книги / Функциональный анализ

^>еФ. Более того, а (а) состоит в точности из чисел вида ср(а). (Любопытно отметить, что если линейный непрерывный функ­ ционал ф таков, что ф (а)еа(а) для любого аеЛ , то ф мульти­ пликативный функционал; для алгебр над полем вещественных чисел это, вообще говоря, уже неверно).

Ниже приводится несколько примеров, в которых описание максимальных идеалов достигается простыми средствами.

1. Пусть А = С(Х) — алгебра всех непрерывных функций на компакте X. Если лг0 — фиксированная точка из X, то совокуп­ ность тех f ^ A , для которых f(xо) = 0 , образует максимальный идеал (предполагается, что X содержит более одной точки). В А нет других максимальных идеалов. Для доказательства этого достаточно установить, что для любого идеала I а А найдется

нера: если функция f(t) разлагается в абсолютно сходящийся

тригонометрический ряд и не обращается в нуль, то 1/f(t) также разлагается в абсолютно сходящийся тригонометрический ряд.

Эта идея применима к кратным рядам Фурье и во многих дру­ гих случаях.

Зачастую в конкретных случаях описание максимальных идеалов совсем не так просто и может приводить к увлекатель­ ным аналитическим задачам. В качестве примеров можно указать алгебру функций с ограниченной вариацией на вещественной

оси, в которой умножением служит свертка

оо

(fi * /2)(х) = J А(х — ю df2(I),

—00

иалгебру ограниченных аналитических функций в простейших ограниченных областях пространства Сп. Если в первом из этих примеров имеется достаточно удовлетворительное описание мак­

симальных идеалов, то во втором (при п > 1) остается еще много неясных вопросов.

Л и т е р а т у р а: [11], [38], [44], [204], [224], [231], [244], (249].

4. Пространство максимальных идеалов, гельфандов гомо­ морфизм. Поскольку мультипликативные функционалы имеют норму, равную 1, каждому такому функционалу соответствует точка на единичной сфере сопряженного пространства. Возни­ кающее при этом множество 2Й замкнуто в слабой топологии сопряженного пространства. Так как единичный шар сопря­ женного пространства представляет собой компакт в слабой топологии сопряженного пространства, то и 2Й является компак­ том. Компакт Яй называется пространством максимальных иде­ алов исходной алгебры А.

Алгебра А допускает следующее каноническое отображение в алгебру С(2Й), называемое гельфандовым гомоморфизмом. Если а е Л и хеЯЙ, то полагают а(х) = ф(а), где ср — мульти­ пликативный функционал, соответствующий точке х. Ядром го­ моморфизма а а служит совокупность тех а, которые принад­ лежат всем максимальным идеалам. Это множество называется радикалом алгебры А. Ясно (см. п. 2), что радикал составляют

жеством значений функции а на Яй. Как уже отмечалось, а <= А тогда и только тогда обратим, когда а(х) Ф 0 при всех хеЯЙ.

Если в алгебре нет обобщенных нильпотентов, кроме а = 0, то гельфандов гомоморфизм оказывается изоморфизмом. Ал­ гебры, для которых это имеет место, называются полупростыми

или алгебрами функций.

Алгебра функций называется алгеброй с равномерной схо­ димостью, если норма в ней определяет сходимость, эквивалент­ ную равномерной сходимости функций а на пространстве макси­

гебры с равномерной сходимостью возникают, когда рассматри­ вается замкнутая подалгебра в алгебре ограниченных непрерыв­ ных функций на некотором топологическом пространстве.

Л и т е р а т у р а : [11], [38], [44], [204], 1231[, [244], [249].

§2. Общие свойства

1.Аналитические операции над элементами алгебры. Пусть

А— полупростая алгебра, реализованная в виде алгебры непре­

есть некоторая функция на 9Й. В столь общей ситуации включе­

ние интегральной формулы Коши позволяет существенно уси­ лить этот результат: если, функция f регулярна в некоторой окрестности спектра элемента а, то f(a) е Л . Действительно,

! ( а ) = ^ \ ( а - Х е ) - Ч { к ) й Х ,

У

где у — любой спрямляемый контур, охватывающий спектр эле­ мента а и лежащий в области регулярности функции /, и инте­ грал, стоящий справа, представляет элемент алгебры А.

Интегральная формула Коши дает гомоморфное отображе­ ние алгебры функций, аналитических в окрестности спектра эле­ мента а, в алгебру А. Это утверждение остается справедливым и без предположения о полупростоте А.

Хотя класс функций, аналитических в окрестности спектра данного элемента, представляется довольно узким, уже в случае A — Ll (Z) его, вообще говоря, нельзя расширить: если f(a) е e L d(Z) для всех a^L *(Z ), спектр которых принадлежит от­ резку [0, 1], то f аналитична в некоторой окрестности этого от­ резка.

