9. Поляризованность. Связь между р и е. Сегнетоэлектрики.

Поляризованность Р. Для количественного описания поляризации диэлектрика естественно взять дипольный момент единицы объема. Если внешнее поле или диэлектрик (или то и другое) неоднородны, степень поляризации оказывается различной в разных точках диэлектрика. Чтобы охарактеризовать поляризацию в данной точке, выделяют физически бесконечно малый объем V, содержащий эту точку, затем находят векторную сумму дипольных моментов молекул в этом объеме и составляют отношение (3.2) Вектор Р называют поляризованностью диэлектрика. Этот вектор равен дипольному мо­менту единицы объема вещества. Пусть в объеме V содержится N диполей.. Умножим и разделим правую часть выражения (3.2) на N. Тогда P=n<p>, (3.3), где n = N/V — концентрация молекул (их число в единице объема); <p> = (p_i)/N — средний дипольный момент одной молекулы.

Другое выражение для Р соответствует модели диэлектрика как совокупности положительной и отрицательной «жидкостей». Выделим очень малый объем V внутри диэлектрика. При поляризации входящий в этот объем положительный заряд '₊ V сместится относительно отрицательного заряда на величину l, и эти заряды приобретут дипольный мо­мент p = '₊ V • l. Разделив обе части этого равенства на V, по­лучим вектор Р: P='₊ l (3.14) Единицей поляризованности Р является кулон на квадрат­ный метр (Кл/м²).

Связь между Р и Е. Как показывает опыт поляризованность Р зависит линейно от напряженности Е поля в диэлект­рике. Если диэлектрик изотропный и Е не слишком велико, то P=À₀E (3.5), где  — безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью вещества. Эта величина не зависит от Е, она характеризует свойства самого диэлектрика. Всегда  > 0.

Существуют диэлектрики, для которых (3.5) не применимо. Это некоторые ионные кристаллы и электреты, а также сегнетоэлектрики. У сегнетоэлектриков связь между Р и Е нелинейная и зависит, кроме того, от предыстории диэлектрика, т. е. от предшествующих значений Е (это явление называют гистерезисом)

10. Теорема Гаусса для вектора р (интегральная и дифференциальная форма). Условие при которых в диэлектрике объемная плотность связанных зарядов равна нулю. Граничные условия для вектора р.

Теорема Гаусса для поля вектора Р. Поток вектора Р сквозь про­извольную замкнутую поверхность S равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью S, т. е. (3.6) Это уравнение и выражает теорему Гаусса для вектора Р.Доказательство. Пусть произвольная замкнутая по­верхность S охватывает часть диэлектрика (рис. 3.2, а, диэ­лектрик заштрихован). При включении внешнего электрического поля диэлектрик поля­ризуется — положительные заряды сместятся относите­льно отрицательных. Найдем заряд, который проходит че­рва элемент dS замкнутой поверхности S наружу (рис. 3.2, б). Пусть l₊ и l_ — векторы, характеризующие смещения поло­жительного и отрицательного связанных зарядов в результате поляризации. Тогда через элемент поверхности dS на­ружу поверхности S выйдет положительный заряд '₊l₊dScos, заключенный во «внутренней» части косого цилиндра (рис. 3.2, б). Кроме того, через элемент dS войдет внутрь поверхности S отрицательный заряд '_l_dScos, заключенный во «Внешней» части косого цилиндра. Но перенос отрицательного заряда в некотором направлении эквивалентен переносу положительного заряда в противоположном направле­нии. Учитывая это, можно записать суммарный связанный заряд, выходящий наружу поверхности S через элемент dS, как dq’=₊l₊dScos+|'_|l_dScos. Поскольку '₊='₊: dq’=₊(l₊l_)dScos=ρ’+ldScos. (3.7), где l = l₊ +l_ — расстояние, на которое сместились относитель­но друг друга положительные и отрицательные связанные заряды диэлектрика при поляризации. Далее, '₊ l= Р и dq' = PdScos, или dq'=P_ndS=PdS (3.8). Проинтегрировав это выражение по всей замкнутой поверх­ности S, мы найдем весь заряд, который вышел при поляриза­ции из объема, охватываемого поверхностью S, он равен . В результате внутри поверхности S останется некоторый избыточный связанный заряд q'. Вышедший заряд должен выть равен с обратным знаком оставшемуся внутри поверхности S избыточному связанному заряду, и мы приходим к (3.6).Дифференциальная форма. Р = –', (3.9) т. е. дивергенция поля вектора Р равна с обратным знаком объемной плотности избыточного связанного заряда в той же точке. Это уравне­ние можно получить из (3.6) заменой Е на Р и  на '.Когда в диэлектрике '=0? Объем­ная плотность избыточных связанных зарядов внутри диэлект­рика будет равна нулю при выполнении двух условий: 1) диэлектрик должен быть однородным; 2) внутри него не должно быть сторонних зарядов ( = 0). Действительно, из основного свойства поля вектора Р (3.6) следует, что в случае однородного диэлектрика можно, заменив Р на _оE согласно (3.5), вынести  из-под знака интеграла и за­писать:.Оставшийся интеграл есть алгебраическая сумма всех зарядов — сторонних и связанных — внутри рас­сматриваемой замкнутой поверхности S, т. е. q + q'. Поэтому (q + q') = -q', откуда q’=q/(1+) (3.10). Это соотношение между избыточным связанным зарядом q' и сторонним зарядом q справедливо для любого объема внутри диэлектрика, в частности и для физически бесконечно малого, когда q' - dq' = 'dV и q - dq = dV. Тогда (3.10) после сокраще­ния на dV примет вид ρ’=ρ/(1+) (3.11). Значит, в однородном диэлектрике ' = 0, если  = 0. Т. о., если в произвольное электрическое поле поместить однородный изотропный диэлектрик, при его поляризации появятся только поверхностные связанные заряды, объемные же избыточные связанные заряды во всех точках такого диэлектрика будут равны нулю.

