовлетворяющие ему

торы координат и импульсов действуют следующим образом:

Связь двух представлений осуществляется посредством преобра­ зования Фурье

р2>p3) = (Uty)(pl> Р2>Рз) =

ф(*1, х2, х3) dxl dx2 dxv

причем

Другой пример пространства состояний дает комплексное двумерное пространство. Векторы состояния ф образованы парой комплексных чисел ф>= (£ь £2)> причем |£i|2+ |£2|2 = 1. На­ блюдаемым величинам соответствуют самосопряженные матрицы 2 X2 . Существуют всего четыре такие линейно независимые матрицы, в качестве которых можно взять единичную матрицу и так называемые матрицы Паули

Полный набор совместно наблюдаемых величин состоит из одной матрицы. Очевидно, что рассматриваемое представление приспособлено к матрице аз. Действительно, пару (£ь £2) можно рассматривать как функцию ф(а) переменной а, принимающей два значения а = ±1. При этом а3ф(а) = аф(а).

Рассмотренное пространство используется для описания сте­ пени свободы, называемой спином; при этом наблюдаемые ai, a2 и аз называются вектором спина. Например, состояние частицы, обладающей спином, представляется функциями ф(хь х2, хг, о) ее координат хи х2, х3 и спиновой переменной о. Примером ча­ стицы со спином является электрон.

Пространство состояний системы нескольких частиц вклады­ вается в тензорное произведение пространств состояний для ка­ ждой отдельной частицы и состоит, таким образом, из функций ф(£ь . £п), где символ & означает совокупность переменных, которые пробегают спектр полного набора совместно наблюдае­ мых величин, характеризующих частицу с номером /; п — число частиц.

Состояния одинаковых частиц описываются функциями, удов­ летворяющими определенным условием симметрии. Различают

428ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

5.Квантование классической механики. Фазовое простран­ ство Г системы п частиц в классической механике представляет собой бя-мерное евклидово пространство, точка (х, р) которого определяется координатами Xj и импульсами pj, j = 1, . . . , п, всех частиц. Для сокращения записи используется векторное

обозначение х } р для троек (хи х2, х3), (ри Рг, Рз)• Функция Га­ мильтона частиц, взаимодействующих между собой и с внеш­ ним полем, имеет вид

п п п

в координатном представлении описываются квадратично инте­ грируемыми функциями ф(лгь . . . , х п). Оператор энергии опре­ деляется дифференциальным выражением, которое называют

оператором Шредингера

п п п

н = - ^ 2 - ш г ь + 2 ич - * / ) + 2 ( * / ) •

Здесь Aj — оператор Лапласа по переменным Xj. Нетрудно убе­ диться, что это выражение получается, если сделать формальную

подстановку /?-> в классическую функцию Гамильтона.

Этот факт, так же как и принцип, сформулированный в п. 3, является частным случаем постулата квантования классической механики, который часто формулируют следующим образом: пусть имеется классическая система с фазовым пространством, точка (q, р) которого определяется обобщенными координатами <7i, ..., qi и импульсами рь ..., pi, и пусть h(q,p)— соответ­ ствующая функция Гамильтона. Пространство состояний кван­ товомеханической системы является гильбертовым простран­ ством, в котором действует совокупность операторов Qi, . .. , Qif Р1, ... , Pi, удовлетворяющих соотношениям коммутации

[Q&> Q/] = 0; [Pk, Pf] = 0; [Q/, Ял] = /йб*/.

Оператор энергии Н получается как функция h(Q, Р) от этих операторов.

Сформулированный рецепт не является достаточно полным в случае нелинейного фазового пространства и функции Гамиль­ тона общего вида. В частности, не существует однозначного определения функции от некоммутирующих операторов. В рас­

смотренном выше случае эти трудности не проявляются, так как функция Гамильтона представляет собой сумму двух слагаемых, одно из которых зависит только от импульсов, а другое — только от координат.

Взаимоотношение классической и квантовой механики двоя­ кое. С одной стороны, по заданной классической системе можно во многих интересных случаях однозначно построить ее кванто­ вомеханический аналог. С другой стороны, классическая меха­ ника является в некотором смысле пределом квантовой меха­ ники при /г —►0. Иллюстрацией этого общего положения является следующий конкретный результат: рассматривается система, описывающая одномерную частицу во внешнем поле с потенциа­

стемы реализуются как квадратично интегрируемые функции

ф(х) или ф (р) в координатном и импульсном представлениях соответственно. Оператор энергии Н определяется однозначно,

Задается последовательность ф^ векторов состояния, таких, что при h —►0

Л и т е р а т у р а : [289], [292], [294], [295], [302].

6. Основные задачи квантовой механики. Квантовая меха­ ника, во-первых, объясняет существование стабильных связан­ ных комплексов частиц (атомы, молекулы, ядра) и, во-вторых, описывает процессы, происходящие при столкновении этих ком­ плексов. Математическое решение обеих задач использует спек­ тральные характеристики оператора энергии системы. Так, ста­ бильным комплексам соответствует дискретный спектр этого

Зависимость от времени вектора состояния ф(/), совпадающего в некоторый момент / = /0 с гр, дается формулой

r|i{t) = e h ф.

Вектор ф(/) отличается от ф лишь тривиальным фазовым мно­ жителем, так что описываемое этим вектором состояние не ме­ няется со временем.

Вторая задача связана с непрерывным спектром оператора энергии. Нормированные «линейные комбинации собственных функций» непрерывного спектра описывают движение отдельных связанных компонентов, при котором последние могут расхо­ диться со временем сколь угодно далеко. Более подробно это будет пояснено в § 4.

Приведенный краткий обзор основных положений квантовой механики не может, конечно, дать представление о всех физиче­ ских аспектах этой теории. Включение его в настоящий справоч­ ник по функциональному анализу преследует единственную цель: пояснить читателю, почему важно весьма-подробное исследова­ ние спектральных характеристик столь конкретного дифферен­ циального оператора, каковым является оператор Шредингера. Все следующие параграфы посвящены различным вопросам спектральной теории этого оператора.

Для сокращения записи всюду в дальнейшем, если только это не оговорено особо, полагается h = 1. Множители типа также часто опускаются.

Ли т е р а т у р а : [289], [292], [294], [302].

§2. Конкретные квантовомеханические системы

1.Оператор Шредингера модельных задач. Наиболее общий дифференциальный оператор, с которым приходится иметь дело

вквантовой механике системы п частиц, имеет вид

При определенных условиях на потенциалы va(x) и о,-(ж) этот дифференциальный оператор порождает самосопряженный опе­ ратор с всюду плотной областью определения в пространстве квадратично интегрируемых функций ф(дс1, х„). Подробнее об этом будет сказано ниже в § 3.