Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

14.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 5514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

(1) Область притяжения р(А), состоящая из всех точек х € М, для которых и(х) с А, должна иметь строго положи

тельную меру;
(2)	не	существует		строго меньшего		замкнутого	множества
А' с	А	такого,	что	р(А')	совпадает с	р(А) с точностью до
меры	нуль.
	Из	первого	условия		следует, что	существует	положи

тельная вероятность того, что выбранная наугад точка будет притягиваться к А. Из второго условия следует, что каждая

часть А играет существенную роль.

Это определение применимо ко всем обсуждавшимся выше

примерам. Оказалось, что его можно	использовать	для боль
шого класса установившихся режимов	в различных системах.
§ 4.4. Метастабильный хаос, кризисы
При моделировании различных	явлений могут	возникать

одномерные отображения, имеющие острые вершины, несколько

максимумов,

иногда

не

являющиеся

непрерывными

[19,

373,

382].

Для моделирования такой ситуации надо изу

чать отображения, не являющиеся S-унимодальными, которые

могут

иметь несколько

аттракторов.

В качестве простого примера рассмотрим семейство од

номерных отображений

f(x,\)

\х -

А|1/2/[1

+ (х

- А)2].

(4.17)

При Aj <

А2

(AJ

0,432,

А2

0,4483) отображение

имеет

устойчивый

цикл

S2.B

интервале

А3 < А < А2

(А3 «

» 0,4444)

с ним сосуществует

шумящий

цикл х4-

Область

при-

тяжения

цикла

при А =

А3 скачком уменьшается, и появля

ется

CTt

астический

аттрактор.

Чтобы объяснить наблюдаемую картину, удобно перейти к

отображению g

/4. Рассмотрим квадрат со стороной /,

спо

соб

построения

которого показан на рис. 4.16. Для нагляд

ности

здесь отмечены

цесколько

итераций

точки х^.

131

Рис. 4.17. Отображение вида (4.17), в котором сосуществует устойчивый цикл и хаотический аттрактор; ОС—1/2

Пусть

точка

лежит

внутри квадрата

Л3.

Видно,

что функция g определяет отображение отрезка

в себя, а

поэтому все

итерации

(образы)

х.

будут

лежать

внутри

квад-

рата.

Поскольку

внутри /,

то

устойчивых

циклов

в нем

не

существует,

образы

точек,

и неподвижных точек

попавших

него,

ведут

себя

случайным

образом.

На рис.

4.16

для

наглядности

приведен

только

один

из

участков

132

функции g. Если рассмотреть весь интервал (0, 1), то можно

убедиться, что				при	А	= А3 одновременно	появляются		четыре
отрезка, каждый из которых переходит в							себя,	т. е.	в си с-
теме возникает				цикл х4•
	Наряду со стохастическим аттрактором при А > Aj у
отображения g может существовать и устойчивая								особая точка
(х*	на	рис.	4.17).		У	отображения / эта	точка	соответствует
одному						л
		из элементов устойчивого цикла 5 .
	Совершенно другая картина наблюдается при А < А3. В
этом	случае		отрезок		/	уже не переходит в	себя.	Образы точ

ки хj покидают квадрат через					маленький отрезок вблизи его
левого		нижнего	угла (см. рис.		4.16, о).	Чем	меньше	значение
\|А	-	А3 \|, тем большее время			проводят	образы точки		х^ внут
ри	квадрата. Таким образом,			если х^		лежит	внутри	отрезка
/,	то	в течение	длительного	времени будет			наблюдаться хао

тический режим. Однако «время жизни» этого режима ограни чено. При п —* «в происходит выход на устойчивую точку или

цикл. Переходный процесс, связанный с хаотическими осцил

ляциями,	в этом случае может быть сколь угодно длинным при
А —» А3.	Это интересное	явление было	названо	в	работе
Дж. Йорке	и Е. Йорке [106]	метастабильным	хаосом.	Оно	было

обнаружено в системе Лоренца, которая была предложена как упрощенная модель бенаровской неустойчивости. Можно ожи

дать, что метастабильный хаос и возникновение стохастичес

ких режимов описанным выше способом будут наблюдаться и в

некоторых нелинейных				средах.
	Рассмотренный пример позволяет ввести еще одно важное
понятие,		связанное с		анализом нелинейных		систем.	При А >
> А3	в	системе	есть	стохастический	аттрактор и		неустойчи
вая	неподвижная		точка G (см. рис. 4.16),			при А = Ад они
сталкиваются, в			результате этого		стохастический		аттрактор

исчезает. «Столкновение» аттрактора с неустойчивой непод вижной точкой или циклом получило название кризиса аттрак тора [И, 281, 282].

