
- •Оглавление
- •1. Модели и системы 9
- •2. Технология моделирования 20
- •3. Непрерывные детерминированные модели 36
- •4. Модели массового обслуживания 66
- •5. Дискретные модели 98
- •Предисловие
- •Модели и системы
- •Физические и математические модели
- •Моделирование: системный подход
- •Общая модель функционирования
- •Технология моделирования Построение моделей
- •Содержательное описание системы
- •Концептуальное моделирование
- •Построение математических моделей
- •Истинность моделей
- •Непрерывные детерминированные модели Непрерывные модели динамических систем
- •Задачи анализа непрерывных систем
- •Основные определения
- •Построение фазовых портретов
- •Устойчивость точек равновесия
- •Линейные системы
- •Стационарное решение
- •Общее решение
- •Двумерные канонические системы
- •Простые канонические системы
- •Фазовые портреты простых канонических систем
- •Фазовый портрет простой линейной системы
- •Качественная эквивалентность
- •Непростые канонические системы
- •Нелинейные системы Глобальные и локальные фазовые портреты
- •Линеаризация нелинейных систем
- •Предельные циклы
- •Модели массового обслуживания Основные понятия. Терминология
- •Потоки событий
- •Пуассоновский поток событий
- •Распределение событий на малом интервале времени
- •Распределение событий в пуассоновском потоке
- •Распределение интервалов между событиями
- •Законы обслуживания
- •Марковские смо
- •Марковские цепи
- •Матрица перехода для пуассоновского потока заявок
- •Одноканальная смо с ожиданием
- •Многоканальная смо с ожиданием
- •Смо с отказами
- •Многоканальные смо с взаимопомощью
- •Замкнутые системы
- •Дискретные модели Конечные автоматы
- •Вероятностные автоматы
- •Сети Петри
- •Ординарные сети Петри
- •Библиографический список
Общая модель функционирования
Формализация общей схемы процесса функционирования систем основана на следующих положениях [5]:
система функционирует во времени, взаимодействуя с внешней средой, и в каждый момент времени находится в одном из возможных состояний;
на вход системы могут поступать входныесигналы;
система способна выдавать выходныесигналы;
состояниесистемы в данный момент времени определяется предыдущими состояниями и входными сигналами, поступившими в данный момент времени и ранее;
выходнойсигнал в данный момент времени определяется состоянием системы и входными сигналами, относящимися к данному и предшествующим моментам времени.
Дадим формальную интерпретацию каждому из упомянутых положений.
A)Множество
моментов времени, в котором
рассматривается функционирование
системы, обозначим.
Множество
в общем случае является подмножеством
множества действительных чисел и может
быть непрерывным, дискретным (конечным
или счетным) или дискретно-непрерывным.
К системам, функционирующим в дискретном
времени, обычно относятся конечные
автоматы, вычислительные устройства,
ЭВМ. К системам, функционирующим в
непрерывном времени, относятся
электрические схемы, системы автоматического
управления непрерывными объектами,
механические системы.
В ряде случаев функционирование систем носит дискретно-непрерывный характер, что характерно для иерархических систем управления технологическими процессами: на нижних уровнях управление может рассматриваться в непрерывном времени, а на более высоких уровнях - в дискретном. Процесс функционирования систем во времени рассматривается как процесс перехода системы из состояния в состояние. Возможны различные способы определения состояний. Рассмотрим некоторые из них.
B)Состояние системыопределяется как совокупность состояний элементов системы.
Если элементы системы
могут находиться в двух состояниях,
то система, составленная изэлементов, может находиться в одном из
состояний. Так определяется состояние
дискретных автоматов в вычислительной
технике, сложных систем при анализе
надежностных характеристик и др. Таким
образом,
где множество состояний системы
дискретно,
- вектор, определяющий состояние системы.
Состояние системы
может характеризоваться некоторым
неотрицательным числом.
Так определяется состояние при анализе
сложных информационных систем с одной
фазой обслуживания. В этом случае
-
число задач, запросов, находящихся в
системе (на обслуживании или в очереди).
Случаем, обобщающим
предыдущий, является вариант, когда
состояние системы описывается набором
целыхнеотрицательных чисел:
,где
- число требований в
-
й фазе;
-
число фаз. Подобный подход к определению
состояния используется при описании
динамики многофазных, многоэтапных
систем типа телеавтоматических систем
массового обслуживания.
Состояние системы
может определяться набором действительныхчисел. Например, положение самолета в
данный момент времени можно описать
вектором фазовых координат,
где
-
наклонная дальность,
-
азимут,
-
угол места.
В общем случае,
охватывающем все рассмотренные варианты,
будем считать, что состояние
рассматриваемой системыописывается набором характеристик
,
,
где
- заданные множества, а множество всех
возможных состояний определяется как
прямое произведение множеств
:
.
Множество
обычно называютпространством состояний
системы. В общем случае состояние
в момент времени
есть точка пространства состояний
с координатами
.
