книги из ГПНТБ / Оптико-электронные приборы сборник статей

постоянной и* выбиралась такой, чтобы фотосопротивление работа­ ло в линейной части световой характеристики. Эксперименталь­ ные зависимости Н1ШХр' =/ (р) представлены в табл. 2. По данным табл. 2 также построены графики (см. штриховые кривые на рис. 3).

Рис. 4. Схема установки для экспериментальной проверки U' цЫХр =

=/(Р>:

/ — лампа, 2 — диск с прорезями, 3 — мотор; 4 — фотосопротивление; 5 — объектив; 6 — диафрагма; 7 — усилительный блок.

Таблица 2

U ВЫХр

ВЫВОДЫ

1.При развороте оптической системы относительно неподвиж­

ного фотосопротивления величина выходного сигнала и чувстви-

УДК'681.41 :517.512.2.

Инж. Б. Ф. ПЕТИН

О ПРИМЕНЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ В ОПТИКЕ

В последние годы в отечественной [1] и, главным образом, в иностранной [2] литературе все больше уделяется внимания приме­ нению теории преобразований Фурье при решении ряда вопросов работы оптических приборов. Использование преобразования Фурье позволяет расширить математический аппарат при оценке качества изображения, даваемого оптической системой, внести но­ вые критерии и методы исследования оптических систем с анали­ зирующими элементами. Для таких систем вопрос о том, как они трансформируют функцию распределения освещенности в прост­ ранстве предметов в функцию распределения освещенности в про­ странстве изображения, является особенно важным и актуаль­ ным. Решение его позволит правильно и технически обоснованно подойти к конструированию новых систем и выбрать метод анализа лучистого потока от объекта при обеспечении минимальных потерь информации и максимальной помехозащищенности фотоэлектри­ ческого датчика.

Решение вопроса сводится к составлению формулы, в которую вошли бы функция распределения освещенности или светимости в предметной плоскости, функция распределения освещенности в плоскости изображения или анализа (в большинстве случаев эти плоскости совмещены) и параметры оптической системы.

Для составления такой формулы изображаемый объект необ­ ходимо'рассматривать как совокупность элементарных объектов. При этом находятся изображения элементарных составляющих объекта, даваемых исследуемой оптической системой. Освещен­ ность в произвольной точке плоскости изображения определяется путем суммирования освещенностей, создаваемых в этой точке все­ ми элементарными составляющими объекта. Очевидно, что такое представление предмета и его изображения законно и целесооб­ разно только при выполнении следующих условий:

совокупность элементарных объектов эквивалентна рассматри­ ваемому предмету;

53

оптическая система линейна с точки зрения преобразования координат;

составляющие объекта выбраны из условия сравнительно про­ стого нахождения распределения освещенности в их изображении.

В практике расчетов имеются два способа представления слож­ ных объектов в виде совокупности элементарных составляющих, а следовательно, и два метода нахождения функции распределения освещенности в плоскости изображения. Первый способ состоит в том, что объект рассматривается как совокупность точек, линий, полуплоскостей и т. д., а изображение — как сумма изображений этих составляющих. При втором способе объект представляется как сумма объектов той же формы и размеров, но яркость или освещенность которых изменяется по синусоидальному закону, причем синусоидальные составляющие различаются по амплитуде, пространственной частоте и фазе.

Для данной оптической системы функция освещенности в плос­ кости изображения определяется распределением освещенности в предметной плоскости однозначно и не зависит от способа вычис­ ления [1]. Оба способа представления объекта одинаково законны, так как приводят к одним и тем же результатам. Для оценки опти­ ческих систем более целесообразным и наглядным является вто­ рой способ, так как он допускает одинаковый подход к оценке как системы в целом, так и отдельных ее элементов-

Объективы систем обнаружения и сопровождения объектов об­ разуют двухразмерное изображение пространства предметов. Это изображение в первом приближении линейно относительно пространства предметов, если только эта линейность не нарушена

специально и если не принимать во внимание дифракционных яв­ лений и аберраций.

54

Точка в пространстве предметов с координатами х\, у\ будет иметь в плоскости изображения сопряженную с ней точку с коор­ динатами т]1 и еь Связь между координатами этих точек опреде­ ляется формулой

для случая, когда L > Ю/об', т. е. при бесконечно удаленном объек­ те и его изображении; здесь и на рис. 1 обозначено:

L — расстояние до плоскости объекта, в которой рассматри­ вается функция освещенности;

/об/ — фокусное расстояние объектива оптической системы. Величина f0§'IL=Kk является передаточным коэффициентом опти­ ческой системы по трансформации координат точек предметной плоскости.

Если не учитывать дифракционных явлений аберраций, наблю­ дающихся в реальных оптических системах, то будет происходить линейная деформация функции освещенности в пространстве пред­ метов b (ху) в функцию е (т]е) по координатам точек объекта.

Действие оптической системы в этом случае можно представить как действие линейного элемента с коэффициентом К к- В реальных системах Kk =f (er|). Значение функции K k —f (erj) для реальных

Рис. 2 . К определению лучистого потока.

систем можно получить экспериментально. Аналитическая зависи­ мость К к от параметров системы и ее аберраций еще не найдена.

Входной величиной для оптической системы является поток лу­ чистой энергии, входящий в систему и представляющий собой сум­ му элементарных потоков, которые доходят от различных точек пространства предметов.

Полный световой поток от элемента dS (рис. 2) через входной

зрачок Q1Q2 оптической системы определяется по известной фор­ муле

55

'li=2n u=u0

где В — яркость площадки dS;

Uо — апертурный угол системыДля случая B= const имеем

d F = ~ В sin2 и d S .

Вышедший из системы через выходной зрачок поток

d F' = -S 'sin 2«' dS' ;

здесь и', dS' — апертурный угол и элементарная площадка в про­ странстве изображений предметов.

Яркости падающего В и прошедшего В' пучков связаны соотно­ шением

В' = В ( 1 - Г1) (1 -г,2)... (1 - г к)рхьр,ь .../>*'* ( ^ ) 2,

где ru r2,...,rk — коэффициенты отражения,

.. __ ( nk+i пк \ 2 ;

k\ nk-*-/ +■пк )

р1, Р2 .... рk — коэффициенты поглощения; /ь /2, lk~i — длины пути луча в стекле.

Обозначим коэффициент, характеризующий потери света в опти­ ческой системе на отражение и поглощение, через Кв :

Кв = (1 — г,) (1 — r2) ...(1 — гк) р2‘>рк‘ь

Обычно Кв называют коэффициентом прозрачности системы. По аналогии с К k коэффициент прозрачности оптической системы можно рассматривать как ее передаточный коэффициент по яр­ кости.

Для объекта, расположенного на конечном расстоянии от опти­ ческой системы, освещенность изображения

56

\

Обозначим

Коэффициент К t: приобретает физический смысл коэффициента

Причем формулы (2) и (3) справедливы только для центральной точки изображения.

Освещенность изображения внеосевых точек предметов с оди­ наковой яркостью определяется по формуле

£и ' = Е0' cos4 <в,

где Еа' — освещенность в центральной точке изображения; со — угол, образуемый главным лучом точки, в которой опре­

деляется освещенность.

Таким образом, распределение освещенности в плоскости изо­ бражения оптической системы без учета дифракции и аберраций определяется освещенностью предмета и коэффициентами Kk, К е оптической системы.

В действительности даже идеальная оптическая система из-за дифракции изображает точечный источник, находящийся в беско­ нечности, в виде кружка конечных размеров, в котором распреде­ ление яркости подчиняется следующим законам (1):

. для безаберрационных объективов с прямоугольным отверстием

плоскости, в которой определяется освещенность; /. — длина волны света;

/— фокусное расстояние объектива;

Л(>"') — функция Бесселя 1-го рода первого порядка.

57

Связь координат точки, выраженных в оптических единицах, с координатами этой же точки, выраженных в единицах длины, опре­ деляется зависимостями:

где D — диаметр выходного зрачка объектива.

В некоторых случаях необходимо знать функцию распределения

Функции (5) и (6) графически показаны на рис. 3. Они мате­ матически описывают реакцию идеальной оптической системы при

Рис. 3. Реакция оптической системы на единичный импульс:

а ■—импульс (точечный источник); б — реакция оптической системы.

передаче функции распределения освещенности точечного и линей­ ного объектов с одинаковой яркостью по длине (рис. 4).

Эти функции дают возможность вычислить распределение осве­ щенности в изображениях предметов простой геометрической фор­ мы. Например, функцию распределения освещенности в изображе-

58

В решении интеграла (7) обычными способами и заключается первый метод вычисления освещенности, т. е. предмет рассматри­ вается как сумма простых элементарных составляющихНо данное уравнение решается значительно проще, если использовать пре­ образования Фурье. Так, преобразование Фурье для обеих частей уравнения (7) имеет вид

0 0 ОО

Е' (е) равно произведению преобразований Фурье функций Е (е) и

В(и):

Ее• (<*>) = Fe («>)Ев (<“) •

Обратное преобразование Фурье этой формулы, дает функцию распределения освещенности в изображении

Из сравнения (7) и (9) видно различие двух методов вычисле­ ния функции распределения освещенности в изображении: при пер­ вом методе операции выполняются с функциями освещенности, при втором — с их преобразованиями Фурье.

<50