Кризисы характерны для большого класса нелинейных систем [282], с ними связаны скачки, быстрые качественные

133

изменения хаотических режимов. Можно выделить граничные кризисы, которые обычно приводят к внезапному исчезновению хаотического аттрактора (пример такого кризиса мы обсудили выше), и внутренние кризисы. В результате внутреннего кри зиса скачком меняются размеры и области притяжения стохас тического аттрактора. Они наблюдаются даже в простейших S-унимодальных отображениях [281].

1,6

1,2-

0,6

0,<

— Oftl _ i ___________ i__________— I_________ _1 ____________i____________ i____________i------------------ 1------------------1 ^ .

- 2	-1,5	-1	-0 ,5	О	0,5	1	1,5 2 х „
			Рис.	4.18
Пример	граничного		кризиса,		который		имеет	место в
отображении	=	С -	хг, представлен			на	рис.	4.18 [282].

На этой бифуркационной диаграмме показаны элементы после


довательности			{хп}.	Начальные		значения		выбирались		на
угад,	и	затем	первые		несколько тысяч		итераций		отбрасыва
лись,	чтобы исключить переходный процесс. Зависимость ко
ординаты		неустойчивой			особой	точки х	=	Ц- + С\|1/2		от
параметра		С показана		на	рисунке	штрихпунктирнои			линией.

134

При		С = 2	неустойчивая точка сталкивается с аттракто
ром. В одномерном отображении исчезает					интервал,	перехо
дивший	в	себя.	Когда С > 2, почти при всех начальных				дан
ных последовательность {хп} стремится					к минус	беско
нечности.
Внутренний			кризис в том же отображении иллюстрирует
рис. 4.19		[282].	Здесь в результате тангенциальной бифур
кации	рождается		неустойчивый цикл	S3 Положение		его	эле
ментов	показано		штрихпунктирной	линией.	Затем этот		цикл

сталкивается с шумящим циклом я3При этом значенииз параметра скачком меняются размеры аттрактора и вместо х рож - дается шумящий цикл х'-

Рис. 4.19

135

Сценарий перехода к хаосу в отображениях, имеющих не сколько экстремумов, может существенно отличаться от тра

диционных. Например, в работе [239] показано, что каскад бифуркаций удвоения периода в нечетных отображениях обла

дает интересной	особенностью. Здесь точки бифуркации при
п —* со могут не	стремиться	к геометрической прогрессии.
Сложными	свойствами	могут отличаться отображения с

острой вершиной. В работах [41, Д5] было рассмотрено се мейство (4.17). Циклы в этом случае удобно характеризовать

индексами	т и п S? .	(т +	п = р), показывающими, сколько
	(т,п)	.	г '

элементов лежит справа и слева от вершины (х = Л). Расчеты

показали, что возможен большой класс	переходов с измене
нием топологии устойчивых циклов Sp(m	—* S^m+1 „.jy Та

кие переходы могут сопровождаться каскадами бифуркаций,

кризисами, возникновением хаотических режимов.

В эксперименте часто приходится иметь дело с детерми

нированными процессами, на которые влияет шум малой ампли туды. В простейшем случае эта ситуация описывается отобра жением

		V	i -	«*„> +	(4.18)
где	- малая	случайная		функция.
В	работах	[57,	328]	было показано, что,	несмотря на

влияние шума, для систем вида (4.18) характерны многие яв ления, предсказываемые теорией одномерных отображений.

Пусть	отображение	(4.1) отрезка в себя	имеет один
максимум	в точке х£ и	переводит интервал	{f(xc), Ш(хс))}

всебя. Тогда итерации отображения (4.18) будут лежать в

интервале	/	=	[/(/(*.)	+	е) - е,	/(*.)	+ е], - е s	^ < е.
Границы	этого		интервала		понятны	из рис. 4.20. Из него так
же можно		получить		неравенство,		при	выполнении	которого

этот интервал переходит в себя. Таким образом, если в

отображении (4.1)	удалось выделить	интервал, переходящий в
себя, то такой же	интервал может	существовать и в системе
с шумом.

137

Вместе с тем траектории точек могут существенно отли

чаться даже в простейших случаях. Пусть отображение имеет неподвижную точку х*. Тогда можно представить себе ситуа

цию, когда

Ху =

х*,

х2 =

х*

е,

je3

= f(x*

с) -

с,

х^

= f(f(х* + е) -

е)

т.

д.

этом

случае

элементы

последовательности {дг^} будут удаляться от х*.

Однако

вероятность

больших

отклонений

невелика,

по

скольку величина

меняется

случайным

образом.