C)На вход системы
могут поступатьвходные сигналы,
где
- множество входных сигналов. Входной
сигнал, поступающий в систему в момент
,
обозначим
.
В общем случае входной сигнал описывается
набором характеристик
,
где
- заданные дискретные или непрерывные
множества. Прямое произведение вида
будем называтьпространством входных
сигналов, в котором входной сигнал
будет представлять собой точку
пространства
,
описываемую координатами
.
D)Система способна
выдаватьвыходные сигналы,
где
- множество выходных сигналов. Выходной
сигнал, выдаваемый системой в момент
,
обозначим
.
Если выходной сигнал
описывается набором характеристик
,
таких, что
,
а
- заданные множества, то прямое произведение
будем называтьпространством выходных
сигналов
.
Для определения
поведения системы через введенные
понятия множества состояний, множеств
входных и выходных сигналов необходимо
ввести соотношения, позволяющие
определить состояние системы и ее
выходной сигнал в заданный момент
времени
,
если известны состояния системы и
входные сигналы в моменты времени,
предшествующие моменту
.
Различают два больших класса систем: стохастическиеидетерминированные.
Динамика для
детерминированныхсистем будет
считаться заданной, если указаны оператор
переходови оператор выходов
.
Оператор переходовопределяет динамику переходов системы
из состояния в состояние:
,
где
- начальное состояние,
,
.
Совокупность упорядоченных пар
для всех
,
где
определяется заданным движением
,
называетсяфазовой траекторией системы
в пространстве состояний.
Оператор выходов
системы
описывает динамику выходных сигналов:
.
Для задания динамики стохастических систем обычно вводят понятиеслучайного оператора, так как функционирование подобных систем происходит при наличии случайных факторов.
Пусть
- пространство элементарных случайных
событий с вероятностной мерой
,
где
- случайное элементарное событие. Тогда
операторы переходов и выходов
стохастической системы можно задать
в виде случайных операторов:
,
,
где
,
,
- случайные элементарные события, которые
независимо выбираются из
в соответствии с вероятностными мерами
,
,
.
При этом, если
и
фиксированы, то стохастическая система
называется системой сослучайными
начальными состояниями; если
и
фиксированы, то стохастическая система
является системой сослучайными
переходами; если
и
фиксированы, то стохастическая система
называется системой сослучайными
выходами.
В силу наличия случайных
факторов в системе, динамику стохастической
системы в пространстве состояний можно
описывать поведением случайного
процессас областью значений во множестве
состояний системы
.
Для систем, которые
отличаются значительным числом элементов,
разнородным составом, различным
характером взаимодействия, построение
общей модели функционирования в виде
единых операторов
и
оказывается затруднительным. В этом
случае основной метод построения моделей
функционирования состоит в функциональной
декомпозиции системы, которая требует
раскрытия структуры системы (состава
элементов, функций элементов и их
взаимодействия). Причем в большинстве
случаев модель функционирования носит
иерархический характер.
Составной характер
моделей систем большой размерности
обусловливает потребность в специальных
способах их описания. Модель сложной
системыпредставляется в виде тройки,
где
-
множество элементов, в число которых
включается и внешняя среда;
-
множество допустимых связей между
элементами (структура модели);
-
множество рассматриваемых моментов
времени.
Эти понятия могут быть
формализованы разными способами, однако
их содержательный смысл остается
неизменным. В качестве
обычно выбираются непрерывные множества
или
,
,
или счетное множество вида
или
,
где
-фиксировано.
В каждый момент времени
в
множестве
выделяется конечное подмножество
элементов, из которых в этот момент
состоит модель, а в множестве
-
подмножество
,
указывающее, какие именно связи
реализованы в момент
.
Следовательно, допускается как
переменность состава, так и переменность
структуры модели.
Модели элементов сложных систем удобно разделить на две категории: внешниеивнутренние. Названия эти условны и имеют следующий смысл.
Внутренниемодели строят на основе законов и закономерностей, выявленных фундаментальными науками: физикой, химией, механикой, электротехникой и другими. Характерным для внутренних моделей является описание механизмов, управляющих изменением состояний исследуемых объектов, которое базируется на системе уже выявленных и экспериментально подтвержденных закономерностей. Примерами могут служить модели, описываемые дифференциальными уравнениями или марковскими процессами.
Вследствие недостатка знаний о функционировании элемента или из-за необходимости понизить размерность модели, а также по другим причинам часто используют модели типа «вход - выход» или «стимул - реакция». При этом не интересуются динамикой состояний элементов, а лишь описывают их внешнее поведение. Примерами моделей подобного типа служат различные регрессионные модели, поверхности отклика, функциональные зависимости и т.п. Такие модели называются внешними или моделями типа «черный ящик».
Наконец следует отметить, что модели сложных систем редко поддаются аналитическим методам исследования. Поэтому их анализ в основном осуществляется методами моделирования на ЭВМ.