книги / Функциональный анализ

392 ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ

Если на конусе К может быть определен монотонный строго растущий функционал, то конус К правилен.

Если на конусе К может быть определен строго растущий и ограниченный на каждом шаре функционал f{x), то конус К вполне правилен.

Примером строго растущего на конусе неотрицательных функций пространства Lp[0, 1] и ограниченного на каждом шаре функционала является /7-я степень нормы элемента.

Справедлив следующий результат отрицательного характера: телесный миниэдральный конус в бесконечномерном простран­ стве не может быть правильным.

Ли т е р а т у р а : [28], [33].

7. Теоремы о реализации полуупорядоченных пространств.

Пусть К — нормальный конус сепарабельного банахова про­

странства Е. Тогда существует взаимно однозначное линейное и непрерывное отображение пространства Е в подпространство пространства С[0, 1], при котором элементы из К и только они

переходят в неотрицательные функции.

Если Е не сепарабельно, то справедливо аналогичное утвер­ ждение с заменой С[0, 1] на пространство C(Q) непрерывных функций, заданных на некотором бикомпакте Q.

В случае, когда в банаховом пространстве Е имеется те­ лесный нормальный и миниэдральный конус К, существует ли­ нейное взаимно однозначное и непрерывное отображение про­ странства Е на все пространство C(Q), где Q — некоторый бикомпакт, при котором К переходит в множество KQ всех не­ отрицательных на Q функций.

Частным случаем последнего утверждения является следую­ щий результат: если К — миниэдральный телесный конус в п-мер-

Если в сепарабельном банаховом пространстве Е задан ми­ ниэдральный конус К и \\х + у\\ = ||*|| + \\у\\ при Ху у ^ К у то существует линейное взаимно однозначное и непрерывное ото­ бражение пространства Е на пространство L[0, 1], при котором

К переходит в множество почти всюду неотрицательных функ­ ций из L[0, 1]. Если Е не сепарабельно, то L[0, 1] заменяется про­ странством L(Q) на некотором бикомпакте Q с мерой.

§2. Линейные положительные функционалы

1.Положительные функционалы. Наиболее важным классом положительных функционалов являются линейные положитель­ ные функционалы.

Если конус К в банаховом пространстве является воспроиз­ водящим, то каждый линейный положительный функционал не­ прерывен. В дальнейшем под линейным положительным функ­ ционалом понимается непрерывный функционал.

Для каждого нетривиального конуса существует ненулевой линейный положительный функционал. Более того, для каждого

хК, х Ф 0 можно указать такой положительный линейный

функционал f, что f(x) > 0 . Если пространство Е сепарабельно, то можно построить такой линейный непрерывный функционал / (х), что f (х) > 0 для всех х <= /( (х Ф 0). Для несепарабельных

ла /. Для элемента vo ^K , не являющегося внутренним элемен­ том телесного конуса /С, найдется по крайней мере один такой положительный функционал f (f ф 0), что f(v0) = 0.

На элементе, не принадлежащем конусу К, по крайней мере один из положительных функционалов принимает отрицатель­ ное значение. Таким образом, каждый конус К однозначно опи­ сывается множеством К' положительных линейных функциона­ лов, т. е.

К = {х*=Е: f ( x )> 0 (Vfe/C')}-

Множество К' положительных линейных функционалов вы­ пукло, замкнуто и' содержит вместе с каждым функционалом f

когда замыкание в Е линейной оболочки 2? {К) конуса К совпа­

дает с Е: 3?{К) — Е. В этом случае конус К называется почти воспроизводящим.

Множество К' называют сопряженной полугруппой (соответ­ ственно сопряженным конусом).

Исходя из общего вида линейного функционала в конкрет­ ных пространствах, как правило, нетрудно установить общий вид положительных линейных функционалов. Так, например, в случае конуса К неотрицательных функций пространства С(0, 1)

3. Равномерно положительные функционалы. Положитель­ ный линейный функционал называется равномерно положитель­ ным, если существует такое положительное число а, что

В пространстве L{Q) суммируемых на некотором множе­ стве Q функций с конусом К неотрицательных функций равно­ мерно положительным будет функционал

f(x) = Jx(t) dt.

Q

В пространствах LP(Q) при р > 1 и в пространстве С(й) нет равномерно положительных линейных функционалов на ко­ нусе К неотрицательных функций.

Если существует равномерно положительный функционал, то конус нормален и, более того, вполне правилен.

Для того чтобы существовал равномерно положительный функционал, необходимо и достаточно, чтобы конус К можно было заключить в другой конус К\ так, чтобы каждый ненуле­ вой элемент Хо е К содержался в К\ вместе со своей шаровой окрестностью радиуса q\\xoil, где число q не зависит от выбора

Хо е К.

Последним свойством всегда1обладает конус K(F), построен­

Ли т е р а т у р а : [269].