Можно рассмотреть функции от нескольких элементов алге­ бры. Совместным спектром о(аи ..., ап) элементов а4, ..., ап<=А

называется множество точек X = (Хи • • •, Хп) ^ Сп, для которых Xj — (p(aj)1 1 ^ ^ /г , где ф пробегает 9R. Точка (Хи ..., Яп) тогда и только тогда не принадлежит множеству о(аи ...,an), когда для некоторых Ьи ..., Ьп &А

{ai — Xxe)bxAr ••• + (a/г — Хпе) Ьп = е.

спектра элементов аи ..., an.

Бодее сложным является вопрос о многозначных функциях.

354 ГЛ. VTI. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ

идеалов этой алгебры. Непрерывная на пространстве макси­ мальных идеалов функция fi(z) = 2 не принадлежит алгеб­ ре Л, однако эта функция является решением квадратного урав­

нения f2\ — z2= 0, причем z2е Л.

Имеется более сложный пример такой алгебры А с равно­ мерной сходимостью и к тому же обладающей конечной систе­ мой образующих, которая обладает следующим свойством: не­ которая непрерывная на пространстве максимальных идеалов функция в окрестности каждой точки этого пространства сов­

характеристик пространства максимальных идеалов. Если ал­ гебра Л содержит нетривиальный йдемпотент, т. е. такой эле­

и Хи то в алгебре Л имеется (в точности один) такой элемент f,

для которого f \ X0 = 0, a f \ X \ = l . В частности, пространство максимальных идеалов коммутативной банаховой алгебры тогда и только тогда связно, когда эта алгебра не Ложет быть пред­ ставлена в виде прямой суммы двух своих нетривиальных иде­ алов.

алгебра алгебры C(V), состоящая из функций, голоморфных при г е У . Известно, что в достаточно общих предположениях относительно V любой

максимальный идеал алгебры А, отвечающий точке г° = (zj, ...» ZJ ) G F I

теоремы Хефера для областей голоморфности). Доказано, что это утвержде­

в некоторой фиксированной окрестности начала координат в Сп и X вблизи х0 допускает введение в этом смысле естественной аналитической структуры.

|р (г) |> max |р (X) |.

As /С

Примерами полиномиально выпуклых компактов являются полиномиаль­ ные полиэдры, задаваемые конечным набором полиномиальных неравенств

ного компактного многообразия. В этой связи интересно отметить, что для любого конечного клеточного «-мерного полиэдра X алгебра С(Х) допускает систему «з « + 1 образующей. Другими словами, такой полиэдр можно так погрузить в Cn+l, чтобы на его образе любая непрерывная функция допу­ скала равномерную аппроксимацию полиномами от Z\.........z n+1.

Изучение алгебр с равномерной сходимостью, обладающих конечным числом образующих, очевидным образом связано с проблемами равномерной аппроксимации в комплексном пространстве. В этой связи следует отметить, что для любого компакта X а Сп алгебра R(X) равномерных пределов на X рациональных функций с особенностями вне X допускает систе­ му из п + 1 образующей. Тем самым, общие проблемы аппрок­ симации полиномами или рациональными функциями в извест­ ном смысле эквивалентны.

3. Граница Шилова пространства максимальных идеалов.

Наименьшее замкнутое множество Гс:Х , где X — пространство

максимальных идеалов алгебры Л, на котором все функции |f| достигают максимума, называется кольцевой границей или гра­ ницей Шилова пространства X. Такое множество для любой

Для случая алгебры аналитических функций в круге эта фор­ мула сводится к классической формуле Пуассона.

Следует отметить, что среди представляющих мер имеется такая, которая удовлетворяет неравенству Иенсена, т. е.

log 1/ (ф) I < J log | f | d[i.

Г

Если А есть алгебра с равномерной сходимостью, а ее про­ странство максимальных идеалов метризуемо, то среди всех кольцевых границ (не только замкнутых) имеется минималь­

из этой алгебры, равная нулю на непустом открытом подмно­ жестве пространства максимальных идеалов, равна нулю тож­ дественно. Аналогично определяются алгебры, аналитические относительно границы.

Всякая аналитическая алгебра является аналитической отно­ сительно границы Шилова (обобщение известного факта из тео­ рии аналитических функций), но обратное, вообще говоря, не верно.

Л и т е р а т у р а : [11], [23], [38], [44], [203], [204], [244], [249].

4. Алгебры с инволюцией. Банахова алгебра называется ал­ геброй с инволюцией, если в ней задана операция f»—>f*, обла­ дающая следующими свойствами:

1)

3)

Последнее свойство записано в таком виде, в котором оно распространяется на некоммутативные алгебры. Наиболее важным примером некоммутативной алгебры с инволюцией яв­ ляется алгебра всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. В этом случае инволюция представляет собой переход к сопряженному оператору. В алгебре операторов ин­ волюция связана с нормой соотношением

358 ГЛ. VII КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ

Всякая банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей соотношению 4), изометрически изоморфна подалгебре алгебры

с инволюцией, отвечающей переходу к комплексно-сопряженной функции, служит алгебра всех непрерывных функций на ком­ пакте. Здесь инволюция также удовлетворяет соотношению 4). Этот пример является общим в том смысле, что всякая комму­ тативная банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей со­ отношению 4), естественно изоморфна алгебре всех непрерыв­ ных функций на своем пространстве максимальных идеалов.

