Общая модель функционирования

Формализация общей схемы процесса функционирования систем основана на следующих положениях [5]:

• система функционирует во времени, взаимодействуя с внешней средой, и в каждый момент времени находится в одном из возможных состояний;

• на вход системы могут поступать входныесигналы;

• система способна выдавать выходныесигналы;

• состояниесистемы в данный момент времени определяется предыдущими состояниями и входными сигналами, поступившими в данный момент времени и ранее;

• выходнойсигнал в данный момент времени определяется состоянием системы и входными сигналами, относящимися к данному и предшествующим моментам времени.

Дадим формальную интерпретацию каждому из упомянутых положений.

A)Множество моментов времени, в котором рассматривается функционирование системы, обозначим. Множествов общем случае является подмножеством множества действительных чисел и может быть непрерывным, дискретным (конечным или счетным) или дискретно-непрерывным. К системам, функционирующим в дискретном времени, обычно относятся конечные автоматы, вычислительные устройства, ЭВМ. К системам, функционирующим в непрерывном времени, относятся электрические схемы, системы автоматического управления непрерывными объектами, механические системы.

В ряде случаев функционирование систем носит дискретно-непрерывный характер, что характерно для иерархических систем управления технологическими процессами: на нижних уровнях управление может рассматриваться в непрерывном времени, а на более высоких уровнях - в дискретном. Процесс функционирования систем во времени рассматривается как процесс перехода системы из состояния в состояние. Возможны различные способы определения состояний. Рассмотрим некоторые из них.

B)Состояние системыопределяется как совокупность состояний элементов системы.

Если элементы системы могут находиться в двух состояниях, то система, составленная изэлементов, может находиться в одном изсостояний. Так определяется состояние дискретных автоматов в вычислительной технике, сложных систем при анализе надежностных характеристик и др. Таким образом,где множество состояний системыдискретно,- вектор, определяющий состояние системы.

Состояние системы может характеризоваться некоторым неотрицательным числом. Так определяется состояние при анализе сложных информационных систем с одной фазой обслуживания. В этом случае- число задач, запросов, находящихся в системе (на обслуживании или в очереди).

Случаем, обобщающим предыдущий, является вариант, когда состояние системы описывается набором целыхнеотрицательных чисел: ,где- число требований в- й фазе;- число фаз. Подобный подход к определению состояния используется при описании динамики многофазных, многоэтапных систем типа телеавтоматических систем массового обслуживания.

Состояние системы может определяться набором действительныхчисел. Например, положение самолета в данный момент времени можно описать вектором фазовых координат, где- наклонная дальность,- азимут,- угол места.

В общем случае, охватывающем все рассмотренные варианты, будем считать, что состояние рассматриваемой системыописывается набором характеристик,, где- заданные множества, а множество всех возможных состояний определяется как прямое произведение множеств:

.

Множество обычно называютпространством состояний системы. В общем случае состояниев момент времениесть точка пространства состоянийс координатами.

C)На вход системы могут поступатьвходные сигналы, где- множество входных сигналов. Входной сигнал, поступающий в систему в момент, обозначим. В общем случае входной сигнал описывается набором характеристик, где- заданные дискретные или непрерывные множества. Прямое произведение видабудем называтьпространством входных сигналов, в котором входной сигналбудет представлять собой точку пространства, описываемую координатами.

D)Система способна выдаватьвыходные сигналы, где- множество выходных сигналов. Выходной сигнал, выдаваемый системой в момент, обозначим. Если выходной сигналописывается набором характеристик, таких, что, а- заданные множества, то прямое произведениебудем называтьпространством выходных сигналов.

Для определения поведения системы через введенные понятия множества состояний, множеств входных и выходных сигналов необходимо ввести соотношения, позволяющие определить состояние системы и ее выходной сигнал в заданный момент времени , если известны состояния системы и входные сигналы в моменты времени, предшествующие моменту.

Различают два больших класса систем: стохастическиеидетерминированные.

Динамика для детерминированныхсистем будет считаться заданной, если указаны оператор переходови оператор выходов.

Оператор переходовопределяет динамику переходов системы из состояния в состояние:

,

где - начальное состояние,,. Совокупность упорядоченных пардля всех, гдеопределяется заданным движением, называетсяфазовой траекторией системы в пространстве состояний.

Оператор выходов системы описывает динамику выходных сигналов:

.

Для задания динамики стохастических систем обычно вводят понятиеслучайного оператора, так как функционирование подобных систем происходит при наличии случайных факторов.

Пусть - пространство элементарных случайных событий с вероятностной мерой, где- случайное элементарное событие. Тогда операторы переходов и выходов стохастической системы можно задать в виде случайных операторов:

,

,

где ,,- случайные элементарные события, которые независимо выбираются изв соответствии с вероятностными мерами,,. При этом, еслиификсированы, то стохастическая система называется системой сослучайными начальными состояниями; еслиификсированы, то стохастическая система является системой сослучайными переходами; еслиификсированы, то стохастическая система называется системой сослучайными выходами.

В силу наличия случайных факторов в системе, динамику стохастической системы в пространстве состояний можно описывать поведением случайного процессас областью значений во множестве состояний системы.

Для систем, которые отличаются значительным числом элементов, разнородным составом, различным характером взаимодействия, построение общей модели функционирования в виде единых операторов иоказывается затруднительным. В этом случае основной метод построения моделей функционирования состоит в функциональной декомпозиции системы, которая требует раскрытия структуры системы (состава элементов, функций элементов и их взаимодействия). Причем в большинстве случаев модель функционирования носит иерархический характер.

Составной характер моделей систем большой размерности обусловливает потребность в специальных способах их описания. Модель сложной системыпредставляется в виде тройки, где- множество элементов, в число которых включается и внешняя среда;- множество допустимых связей между элементами (структура модели);- множество рассматриваемых моментов времени.

Эти понятия могут быть формализованы разными способами, однако их содержательный смысл остается неизменным. В качестве обычно выбираются непрерывные множестваили,, или счетное множество видаили, где-фиксировано. В каждый момент временив множествевыделяется конечное подмножествоэлементов, из которых в этот момент состоит модель, а в множестве- подмножество, указывающее, какие именно связи реализованы в момент. Следовательно, допускается как переменность состава, так и переменность структуры модели.

Модели элементов сложных систем удобно разделить на две категории: внешниеивнутренние. Названия эти условны и имеют следующий смысл.

Внутренниемодели строят на основе законов и закономерностей, выявленных фундаментальными науками: физикой, химией, механикой, электротехникой и другими. Характерным для внутренних моделей является описание механизмов, управляющих изменением состояний исследуемых объектов, которое базируется на системе уже выявленных и экспериментально подтвержденных закономерностей. Примерами могут служить модели, описываемые дифференциальными уравнениями или марковскими процессами.

Вследствие недостатка знаний о функционировании элемента или из-за необходимости понизить размерность модели, а также по другим причинам часто используют модели типа «вход - выход» или «стимул - реакция». При этом не интересуются динамикой состояний элементов, а лишь описывают их внешнее поведение. Примерами моделей подобного типа служат различные регрессионные модели, поверхности отклика, функциональные зависимости и т.п. Такие модели называются внешними или моделями типа «черный ящик».

Наконец следует отметить, что модели сложных систем редко поддаются аналитическим методам исследования. Поэтому их анализ в основном осуществляется методами моделирования на ЭВМ.