Граничные условия для вектора Р. Рассмотрим поведение вектора Р на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. У таких диэлектри­ков объемного избыточного связанного заряда нет и в результате поляризации появляется только поверхностный связанный заряд. Найдем связь между поляризованностью Р и поверхностной плотностью ' связанных зарядов на границе раздела диэлект­риков. Для этого воспользуемся свойством (3.6) поля вектора P. Возьмем в качестве замкнутой поверхности небольшой плоский цилиндр, торцы которого расположим по разные стороны, границы раздела (рис. 3.3). Высоту цилиндра будем предполагать ничтожно малой, а площадь S каждого торца настолько малой, что во всех точках каждого торца цилиндра вектор Р выл бы одинаков (это же касается и поверхностной плотности ' связанного заряда). Пусть n — общая нормаль к границе раз­дели в данном месте. Условимся всегда проводить вектор n от диэлектрика 1 к диэлектрику 2. Пренебрегая потоком вектора Р сквозь боковую поверхность выбранного нами цилиндра, запишем согласно (3.6): P_2nS+P_1nS=–S, где P_2n и P_1n - проекции вектора Р в диэлектрике 2 на нормаль n и в диэлектрике 1 на нормаль n' (рис. 3.3). Учитывая, что проекция вектора Р на нормаль n' равна с обратным знаком проекции этого вектора на противоположную (общую) нормаль n, т. е.

Р_{1 n}= -Р_{1 n} , перепишем предыдущее уравнение: P_2n–P_1n= –. (3.12). Это значит, что на границе раздела диэлектриков нормаль­ная составляющая вектора Р испытывает разрыв, величина ко­торого зависит от '. В частности, если среда 2 вакуум, то Р_2п = 0, и условие (3.12) приобретает более простой вид:

 ' = Р_n (3.13), где Р_п — проекция вектора Р на внешнюю нормаль к поверхно­сти данного диэлектрика. Знак проекции Р_п определяет и знак поверхностного связанного заряда ' в данном месте. Послед­нюю формулу можно представить в другом виде, а именно в со­ответствии с формулой (3.5) можно записать:

 '= ₀ E_n (3.14), где Е_п — проекция вектора Е (внутри диэлектрика вблизи от его поверхности) на внешнюю нормаль. Здесь также знак Е_п определяет знак  '.