книги из ГПНТБ / Оптико-электронные приборы сборник статей

J __ idv’ b

--= 0.

д <?г

\ д Ув

или

sin©,. [2 sin2 ©„ cos2 ©,. — (1 — sin2?Bsinaar)| (1

-

sin2 ©в Чп- <fr)-2 =

0.(7

Из (7) видно, что экстремумы

исследуемой

функции

при <рв =

= const имеются в точках <р, = 0 и ф,.= arccosctgcp„ для

<фв<

—

_

фи = const

0ф г

и ---- 2- < (Рв< —Эр

[1 р и

и

функция

имеет

экстремум—минимум, равный единице,

а

при срг= arccosctgсрв и

~

<

| срв | <

---- максимум,

равный

j

sip 2P ;

■ График

функ-

. ции

др —при (pB= const

представлен на рис. 2, б для

~

<

|»Bj<-sr

и

на рис. 2, в для 0

|фв[<

- j - . Для последнего интервала

рас­

сматриваемая

функция

имеет один

экстремум -максимум

при

Ф,.= 0.

Проведенное исследование позволяет сделать вывод, что вели-

чина

д 9 н*

при

фв = фВтах

и

<рг =

—т— имеет максимальное значение

о гв

т

т

1

1

1

= arccosctg фв max (при

| ©„ j

ф

,

• а

<

равное I

sfn2(P7^ 7'i

в

интервалах

0 <

| »„| < -Г- и

0^jcpr j

< -j-

— максимальное

значение, равное единице.

Исследуем законы изменения функции

(ф„, фг). Экстрему­

мы ее определяются из

уравнений:

пли

— sin ©вcos ©„cos»,. (1 -f- sin2©r sin2©e)(l — sin2©„ sin2 ©,.) 2 =

0

sin ?r _ 2 cos 2 qj,, (1 _ sin2 <pBsin2 ©r) 4-2 siils oBsin 9„ sin2 9r cos 9 Ю

^

2

(1 — sin2 a „.sin2 9,)2

Из первого уравнения

имеем

cos ©,. = 0

| при ©,.:

из второго

cos3 ©г = ctg2 ©„ .

( 8)

6 лист

81

Согласно (6)

функция

относительно фв и <рг

нечетная.

Функция

[фв'(фг)] имеет экстремум—максимум при

Фп<0 в точке

фг=

равный —1дфв (рис. 3, а),

функция

[фвЧфв)] — экстремум

(максимум) при фг>0 в точке фв —

= arcctgcos фг, равный

-^ёф г (Рис- 3,6). Этот экстремум лежит

в интервале-jp <

|?в| <

-т>- ■

чение

(----^ ёф г )

при | фг | = фстак И фв= ЭTCctgCOS фг max ИЛИ При

[ Фг | =

ф г т а х И фв =

фпта>С'

максимальное значение величины

Фв'

будет в вершинах этого

6*

83

произвольными значениями фвтах и фгmax, величина

—— имеет

?в

максимальное

значение при | фг / = ф г т ах

или jq>BJ = ф в т ах-

,,

максимальные значения

д фв'

д ов'

.

Ьсли оы

— и —н—

(на кривой

cos фг —clg ф в )

о

Т В

а г г

находились в одинаковых сечениях (только при фг =

ствовала бы максимальному значению

¥8 . Так как экстрему­

9в

I Тв i Ритах ИЛИ \'?г \

= '-ргтах* Сечения

функции

= const и ф .в= const

представлены на

9в !

рис. 5.

будет максимальным

значением

функции

Фв

Фв

Экстремум

при cpB= const

определяется из уравнения

_д__/ Д9а'

€

д?в' \ =

0,

о "^р^- у д'yq

о 9г /

или

sin ©r (cos3 <рв — sin3 <sBcos2 ®r) — | — с | sin ®в cos ®„ cos *r х

X (1 + sin2 фв sin2 ®r) = 0.

(9)

В последнем уравнении углы ф „

и ср,- больше нуля,

так как ис­

следуемая функция

четная.

и приведем

(9)

к

кубическому

Теперь обозначим ! —с J = с0

уравнению относительно tgcpr:

tg;,<pc — c0tg©B(l -I- s in ^ .tg 2®,. +

(1 — tg2 »B) tg®r

c0tg®„ = 0. (10)

_<>_/ ду /

d W

дфв \

<?ф8

Со•

д

или

cos- <р„ — cos- ©r sin - ®в

sin tpr cos ®r sin ©„ cos ©„ = 0 . (11)

Решая (И ),

получаем

t g ?

B 3K C T P =

L0

t g ® r

+

Y

1 - f

( 1 +

-Ji) t g * ? r -

r

\

Ч) у

ное значение

Фв

находится при фв = ф тах

И фг = ф гтах-

_?в_

= 1,620 при фв =

ф в т а х = 60э Иф г пкстр« 67°51'

ДЛЯ С0 = - я г , ГфП

Фв

тех же условиях для

с0= 1 величина шах i

= 2,183.

' Фв

<?2ф'в

— — 2cos fr Sin

cos Эв

sin2 <?,.

дфв2

(1 —sin2 <p„ sin2 9r)‘-

aV B

sin »r 1—sin2 9в(1 г cos2 -fr)

d Фвй 9r

(1 — sin2 Фв sin2-T-r)2

•V - ( - ^ + с - i a O i , + {

+

*

аг<рв'

+

\ <?Ф„

д<?г

/

'

V

О?,,2

'

д<р„ дер

/ ‘ "

0 9 „

,,2

52 Фи'

Ф„

о /

дфв'

| с

d’in

| Фв 1+ Фв2

д- 9»'

С

------

-<

д^8

^Фг

д?п2

Йфг2

+ 2®в21с | •

<Э2?'„

+

2 ,л 2

|?*?/

д<рв д<рг

С2?в

<Эфг2

Исследование выражения

(12)

в общем виде весьма громоздко,

поэтому приближенно оценим величину фв'-

Производную

t

можно представить в

виде

0

Ф в

__ / Д ф в '

о :

д ф„'

3 Ф в ' ^

д 2 ф в '

<5фв '

j 2 sin ер,- ~ !

-ч

<?Фв2

\

<?~В

Й ф г

!

д ф в

<?Ф г

< 2

2

- • 0 . 9 9

^ 3 = 3 , 9 6 .

а-

(

* 9 » '

д Фв \ д ф в й ф г ) “ 0

и

^

(

(J2 ф ,/

< Д в <1 Ф г

д фг

\

max-1 д2ь<' _

1.08512

= 1 , 8 0 7 5 .

р ф и д<рг

0,9564-0,08514

Для величины

д2<Р|/

имеем

д у \

!<529 /

<

1-75-

cos фг sin -f„ cos <?„

I

(1 — sin'- o„sin2 щг;-

Максимальное

значение

cos <?r sin <p„ cos

равное 6 j^ 3 cos2? B

(1

- sin2

-fB sin2 <pr):

будет при ф„—const и sin2cp,.= —

——

. Следовательно, для

Фн =

д?н

д<Р«

<3?г

где

с)<р„ _

cosy,,_________

ду,.

1 — sin2 9 „ sin2-fr

д 9 „

_

sin фв sin фг cos yr .

dy,,

1 — sin2 9 „sin2 9 ,.

<Pr

C —

9b

Проведенный анализ

функции Ф,/ позволяет без дополнитель-

ных исследовании построить

.

,

о б

^ 9н

ПРИ

графики

функции

ф в = const И фг= const (рис.

6).

На рис. 7 представлены графики функции

при (fB= const

н фг= const.

Величина -1 ? _ =

- (ф в, фг ) , очевидно, экстремума не нмеет и

9в

9в

Экстремум функции

при фг= const определяется из урав ­

св

д

(

sin фв s in

9 Г cos ч>г + Со cos 9 „

0.

<?ФВ

\

1 —

=

s in 2 ф„ s in s,f r

Рис.

7.

Графики изменения ф¥нкции

5ф„

а —

при ф в = co n s t; 6 — грг = const.

где с0= г|, а экстремум функции -г51-

при (pB= const — из уравие-

ния

9в

д

s in ф в s in фг co s 9Т 4 -

с 0 cos »в

= 0

йфг

1 — s in 2 ев s in 3 а г

или