1. Электрический заряд. Электрическое поле. Поле точечного заряда. Суперпозиции. Распределение зарядов. Геометрическое описание электрического поля.

Электрический заряд частицы является одной из основных, первичных ее характеристик. Свойства: 1)существует в 2х видах: поло¬жительный и отрицательный; 2)закон сохранения электрического заряда: в любой электрически изолированной системе алгебраиче¬ская сумма зарядов не изменяется; 3)электрический заряд является релятивистски-инвариантным: его величина не зависит от системы отсчета, а значит, не зависит от того, движется он или покоится.

Электрическое поле. Взаимодействие между зарядами осуществляется через поле. Всякий электрический заряд q изменяет определенным обра¬зом свойства окружающего его пространства — создает элект¬рическое поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку другой, «пробный», заряд испытывает действие силы

F = q'E, где вектор Е называют напряженностью электрического поля в данной точке. Вектор Е, можно определить как силу, действующую на единичный положите-льный неподвижный заряд. Проб¬ный заряд q' должен быть достаточно малым, чтобы его вне¬сение не вызвало заметного искажения поля (вследствие возможного перераспределения создающих поле зарядов).

Поле точечного заряда. Из опыта следует, что напряженность поля неподвижного точеч¬ного заряда q на расстоянии r от него можно представить как, где ε0 — электрическая постоянная; еr — орт радиуса-вектора г, проведенного из центра поля, в котором расположен заряд q, до интересующей нас точки. Здесь коэффициент 1/4πε0= =9•109м/Ф, заряд q определяют в кулонах (Кл), напряженность поля Е — в вольтах на метр (В/м). В зависимости от знака заряда q век¬тор Е направлен так же, как и r, или противоположно ему. По существу формула выражает не что иное, как закон Кулона, но в «полевой» форме.

Принцип суперпозиции: напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавали бы каждый из зарядов в отдельности:где ri — расстояние между зарядом qi и интересующей нас точ-кой поля.

Распределение зарядов. Для упрощения математических расчетов удобно заменить истинное распределение точечных дискретных зарядов фиктивным не¬прерывным распределением.

При переходе к непрерывному распределению вводят поня¬тие о плотности зарядов — объемной ρ, поверхностной σ и ли-нейной λ. По определению, ρ=dq/dV, σ=dq/dS, λ=dq/dl, где dq — заряд, заключенный соответственно в объеме dV, на поверхности dS и на длине dl. Можно представить принцип суперпозиции так:

2. Поток вектора е. Теорема Гаусса (интегральная и дифференциальная форма).

Поток вектора Е. Будем считать, что густота линий Е равна модулю вектора Е. Тогда число линий, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль n которой составляет угол а с вектором Е, определяется согласно как Е dS cosa. Эта величина и есть поток dФ вектора Е сквозь площадку dS. В более компактной форме dФ=En dS=E dS, где Еп— проекция вектора Е на нормаль n к площадке dS, dS — вектор, модуль которого равен dS, a направление совпа¬дает с нормалью n к площадке. Заметим, что выбор направле¬ния вектора n (а следовательно, и dS) условен, его можно было бы направить и в противоположную сторону. Если имеется некоторая произвольная поверхность S, то по¬ток вектора Е сквозь нее:

Эта величина алгебраическая: она зависит не только от конфи-гурации поля Е, но и от выбора направления нормали. В случае замкнутых поверхностей принято нормаль n брать наружу об-ласти, охватываемой этими поверхностями, т. е. выбирать внешнюю нормаль.

Теорема Гаусса. поток век¬тора Е сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на εО.

Доказательство: Сначала рассмотрим поле одно¬го точечного заряда q. Окружим этот заряд произвольной зам¬кнутой поверхностью S и найдем поток вектора Е сквозь элемент dS:

где dΩ — телесный угол, опирающийся на элемент поверхности dS, с вершиной в точке расположения заряда q. Интегрирование этого выражения по всей поверхности S эк-вивалентно интегрированию по всему телес¬ному углу, т. е. заменив dΩ на 4π, полу¬чим Ф = q/ε0, как и требует формула (1.7). При более сложной форме замкнутой поверхности углы а могут быть больше π/2, а значит, cos а и dΩ в (1.8) принимают как положительные, так и отрицательные значения. Т.о, dΩ — величина алгебраическая: если dΩ опирается на внутреннюю сторону поверхности S, то dΩ> 0, если же на внешнюю сторону, то dΩ< 0.

Теперь обратимся к случаю, когда электрическое поле созда-ется системой точечных зарядов. В этом случае со¬гласно принципу суперпозиции Е = E1 + Е2 + ..., где E1 — поле, создаваемое

зарядом q₁ и т. д. Тогда поток вектора Е можно за­писать так:

Согласно предыдущему каждый интеграл в правой части ра­вен q_i/ε₀, если заряд q_i находится внутри замкнутой поверхности S, и нулю, если снаружи поверхности S. Поэтому в правой части останется алгебраическая сумма только тех зарядов, ко­торые находятся внутри поверхности S.

Для завершения доказательства остается учесть случай, когда заряды распределены непрерывно с объемной плотностью, зависящей от координат. В этом случае можно считать, что каждый элементарный объем dV содержит «точеч­ный» заряд ρdV. Тогда в правой части (1.7): где интегрирование проводится только по объему, заключенно-му внутри замкнутой поверхности S.

Дифференциальная форма теоремы Гаусса: представим сначала заряд q в объеме V, охватыва¬емом замкнутой поверхностью S, как qвнутр = <ρ>V, где <ρ> — среднее по объему V значение объемной плотности заряда. За¬тем подставим это выражение в уравнение (1.7) и разделим обе части его на V. В результате получим. Теперь устремим объем V к нулю, при этом <ρ> будет стремиться к значению ρ в данной точке поля, а значит, отношение в левой части уравнения будет стремиться к ρ/ε_о. Величину, являющуюся пределом отношения ∫ЕdS к V при V→0, называют дивергенцией поля Е и обозначают div E. Та­ким образом, по определению.Дивергенция является скалярной функцией координат. Выражение для дивергенции зависит от выбора системы координат. В декартовой системе координат:.Итак, при V→0 в выражении (1.15) его правая часть стремится к ρ/ε₀, а левая — к divE. Следователь­но, дивергенция поля Е связана с плотностью заряда в той же точке уравнением divE=ρ/ε₀ (·E=ρ/ε₀.) Это уравнение и выражает теорему Гаусса в дифференциаль­ной форме. вектор Е, то получим не что иное, как div E(или Е). В дифференциальной форме теорема Гаусса является лока­льной теоремой: дивергенция поля Е в данной точке зависит то­лько от плотности электрического заряда ρ в той же точке.

3. Теорема о циркуляции вектора Е (интегральная и дифференциальная форма). Потенциал поля точечного заряда. Потенциал поля системы зарядов. Связь между потенциалом и вектором Е. Эквипотенциальные поверхности.

Электростатическое поле является стационарным. Если в качестве пробного заряда, переносимого из точки 1 заданного поля Е в точку 2, взять единичный положительный заряд, то элементарная рабо­та сил поля на перемещении dl равна Е dl, а вся работа сил поля на пути от точки 1 до точки 2 определяется как Этот интеграл берется по некоторой линии (пути), поэтому его называют линейным. Из независимости линейного интег­рала (1.21) от пути между двумя точками следует, что по про­извольному замкнутому пути этот интеграл равен нулю. Интег­рал (1.21) по замкнутому пути называют циркуляцией вектора Е и обозначают Теорема о циркуляции вектора Е: циркуляция вектора Е в любом электростатическом поле равна нулю, т. е.(+д­–во).

Потенциал. Тот факт, что линейный интеграл (1.21), представляющий собой работу сил поля при перемещении единичного положите­льного заряда из точки 1 в точку 2, не зависит от пути между этими точками, позволяет утверждать, что в электрическом поле существует некоторая скалярная функция координат φ(r), убыль которой, где φ₁ и φ₂ — значения функции φ в точках 1 и 2. Величина φ(r) называется потенциалом поля Потенциал — это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля. Потенциалу какой-либо произвольной точки О поля можно условно приписать любое значение φ₀. Тогда потенциалы всех других точек поля определяются согласно (1.23) однозначно. Если изменить φ₀ на некоторую величину Δφ, то на такую же величину изменятся и потенциалы во всех других точках поля. Таким образом, потенциал φ определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Единицей потенциала является вольт (В). Потенциал поля точечного заряда. Формула (1.23) справедлива не только для конечных перемеще­ний, но и для элементарных dl. Тогда согласно этой формуле элементарная убыль потенциала на этом перемещении есть –dφ=Edl (1.24)

Если известно поле Е(r), то для нахожде­ния φ надо представить Е dl как убыль некоторой функции. Эта функция и есть φ. Найдем таким способом потенциал поля неподвижного то­чечного заряда:где учтено, что e_rdl = 1 • (dl)_r, т.к. проекция вектора dl на век­тор е_г, а значит, и на r равна приращению модуля вектора r, т. е. dr. Величина, стоящая в круглых скобках под знаком диф­ференциала, и есть φ(r). Так как присутствующая здесь адди­тивная константа никакой физической роли не играет, ее обыч­но опускают. Т.о.:

Отсутствие в этом выражении аддитивной константы озна­чает, что мы полагаем потенциал на бесконечности (r → ∞) равным нулю.

Потенциал поля системы зарядов. Пусть система состоит из неподвижных точечных зарядов q₁ ,q₂,... Согласно принципу су­перпозиции в любой точке поля напряженность Е = Е₁ + Е₂ +..., где e₁ — напряженность поля заряда q₁ и т. д. Тогда мож­но записать, используя формулу (1.24): Edl=(Е₁+Е₂+...)dl=Е₁dl+ Е₂dl+...= –dφ₁–dφ₂–…= –dφ, где φ=Σφ, т. е. принцип суперпозиции оказывается справед­ливым и для потенциала. Таким образом, потенциал системы неподвижных точечных зарядовr_i — расстояние от точечного заряда q_i до интересующей нас точки поля. Если заряды, образующие систему, распределены непрерыв­но, то считаем, что каждый элементарный объем dV содержит «точечный» заряд ρdV, где ρ — объемная плотность заряда в месте нахождения объема dV. С учетом это­го формуле (1.26) можно придать иной вид:Если заряды распо­ложены только на поверхности S, тогде σ — поверхностная плотность заряда; dS — элемент поверх­ности S.

Связь между потенциалом и вектором Е. Пусть перемещение dl параллельно оси X, тогда dl = i dx, где i — орт оси X, dх — приращение координаты х, Е dl = Е i dx = Е_х dx, где Е_х — проекция вектора Е на орт i (а не на перемещение dl). Сопоставив последнее выражение с формулой (1.24), получим E_x= –∂φ/–∂x (1.29) Рассуждая аналогично, можно получить соответствующие выражения для проекций Е_у и E_z. А определив Е_х, Е_у, Е_г, легко найти и сам вектор Е:

Эквипотенциальные поверхности — поверхности, во всех точках ко­торых потенциал φ имеет одно и то же значение. Вектор Е направлен в каждой точке по нормали к эк­випотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенци­ала φ. Вектор Е на­правлен в сторону уменьшения φ, или в сторону, противопо­ложную вектору φ.