4.Ограниченные функционалы на конусе. Аддитивный и од­ нородный функционал f(x), определенный только на элементах конуса К банахова пространства Е, называется ограниченным, если

хеК, II х |=1

Если аддитивный и однородный функционал задан на вос­ производящем конусе и неотрицателен на Нем, то он ограничен.

Ограниченный аддитивный и однородный функционал, задан­ ный на воспроизводящем конусе, однозначно продолжается до линейного непрерывного функционала, заданного на всем про­ странстве Е, равенством /(*) = /(*i) —f(x2), где х = хх— х2 и хг е К. Если конус не является воспроизводящим, то при

указанном продолжении функционала на линейную оболочку конуса может получиться уже неограниченный функционал. При условии нормальности конуса каждый ограниченный, аддитив­ ный и однородный на К функционал f(x) мажорируется на б о ­ нусе К некоторым линейным непрерывным положительным функционалом, т. е. существует Ф(х) е К' такой, что

Л и т е р а т у р а : [262], [263].

5.Сходимость последовательности положительных функцио­

налов. Говорят, что ненулевой функционал /е /С ' отвечает точке Хо е К> если f(x0) =* 0. Ненулевую точку х0е К называют точкой гладкости (конуса /С), если ей отвечает единственный (с точно­ стью до множителя) функционал.

В случае, когда К — конус неотрицательных функций про­ странства С(0, 1), точками гладкости являются те и только те неотрицательные функции, которые принимают нулевое значе­ ние лишь в одной точке. Если x0(t) —точка гладкости и x0(to) — = 0, то Хо(t) отвечает функционал

f(x) = x(t0) (*(/)€= С (0, 1)).

В конусе неотрицательных функций пространства Ьр[0, 1] то­ чек гладкости нет.

Положительные функционалы /о, отвечающие точкам глад­ кости, обладают следующим замечательным свойством.

Пусть положительный линейный функционал /о отвечает точ­ ке гладкости Хо конуса К и Xi — такая точка пространства Еу что fo(xi) Ф 0. Пусть последовательность положительных линей­ ных функционалов fn имеет равномерно ограниченные нормы и удовлетворяет соотношениям

Тогда последовательность /п слабо сходится на всем про­

Следствием из этого утверждения является предложение:

пусть конус К телесен, а монотонная последовательность линей­ ных функционалов сходится в двух точках хо и хи первая из которых является точкой гладкости конуса К, а вторая — вну-

трепней точкой К- Тогда последовательность функционалов схо­ дится на всем пространстве Е.

Например, пусть в пространстве С(0, 1) с конусом неотрица­ тельных функций х0 = Хо(t) — неотрицательная функция, обра­ щающаяся в нуль лишь в одной точке fo, a xt = xi(t) = 1. Если последовательность положительных линейных функционалов /п удовлетворяет условиям

Нш f n ( x ) = x { t 0).

П- > ОО

§3. Линейные положительные операторы

1.Понятие положительного оператора. Пусть Еи Е2— бана­ ховы пространства с конусами Ки Кг соответственно. Линейный оператор А, действующий из Еi в Е2, называется положитель­

ным, если он преобразует конус Ki в конус КгAKi cz Кг- Поло­ жительный линейный оператор обладает свойством монотонно­ сти: для любых элементов х, у Е из х < у вытекает, что Ах

<Ау.

Если конус Ki cz Ei является воспроизводящим, а конус Кг cz cz Ег нормальным, то каждый линейный положительный опера­ тор A(Ei-+E2) непрерывен. В частности, каждый линейный опе­ ратор А(Е-+Е), оставляющий инвариантным воспроизводящий и нормальный конус К, непрерывен. В дальнейшем под линей­ ным положительным оператором понимается непрерывный опе­ ратор.

В случае конечномерных пространств с конусом, составлен­ ным из векторов с неотрицательными компонентами, линейные положительные операторы определяются матрицами с неотрица­ тельными элементами.

Важным примером линейных положительных операторов, дей­ ствующих в различных пространствах функций, являются линей­ ные интегральные операторы

Л ф ( t ) = K(t,J s)y(s)ds

Q

с неотрицательными ядрами K(t,s) (t, s ^ й ; —й ограниченное замкнутое множество конечномерного пространства). Если ядро K{t,s) удовлетворяет условиям, при которых оператор дей­ ствует в соответствующем пространстве, то при конусе К

398 ГЛ. VIH. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ

неотрицательных функций этот оператор является линейным по­ ложительным оператором в данном пространстве.

Если конус К телесен и для каждого ненулевого х ^ К най­ дется такое п = п(х)1 что Апх является внутренним элементом конуса, то оператор А называется сильно положительным.