Если

охарактеризовать

распределение

точек

{дг^}

некоторой

мерой,

то, вероятно, она будет сосредоточена вблизи х*. Можно предположить, что если отображение (4.1) имеет абсолютно непрерывную инвариантную меру, то добавление малого шума

несущественно изменит ее. Естественно ожидать, что при

е —> а> инвариантные меры отображения (4.18) в определенной

норме	стремятся к		инвариантной	мере отображения (4.1). В
ряде случаев это удается доказать [207].
Устойчивый цикл Sp у отображения (4.1) в					системе с
малым	шумом	может	превратиться	в аналог шумящего цикла
(рис.	4.21). На	рис.	4.21 видно,	как увеличение	амплитуды

шума е может скачком привести к исчезновению упорядочен

ности, связанной с порядком обхода «островов» [328, Д2].

Однако возможны ситуации, когда наличие шума служит

источником	упорядоченности.	В самом	деле, пусть отображе
ние (4.1)	имеет несколько	интервалов,	переходящих в себя,

как на рис. 4.17. Тогда итерации взятой наугад точки х с

определенной вероятностью могут попасть в эти интервалы. В

этом	случае наблюдается		хаос.	В	других	случаях	элементы
{х^}	стремятся	к неподвижной		точке. Пусть		теперь	Ху	лежит
в «хаотическом		интервале».	Если в		системе	есть шум,		то ра

но или поздно хп окажется вблизи границы интервала, а до

бавка	еп приведет	к	тому, что		покинет	интервал.		Далее
будет	происходить	движение		к	неподвижной	точке.	В	ее ок
рестности движение будет достаточно упорядоченным.
	Анализ систем	с	шумом	позволил убедиться,			что	основ

ные эффекты, предсказанные теорией одномерных отображений, будут наблюдаться и в системах с небольшим шумом. Это име

138

ет большое значение для исследования реальных систем, в которых обычно присутствует шум.

4.5. Систематика

циклов

Расчеты показывают, что для отображения (4.3)

харак

терна «оконная структура» (рис. 4.22).

При

увеличении

па

раметра

(А

могут наблюдаться

как

хаотические

режи

мы,

так

неустойчивые циклы

любых

периодов. Встает

вопрос

о закономерностях,

определяющих порядок

появления

циклов

при

изменении параметра.

Рассматривая сценарий

Фейгенбаума,

можно. убедиться,

что наряду с устойчивым циклом S?P при том же значении па-

раметра

существуют

неустойчивые

циклы

периодов

SоР-1

важно

выяснить, при

каких

условиях

, .... 5 . Поэтому

могут сосуществовать

циклы

различных

периодов.

Для

большого

класса

одномерных

отображений

эти

вопросы

были

решены

[200,

201, 235,

332],

Обратим

внимание

на

некоторые

результаты.

Будем говорить, что		между	целыми числами т и п		су
ществует отношение	порядка т у п , .если из			существования
цикла Sm следует,	что у	того	же отображения	есть и	цикл

Sn.

Как было доказано советским математиком А.Н.Шарковским в 1964 г., это отношение упорядочивает циклы непрерыв ных отображений следующим образом:

3 > 5 > 7 > 3*2 > 5*2 > 7*2 > ... >-

> 3 -22 > 5-22 >

7 -22 > ... >

23 > 22 >

(4.19)

Последнее

соотношение

этом

ряду

означает,

что

если

су -

шествует

цикл

то

имеется и неподвижная точка (цикл

S ,

S 1).

Доказать

его очень

просто. Поскольку есть цикл S , то

найдутся

такие

значения

а2,

что

f(a2),

а2

= f(a^), а2 > йу Теперь

рассмотрим

функцию g

f(x)

точках

а2:

g(af)

а, -

[(а,)

а, -

а2

g(a2)

а2 -

Oj >

Так

как

f(x),

следовательно

g(x)

непре

рывна,

то

существует

точка

а*,

где

g(a*)

= 0,

т.

е.

{(а*)

а*.

Остальные

соотношения доказываются

сложнее.

Судя по ряду (4.19), самым сложным является цикл S3.

Американские

математики

Т.Ли

и Дж. Йорке

доказали

что

верна

теорема.

Если для

непрерывного

отображения

Т е о р е м а

4.4.

можно

найти

точки a,

с,

такие,

что

F(a),

F(b),

d = F(c)

< b <

с,

то это

отображение

имеет

циклы любого периода и несчетное множество непериодических траекторий [320].

В теореме Шарковского рассматриваются любые непрерыв

ные отображения и все циклы, независимо от их устойчивос

ти. Однако во многих случаях основной интерес представляют устойчивые циклы. Оказалось, что для семейства гладких,

непрерывных вместе	с	первой	производной	отображений
«оконная структура»	не	зависит от	конкретного	вида функции

f(x, Л). При изменении параметра Л циклы появляются в

определенном	порядке.		f(x, Л) заданы на отрезке
Будем	считать, что	функции	f(x, Л) заданы на отрезке
[-1, 1] и имеют максимум		при х =	0.

140

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 5514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги