книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

260

ГЛ. VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ

Совершая в тождестве (1.37) замену х на X (t

— t0, t0,

X |ф), принимая во внимание тождество

X [s, t, X (t — 10, t0, X I ф), t,

e] =

X (s -f t — 10, t0, л I ф)

и вводя

обозначения

Üt

Ф

X I ф)»

t,

в),

Xf = X. (t

XI ф)>

получаем

t

Уі = ф J U(t,

V, е) Q [хѵ,г/ѵ, ѵ, е] dv,

(1.38)

где

V =

—оо

s -f- /.

к уравнению

8 ^df = А (Xt>о Уі + Q

у,, t, е).

(1.39)

Поскольку по определению X (t — t0, t0, х (яр) представ­

ляет собой решение уравнения

-1 Г = Ф (xt,y„t),

(1.40)

то xt = X (t — t0, t0, X [ф)

и yt — ф (Xf, t,

е) есть решение

системы (1.12), которое при t = t0 сводится к х,

ф (х0, /0, е).

Принимая во внимание

подстановку

(1.11), получаем

интегральное многообразие системы (1.1).

Существование ограниченных и равномерно-непрерыв­

ных производных вектор-функции

г — ф -ф- гр

легко уста­

самое можно сказать

и для случая почти-периодических

и квазипериодических

правых частей системы (1.1).

- § - = /(* ,2 ,0 , е -§ - = Р (* ,2,0 ,

(1.41)

г = ф(х, 0 + ф(х, 0 е).

(1-42)

Задаваясь для системы (1.41) начальными

значениями

тотически стремиться

к многообразию.

Будем рассматривать преобразованную систему урав­

нений (1.12), эквивалентную системе (1.41),

-§ - = Ф (x,y,t),

e - ^ - =

A(x,i)y + Q(x,y,t,e)

(1.43)

с начальными

условиями

х (t0) = х0,

у (t„) =

г (і0) —

— cp (х0, tn) =

2 0 — гп — у0.

Обозначим

решение системы

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Покажем сначала,

что

ес­

ли у0 удовлетворяет условию К\ упI <1 у* С Р, где у* —

достаточно

малое положительное

число, то \yt \ С

у*

для

всех t > t0.

Действительно,

так

как хи yt — решения

си­

стемы (1.43) с начальными условиями xt = х0, yt =

у0

при

1. Основные предположения. Будем

рассматривать

сле­

дующую систему уравнений:

~âr = f(x’ У-

е).

( 2 . 1)

е ~сW = = A { t ' Х^У +

g ( x ’ У<

е ) ’

где X, f — m-векторы, у, g —

п-векторы,

А

(t, х) —

(п

X

X п)-матрица, е — малый положительный параметр. Пусть

относительно системы (2.1) выполняются следующие

пред­

положения.

/ (х,

е),

і, е) определены

и

1°. Функции

у, t,

g

(х, у,

непрерывны в области

x £ D ,

I у \ < р < р 0,

t£R,

е < е 0,

(2.2)

где D — открытая

неограниченная область,

е0, р0 — по­

ложительные постоянные.

s)

2°. В области (2.2) функции / (х, у, t, е) и g (х, у,

t,

удовлетворяют

неравенствам

\f(x, У,

t,

е )|< С 1,

lg-(л:, 0, t,

е)|< ц (е),

(2.3)

где Cj > 0,

а ц (е) ->- 0 при е -> 0.

t, е) удовлетворяют

3°. Функции f

(х,

у, t,

е) и g (х, у,

в области

(2.2)

условиям

Липшица

I f (x', y', t, e) — f (x\

y", t, e) | <

k (| x' — x"\ +

1у ' — у" |),

1

I g {x', y', t,

e) — g ( x 7 ,

y", t,

e)|<Ä,(| х' ~ х " \

+ \ у ' — У" | ) ,

1

где k > 0,

а к = к (г, р) -> 0

(2.4)

при s

-> 0,

р

0.

§ 2. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

265

Re Я* (Л)

< — ах

( і = 1 ,

. . . . г);

Re Кс(А) ,> а 2

(і =

г +

1,

... , п),

[ }

где « і (г = 1,

2) — положительные

постоянные.

2. Теорема о существовании интегрального многообра­

зия системы (2.1).

[6].

Пусть

относительно

системы

Т е о р е м а

2.1

(2.1) выполняются условия

1°—4°.

Тогда можно указать такое положительное число е0 <с

< 8Х, что для всех г <

е0 система (2.1)

имеет т-параметриче-

нием у — ф (х,

/,

е),

где вектор-функция ф (х, /, е)

опреде­

лена для всех

X £ D,

і £ R,

eg Е£о,

непрерывна

по

t и,

кроме

того,

Ж * , t,

e ) |< p ( e ) < Pl,

(2.6)г

I ф (x',

t , e ) ~

яр (х", t,

е) | <

А (е) | х' — х" |,

(2.6)2

где

р (е) -> О,

А (е) -> О

при

е -> 0.

мето­

да

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Воспользуемся схемой

доказательства, изложенного

в

§ 1.

Обозначим

через

С (р,

А) класс

/г-мерных вектор-функций

Y (х, і) **), опре­

деленных в области

x £ D ,

t £ R ,

непрерывных

по ( и

удовлетворяющих

в этой

области

неравенствам

I Y(x,

t) |< р < р 1;

I Y(x',

t) — Y (x", t) | < A | x ' - x " | ,

(2.7)

где p,

px и А — некоторые положительные числа.

Для некоторой

функции

Y (х,

t) £ С (р, А) рассмотрим

уравнение

~ZT~f(x, Y (X,

t),

t, е),

X (t0) = х0.

(2.8)

x{t) =

X{s,t0, x 0\Y),

s = t— t0.

Если

функции Y (х,

і)

и Y' (x', t)

принадлежат

классу

С (р,

А), то, в силу (2.7),

I Y'(x', t) — Y (х,

0 / < Д | * ' — xj + l Y ' — Y\\,

(2.10)

где

Из уравнения

(2.8) следует

t

x' (/) — X (t) = XQ— *0 +

j”{/ {x'(T), Y {X' (T), T),T, e)—

in

— f(x (T), Y {X (T),

T), T, 8)} dx.

Мажорируя правую часть полученного уравнения с уче­

том

неравенств (2.9) и

(2.10),

получаем

неравенство

где

обозначено

11

{0 <

Л W

+ Я.

t

11 (0 = \х’ (0 — x{t)\,

R = k \

[(1 +

А) т](т) +

\\Y' — Y II] dx.

К

В силу

введенных

обозначений

имеем

- ^ - < * ( 1

+

А) [Л (^о) 4- 7?] +

^ I

I

К |

| .

поэтому

_d_{Re-k ( I + Д ) 1) <

[k (1

+

Д) л (g

+ k \ r - Y

Id е~к(І+Л)

Интегрируя это неравенство и принимая во внимание обо­

значения,

получаем окончательно

\х' (0 — *

( 0 = | r

i

(

/

)

<

|

x

o

-

*

o

k

* ( 1 + A , , s |

§ 2. ОБЩИЙ

СЛУЧАЙ

267

Пусть дана однородная

система

E ^ - = A(t,X(t))u.

( 2. 12)

Пусть

/„, /, — единичные матрицы порядков п и г соответ­

ственно, Р =

diag [Iг;

0].

Л е м м а

2.1. Если выполнены условия 4°, то сущест­

вуют такие положительные числа е2,

N,

у (е2 •< е^,

что

для

каждого

положительного значения

е << е2

система

(2.12)

имеет

фундаментальную

матрицу

решений

U (t)

такую,

что матрица

U (t, t0) = U(t) PU~l (Q

при i0< t,

U(t, t0) = U(t)(P — In)U - l {t0)

при

t0> t

удовлетворяет

условию

\U(t, g | < y v e“ Tlsl,

s = t — tQ,

(2.13)

для всех действительных t, s.

лемма следует из теоре­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Эта

мы 3 работы 173]. Действительно,

положив в системе (2.12)

t =

ет,

получим

~

= А{х (ет), ет) и.

(2.14)

х = х(ех),

у — У (л: (ет), ет),

t — гт.

Из условия 4° следуют неравенства:

\А (х(ех), ет) |< с 2;

dt А (X(ет), ет) | <

е | А' (х (t), Y (х (/),

t), t, е) < На­

I U (ет) P U ^ (ет0) | < Ке~

(х- г"),

т >

т0;

IU (ет) (Р - Іп) U- 1(ет0) | < L e ^

™ ,

х <

т0,

§ 2. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

269

(2.17)

получим

| S

K ' - S r | < ~ { ( l +

Д ) | х ' о - х 0 | +

+ \Y

• У I I !

^ - + / г ( 1 + Д > ) I s I ds. (2.21)

Определим теперь р и А как функции параметра е,

так,

чтобы

А(е)->-0 при е->0

р(е)-ѵО,

и чтобы для всех положительных е < е0 <

е2 выполнялись

неравенства:

Ч

—

^

е’ 9(8))Р(£)

ц(е)} < р (е );

^ (1 +

А (е))

»

( 2.22)

+

A(e)i<A (в).

Тогда

получим

I SY I <

р (е),

(2.23)

ISY' - S Y

I <

Д (е)[ 1хо -

*01+

(2.24)

В

частности,

при

Y ’ = Y

имеем

ISY

(х'о, t) — SY (х0, 0 | <A(e)|xö — х0\,

(2.25)

а при л'о = х0

|S T '- S V '|< 7 ^ | L

j.|K '_ v '|.

(2.26)

Согласно

неравенствам (2.24)

и (2.25)

SK £ С (р, А),

а согласно

неравенству (2.26)

отображение 5F

является

Y = SY

(2.27)