Если интегральный оператор действует в пространстве С и некоторая итерация ядра K(t,s)

если для каждого ненулевого х<=К можно указать такое на­ туральное п = п(х) и такое положительное число а = а(х), что аио<^Апх. Оператор А называется ио-ограниченным сверху,

ляют интегральные операторы, ядра которых являются функ­ циями Грина некоторых краевых задач для дифференциальных операторов. Так, функция Грина G(t, s) первой краевой задачи для уравнения эллиптического типа второго порядка (при есте­ ственных предположениях относительно гладкости границы об­ ласти и коэффициентов) является и0-положительным операто­

ратор будет ^-ограниченным снизу (w0 = Ho(0)- При этом оператор может не обладать свойством и0-ограниченности сверху.

Оператор А называется и0-непрерывным, если он преобразует каждую сходящуюся по норме пространства Е последователь­ ность в последовательность, сходящуюся по По-норме.

Всякий аддитивный, однородный, положительный и ио-огра- ниченныюв пространстве Е оператор А обладает тем свойством,

что некоторая его степень А п° является и0-непрерывным опе­ ратором.

Элемент и0е К называется квазивнутренним элементом ко­ нуса К, если f(uo) Ь>0 для каждого ненулевого f е/С '. В случае телесного конуса К множество квазивнутренних элементов сов­ падает с множеством внутренних элементов К . В сепарабельном пространстве каждый почти воспроизводящий конус содержит квазивнутренние элементы, в несепарабельном пространстве не каждый воспроизводящий конус имеет квазивнутренние эле­ менты.

Ли т е р а т у р а : [33], [258], [268].

2.Неразложимые операторы. Пусть конус К с= Е содержит квазивнутренние элементы. Линейный положительный оператор

Аназывается неразложимым, если каждый элемент х ^ К , х Ф в у

удовлетворяющий при некотором а > 0 соотношению а х ^ А х , является квазивнутренним элементом конуса /С.

В случае конечномерных пространств с конусом, составлен­ ным из векторов с неотрицательными компонентами, неразложи­ мые операторы определяются неразложимыми матрицами с не­ отрицательными элементами.

Каждый сильно положительный или ^-ограниченный снизу оператор, в случае,. когда п0-квазивнутренний элемент /С, яв­ ляется неразложимым оператором. В случае интегрального опе­ ратора с непрерывным неотрицательным ядром и связной об­ ластью интегрирования £2 неразложимость эквивалентна силь­ ной положительности. В случае несвязного множества £2 класс неразложимых интегральных операторов с неотрицательными ядрами шире класса сильно положительных интегральных опе­ раторов.

Для неразложимости линейного интегрального оператора с непрерывным неотрицательным ядром K(t, s) и связной об­ ластью интегрирования £2 необходимо и достаточно, чтобы при любом разбиении множества £2 на два непустых непересекаю- щихся множества F и Q, из которых F замкнуто, для некоторых to ^ F и SQ^ Q выполнялось неравенство К (t0, s0) > 0.

Для неразложимости интегрального оператора, ядро кото­ рого неотрицательно и суммируемо на £2 X Й, действующего

400 ГЛ VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ

в одном из пространств LP(Q) (1 ^ р < оо), необходимо и до­ статочно, чтобы выполнялось одно из двух условий:

1) при любом разбиении множества £2 на два непустых непересекающихся измеримых множества Q\ и Q2 ненулевой меры существует такое измеримое подмножество й с Q( X Q2>mes © >

вой меры существуют такое множество й с : Qj X Q2» mes w > 0,

Ли т е р а т у р а : [270], [271], [281], [282].

3.Спектральные свойства положительных операторов. Пусть

А— положительный линейный оператор, г(А) — спектральный

радиус оператора А, /?х = ( K I — Л)-1 — резольвента опера­ тора А.

Если для некоторого элемента х0, принадлежащего линейной оболочке К, выполняется при некотором m и а > 0 соотношение

пг

Л?пх0 > а * о , то г (Л )^ У ’а , т. е. оператор Л имеет ненулевые точки спектра.

Если конус К — воспроизводящий и нормальный и г(А) > 0, то.число Ко = г(А) принадлежит спектру оператора Л. Послед­ нее утверждение не имеет места (даже при телесном конусе /С ), если конус К не обладает свойством нормальности. В случае телесного и нормального конуса К и г(А) > 0 число г (А) яв­ ляется собственным значением сопряженного оператора Л', при­ чем этому собственному значению отвечает по крайней мере один собственный вектор, принадлежащий сопряженному конусу К'. Аналогичное утверждение имеет место и для нормального конуса, если при этом оператор Л является ^-ограниченным в пространстве Е.

Если конус не является нормальным, аналогичными свой­ ствами обладает частичный спектральный радиус р(Л), опреде­

Пусть Е — банахова структура и Л — положительный нераз­ ложимый оператор, у которого спектральный радиус положите­