26. Уравнения Максвелла (интегральная и дифференциальная форма). Граничные условия. Материальные уравнения. Свойства уравнений Максвелла

Содер­жание этих уравнений заключается в следующем: 1. Циркуляция вектора Е по любому замкнутому кон­туру равна со знаком минус производной по времени от магнитного потока через любую поверхность, ограничен­ную данным контуром. При этом под Е понимается не толь­ко вихревое электрическое поле, но и электростатическое (циркуляция последнего равна нулю).2. Поток вектора D сквозь любую замкнутую поверх­ность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью.3. Циркуляция вектора Н по любому замкнутому кон­туру равна полному току (току проводимости и току сме­щения) через произвольную поверхность, ограниченную данным контуром.4. Поток вектора В сквозь произвольную замкнутую поверхность всегда равен нулю. Из уравнений Максвелла следует, что электрическое и магнитное поля нельзя рассматривать как независимые.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Первые 2 уравнения говорят о том, что электрическое по­ле может возникнуть по двум причинам: его ис­точником являются электрические заряды, как сторонние, так и связанные (это следует из уравнения V•D=ρ), если учесть, что D = ε₀Е + Р и V • Р = — ρ', тогда V • Е(ρ+ρ'); поле Е образуется всегда, когда меняется во времени магнитное поле. Следующие2 уравнения говорят о том, что магнитное по­ле В может возбуждаться либо движущимися электричес­кими зарядами, либо перемен­ными электрическими полями, либо тем и другим одновре­менно (это следует из уравнения хH = j+дD/дt, если учесть, что Н = В/μ₀ —J и х J = j', тогда хВj+j'+дP/дt+e₀дЕ/дt, где j' — плотность тока намагни­чивания; дР/дt — плотность тока поляризации. Первые три тока связаны с движением зарядов, последний ток — с изменяющимся во времени полем Е). Никаких ис­точников магнитного поля, подобных электрическим заря­дам, в природе не существует, это следует из уравнения V • В = 0. Путем решения ур–ий Максвелла в дифференциальной форме могут быть найдены поля Е и В. Ур–ия Максвелла в дифференциальной форме со­вместно с уравнением движения заряженных частиц под действием силы Лоренца dp/dt=qE + q[vB] составляют фундаментальную систему уравнений. Эта сис­тема достаточна для описания всех электро­магнитных явлений, в которых не проявляются квантовые эффекты.

Граничные условия. Уравнения Максвелла в интег­ральной форме справедливы и в тех случаях, когда существуют поверхности разрыва — поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачко­образно. Можно, однако, достигнуть такой же общности и для дифференциальной формы уравнений, если дополнить их граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Эти условия содержатся в интегральной форме уравнений: D_1n = D_2n, E_1T = E_2T, B_ln = B_2n, Н_1T = Н_2T.

(здесь первое и последнее условия относятся к случаям, когда на границе раздела нет ни сторонних зарядов, ни токов проводимости).Материальные уравнения. Фундаментальные уравне­ния Максвелла еще не составляют полной системы уравне­ний электромагнитного поля. Их необходимо дополнить соотно­шениями, в которые входили бы величины, характеризую­щие индивидуальные свойства среды – материальными ур–иями. Они наиболее просты в случае достаточно слабых электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени. Для изотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков, материальные уравнения имеют следующий вид: D=εε₀E, В=μμ₀Н, j =σ(E+E*), где ε, μ, σ — известные постоянные, Е* — напряженность поля сторонних сил.

Свойства ур–ий Максвелла. 1.Уравнения Максвелла линейны. Они содержат только первые производные полей Е и В по времени и пространственным координатам и первые степени плотности электрических зарядов ρ и токов j. Свойство линейности уравнений Максвелла непосредственно связано с принципом суперпозиции: если два каких-нибудь поля удовлетворяют уравнениям Максвелла, то это относится и к сумме этих полей.2.Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения электрического заряда.3.Ур–ия Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчет