книги из ГПНТБ / Динамика полета и конструкция крылатых летательных аппаратов

где VXi, Vy^, VXi и V — суть проекции скорости центра тяжести

/Таким образом, при исследовании движения центра тяжести КЛА в самом общем случае надо решить систему дифферен­ циальных уравнений (1.19) с учетом формул (1.12), (1.20), (1.21) и уравнений моментов, определяющих изменение углов ф, 1) и у.

Для исследования вращения КЛА и, следовательно, для опре­ деления углов ф, 9 и у используются динамические уравнения Эйлера

(1.24)

200

Проекции угловых скоростей, входящие в уравнения (1.24), равны:

Шд. = 7 + ф sin ft + 9 sin ф cos &+ ( S + X) X

X [cos <p cos ф cos ft + sin ? sin ft]

вращением Земли и движением КЛА относительно нее. Послед­

однородным и пренебрегая вращением Земли, в векторной фор­

201

где п — вектор перегрузки,

g- — вектор ускорения силы тяжести в данном месте про­ странства.

Используя правило локальной производной, известное из курса математики, и проектируя векторное уравнение на связан­ ные оси (фиг. 1.23), получим

m

dV-■1 _ 0. dt

Подставляя эти выражения в систему (1.27) и учитывая проекции угловой скорости (1.26),- для исследования движения центра тяжести получим следующую систему уравнений:

cos а. — ~ V sin а + ( — ф cos &sin y+

+ & cos y) У sin а = g (tt.vj — sin Ь )

+&cos f ) У cos a = g (nVi — cos &cos т)

-( т + Ф sin &) V sin a — (ij> cos &cos y+ &sin y) X X V cos a = g (/i* -f cos &sin y )

Пользуясь таблицами направляющих косинусов 1.1 и 1.3, найдем выражение для sin в в зависимости от принятых углов,

т. е. .

sin 0 = cos a cos psin &—sin a cos p cos &cos Yo— sin j3 cos & sin Yo- (1-31)

Уравнения для исследования вращения КЛА, т. е. уравнения моментов в проекциях на связанные оси, будут иметь точно та­ кой же вид, что и уравнения (1.24). В этом случае угловые скорости следует определять по формулам (1.26).

203

правой системе координат (фиг. 1.24).

Ч

Путевой угол.4л0 (угол между осью Ос, связанной с Землей,

—>■

и проекцией вектора скорости Vn на горизонтальную плоскость)

втаблицах 1.4 и 1.5.

Втаблице 1.5 приняты следующие обозначения:

204

Т„ — угол между проекцией оси Оуп на плоскость симметрии КЛА и вертикальной плоскостью, содержащей связанную ось О хи

— проекция угла (Зл на горизонтальную плоскость.

Связанная система координат

Путевая

Между указанными углами и углами а', р' и j имеют место следующие зависимости:

205

плоскость We в направлении вектора воздушной скорости V, по вертикали W, и боковой составляющей W%, т. е.

Vn— Y~[ V cos р cos (а — а(|) -j- Wt, sin 0Л We cos 0„]2 + W,2. (1.40)

Наконец, связь между углами р„ и р, ап и а может быть пред­ ставлена в следующем виде:

Для составления уравнений движения предварительно опре­ делим суммы проекций сил, действующих на КЛА (за исключе­ нием силы веса), на связанные оси. Соответственно, проектируя силы Р, У и Q на связанные оси, имеем:

на ось Охг

Р cos <?д + У sin <х— Q cos a cos р

Теперь, пользуясь таблицами направляющих косинусов и со­ отношениями (1.43), уравнения движения центра тяжести КЛА в путевой системе координат можно записать в следующем виде:

G d V n = [Р cos ®d + Y sin a — Q cos P cos a] COS a„ cos. (3„ — g dt

206

X[sin a' cos p' sin 7„ — cos &sin Pni cos 7Л] + [P sin cpa + Кcos a +

+ Q cos p sin a] X [sin &sin pni cos 7„ -f cos a„ sin 7J + Z ycos pnJ cos y„.

(1.46)

Кроме того, имеет место известная кинематическая связь:

(1.47)

В случае движения КЛА в спокойной атмосфере изуравне­ ний (1.44)—(1.46) легко получить уравнениядвижения в полусвязанной системе координат. В этой системе начало координат также лежит в центре тяжести КЛА, ось Ох’ направляется по

вектору воздушной скорости V, ось Oz' лежит в горизонтальной плоскости (направлена в сторону правого полуразмаха крыла), а ось Оу' — в вертикальной плоскости. Чтобы получить уравне­ ния движения в полусвязанной системе координат в уравне­ ниях (1.44) — (1.46) достаточно положить:

г). Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я д в и ж е н и я КЛА в в е р т и к а л ь н о й п л о с к о с т и в п о т о ч н о й с и с т е м е ко ­ о р д и н а т с у ч е т о м к р и в и з н ы з е м н о й п о в е р х н о с т и . В динамике полета изучение движения КЛА в вертикальной плоскости без скольжения с учетом кривизны земной поверхно­ сти является весьма важной задачей. В этом случае движение КЛА определяется двумя уравнениями движения центра тяже­ сти и одним уравнением моментов.

207

Напишем уравнения движения центра тяжести КЛА в поточ­ ной системе координат, т. е. в проекциях на нормаль и напра­ вление скорости (фиг. 1.25):

— первая космическая скорость.

V 1

Слагаемое G cosO-r^— , входя- v\нос

щее в правую часть последнего

ная от центра Земли, разгружает вес летательного аппарата. Следо­ вательно, в этом случае для урав­ новешивания веса требуется мень­ шее значение подъемной силы.

Действительно, если принять по малости углов

sin (<* + %„) = О

и считать движение происходящим по дуге окружности боль­ шого радиуса (0= 0), то из (1.40) получим

208

т. е. подъемная сила КЛА, потребная для обеспечения дви­ жения по дуге большого круга, должна быть меньше веса.

Рассмотрим, как велико значение этого факта при вычисле­ нии потребной подъемной силы. Для примера возьмем КЛА ве­ сом 0 = 5000 кг и обладающий скоростью V —5000 Mjcen. Тогда с учетом кривизны Земли потребная подъемная сила

т. е. меньше веса на 2000 кг.

Таким образом, для исследования движения КЛА в верти­ кальной плоскости с учетом кривизны Земли получаем следую­ щую систему уравнений:

Угол <р, входящий в-уравнение, моментов системы (1.41), обу­ словлен вращением КЛА при его движении относительно Земли из-за кривизны земной поверхности.

§1.5. ПОНЯТИЕ О ПРОГРАММЕ ДВИЖЕНИЯ. СПОСОБЫ УПРАВЛЕНИЯ БЕСПИЛОТНЫМИ КРЫЛАТЫМИ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ АППАРАТАМИ

Основные положения, связанные с программированием дви­ жения, удобнее всего проанализировать на базе дифференциаль­ ных уравнений движения КЛА.

Для того чтобы суждения были более конкретными, рассмот­ рим дифференциальные уравнения движения КЛА в земной сфе­ рической системе координат и будем считать, что двигатель жестко установлен на КЛА (<pae=const) и его характеристики в зависимости от скорости и высоты полета заданы. Относитель­ но органов управления будем предполагать, что КЛА снабжен аэродинамическими или газовыми рулями, обеспечивающими вращение аппарата относительно трех связанных осей О хи Оуг

и OZy.

Выше было отмечено, что для определения закона движения центра тяжести и вращения КЛА необходимо совместно решать