книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

личении частоты Qj возникают диссипативные структуры - так называемые вихри Тейлора. При увеличении частоты вращения

вихри Тейлора теряют устойчивость, движение жидкости ста­ новится периодическим (аналог предельного цикла). При еще больших числах Рейнольдса возникает двухчастотный режим

наблюдаемый в эксперименте при определенных значениях Slya,b,L,v, происходит в соответствии со сценарием Рюэля-

Такенса [265].

Для анализа этого течения была предложена эффективная экспериментальная техника, связанная с лазерной допплеров­

ской спектрометрией. Измеряя допплеровский сдвиг лазерного луча, проходящего через жидкость, можно измерить одну из компонент скорости в данной точке. Последовательные изме­

рименте выбирался временной интервал ~ 300 Т (300 орбит), примерно по 100 точек на орбите (Д/~10 Т). По этим дан­

ным были вычислены корреляционный показатель, положитель­ ные ляпуновские показатели и независимо рассчитана тополо­

гическая энтропия. По ним же оценивалась размерность ат­

трактора изучаемой системы. Оказалось, что при увеличении числа Рейнольдса (Re > Rec) размерность аттрактора увели­

что в изучаемой бесконечномерной системе существует мало­ модовый хаос. Предположение о наличии странного аттрактора

253

небольшой размерности, описывающего течение Куэтта - Тей­

числа обыкновенных дифференциальных уравнений. Близкие за­

кономерности имеют место и для течения жидкости между вра­ щающимися сферами [205, 206]. Такая система представляет

интерес в связи с задачами физики атмосферы.

Другой пример перехода от диссипативных структур к турбулентным режимам дает конвекция Рэлея - Бенара, проис­

ходящая в подогреваемом снизу слое жидкости [322]. Обра­ ботка соответствующего эксперимента проводилась по 15 ты­

чале задавалась размерность р ^-векторов и рассчитывался

= 15). Этот прием, позволяющий намного сократить объем вы­ числений, но уменьшающий точность определения величины V,

ниях турбулентный режим определяется странным аттрактором

небольшой размерности (2,5 £ р s 6). Увеличение числа Рейнольдса или переход к системам, где нужен учет других

усложняющих факторов, обычно приводит к росту размерности [322].

В упоминавшихся работах рассматривалось движение жид­

этим особый интерес представляет экспериментальное иссле­ дование стохастических течений, в которых движение жидкос­

254

ти происходит в неограниченной области. Примерами могут служить движение периодически возбуждаемой изотермической

реактивной струи [223] и течение типа «затопленной струи»

[73]. В этих работах были вычислены корреляционные показа­

тели и изучено, как меняется поведение системы при измене­

нии пространственной координаты. Оказалось, что и здесь движение определяется странным аттрактором небольшой раз­ мерности.

Результаты натурных и вычислительных экспериментов, в которых исследовался маломодовый хаос, позволяют по-новому взглянуть на явление турбулентности, на роль фракталей и

странных аттракторов в естествознании. Успех анализа хао­

ряду измерений вычисляется корреляционный показатель. Ти­

255

статье проводилась обработка данных, полученных в натурном эксперименте при анализе течения Куэтта - Тейлора. На кривой, определяющей зависимость s = df/de можно выделить четыре области, онн типичны для гидродинамических и ряда других задач.

Область А В этом интервале масштабов размеры ячеек

слишком малы. В каждую ячейку обычно попадают всего не­

ют фрактальную размерность аттрактора. Чтобы расширить об­ ласть С, можно увеличить размер выборки, повысить точность

При исследовании странных аттракторов более высокой размерности картина оказывается близкой, однако с. увеличе­ нием размерности уменьшается длина участка С. Для того,

256

чтобы увеличить ее, часто используют прием, предложенный в

мерность вложения. Тогда при малых значениях е в каждой

ячейке разбиения будут преобладать точки, лежащие на том

же участке траектории (см. рис. 6.21). На этих масштабах

аттрактор будет выглядеть как одномерная кривая. Зависи­

мость log2C = /(log2e) в этом случае окажется искаженной.

Соседние точки на траектории, попадающие в одну ячейку по­

крытия, при обработке таких экспериментальных данных не

отражают свойства аттрактора, а характеризуют только спо­ соб выбора At. Чтобы восстановить зависимость С(е), отра­

жающую свойства аттрактора, нужно просто не учитывать бли­

жайших соседей, лежащих на одном отрезке траектории. Это можно сделать, если модифицировать соотношение (6.63) для

ражение для корреляционного интеграла. Значение W > 1 со­ ответствует отбрасыванию того или иного числа ближайших

т 1п ( т / 2 ).

Вычисляя С по этой формуле, можно «убрать одномерный участок» и получить зависимость, близкую к той, которая

характеризует канторову структуру изучаемого множества. Во

257

скорости и тангенса наклона от In е в одной точке трубы показана на рис. 6.23. Видно, что v = 15 ± 2. В силу того,

Интересно, как будут меняться количественные характе­

259

кривой In С = Д1п е) в разных точках трубы. В пределах точности расчетов корреляционный показатель, вычисленный по одной из компонент скорости в различных точках, оказы­ вается одним и тем же.

+р<*10 *p =ZO op =30 o p -4 0 +p=10 *p -ZO o p -3 0 ap=40

В настоящее время очень мало известно о геометрии

аттракторов даже небольшой размерности. Нет и простых на­ глядных образов, позволяющих представить такие множества.

Вместе с тем во многих случаях геометрические характерис­

тики оказываются очень полезными.

Приведем пример, связанный с обсуждавшейся выше зада­ чей. При изучении геометрии аттракторов в теории динами­

ческих систем полезную информацию дает использование так

260

Рис. 6.25

На рисунке 6.25 показана проекция отрезка тректории аттрактора на плоскость £2). Траектория построена по значениям z-компоненты скорости в точке с радиальной коор­ динатой г = 0,596. Наблюдаемая картина ясно указывает на существование быстрого и медленного временных масштабов. Быстрым движениям соответствует мелкая рябь на отвечающих медленным движениям орбитах большого диаметра. Это под­ тверждают и результаты частотного анализа [140].

261

ную закономерность. Будем следить (рис. 6.26) в течение

небольших, следующих друг за другом, интервалов времени за

проекцией той же траектории (£3, £4). На каждом интервале

времени траектория ведет себя простым регулярным образом,

как если бы она лежала в окрестности сложного цикла или

дит как беспорядочный клубок траекторий. Заметим, что по­ хожая картина уже наблюдалась при исследовании более прос­

262