Частным случаем этой теоремы является известная т е о р е м а Стона — В е й е р ш т р а с с а : если замкнутая подалгебра алге-

‘бры С(Х) на компакте X вместе с функцией f(x) содержит f(x) и, кроме того, для любых двух различных точек xiy х2^ Х содер­ жит функцию, принимающую в этих точках различные значения, то эта подалгебра совпадает с С(Х).

В общем случае инволюция не обязана удовлетворять соотно­ шению 4). Например, в алгебре аналитических функций в единич­ ном круге, непрерывных вплоть до границы, имеется инволюция

f*(z)=f(z), а в Ll (R{) — инволюция f*(x)=f( —^соответству­ ющая переходу к комплексно-сопряженной функции в преобра­ зованиях Фурье. В этих примерах инволюция изометрична.

Теорема о коммутативных алгебрах с инволюцией, удовлет­ воряющей соотношению 4), в применении к алгебре операторов в гильбертовом пространстве, коммутирующих с данным само­ сопряженным или нормальным оператором, позволяет получить аналог спектрального разложения.

Инволюция называется симметричной, если для любого f<=A элемент e + f*f обратим в А.

Линейный функционал ф, определенный на алгебре А с инво­ люцией, называется положительным, если ф(f*f) ^ 0 для всех

f ^ А.

Каждый положительный функционал на коммутативной бана­ ховой алгебре А с симметричной инволюцией однозначно продол­

такой функционал в силу этого обстоятельства представим в виде-

$ if) = J f (*)d\i,

X

где \х— положительная мера на X, которую можно считать со­ средоточенной на множестве точек, отвечающих симметричным

5. Регулярные алгебры. Регулярной называется алгебра А без радикала, т. е. алгебра функций, в которой для любого зам­ кнутого множества F в пространстве X максимальных идеалов и любой не содержащейся в F точки х0 найдется такая функция f ^ A , что f(x)= 1 для всех X G F и f(x0) = 0. Всякая регуляр­ ная алгебра нормальна, т. е. аналогичное свойство отделимости выполняется для любой пары непересекающихся замкнутых множеств. Более того, в регулярной алгебре для любого конеч­

fi(x) = О при х ф щ.

Функция gf по определению, локально принадлежит алге­ бре Л, если для каждой точки х0е X существует такая окрест­ ность, в которой эта функция совпадает с некоторой функцией из алгебры. Наличие разбиения единицы для всякого конечного открытого покрытия пространства X позволяет устанавливать, что всякая (непрерывная) функция, локально принадлежащая алгебре, сама является элементом этой алгебры.

В общем случае, как уже отмечалось в п. 1, это не верно даже для алгебр с равномерной сходимостью, обладающих ко­ нечным числом образующих. Более того, «нелокальность» та­ кого типа нельзя, вообще говоря, исправить следующими есте­ ственными средствами: пусть А — некоторая алгебра с равно­ мерной сходимостью, реализованная как замкнутая подалгебра алгебры С(Х) на своем пространстве максимальных идеалов, и Ai —замыкание в С(А') множества всех непрерывных функций на X, локально совпадающих с элементами из А\. Можно дока­ зать, что пространство максимальных идеалов алгебры А\ снова совпадает с X. Однако, вообще говоря, алгебра А\ не обязана быть локальной: некоторая непрерывная функция в окрестности каждой точки из X может совпадать с элементами из Аи но не принадлежать к А\.

Элемент алгебры называется вещественным, если функция f (x) вещественна при всех х.

360 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ

Достаточное условие регулярности: алгебра с веществен­ ными образующими fa регулярна, если

С другой стороны, алгебры голоморфных функций обладают противоположным свойством (см. § 3, п. 1).

Среди идеалов банаховой алгебры особый интерес представ* ляют примарные идеалы, т. е. такие, которые содержатся только в одном максимальном идеале. В случае регулярных алгебр функций в каждом максимальном идеале имеется наименьший замкнутый примарный идеал, а все ©стальные идеалы заклю­ чены между ним и максимальным. Этот наименьший замкнутый примарный идеал /(х 0) есть замыкание идеала, образованного из функций f ^ А, равных нулю в некоторой (своей для каждого /) окрестности точки х0.

В алгебре абсолютно сходящихся интегралов Фурье с при* соединенной единицей всякий замкнутый примарный идеал сов* падает с максимальным. Из последнего факта вытекает, в част­

называется примарной. Фактор-алгебра по примарному идеалу является примарной алгеброй. В алгебре Cr(0, 1) наименьший замкнутый примарный идеал /(/) (соответствующий максималь­

Пусть А и В — регулярные алгебры функций с одним и тем же пространством максимальных идеалов X, причем А а В и А