Сети Петри

При разработке структур моделей дискретных систем в качестве базовой информации можно использовать данные о логической взаимосвязи наблюдаемых в системе событий и условий, переопределяющих наступление этих событий. Точное значение моментов времени реализации событий в системе часто можно игнорировать, поскольку такие сведения о событиях, происходящих в реальных (или проектируемых) системах, либо просто отсутствуют, либо их нельзя считать достоверными.

Базовые понятия условиеисобытиемогут быть связаны отношением типапроизошло после. Построение полной структуры таких отношений для моделируемой проблемной ситуации составляет цель и задачу формирования структуры модели.

Структурообразующими элементами сетей Петри являются события и условия. Любое событие имеет своими непосредственными предшественниками группу условий, называемых предусловиямиэтого события. Каждое событие имеет своими прямыми следствиями условия, составляющие в совокупности группупостусловийданного события. Реализация события возможна только после выполнения всех егопредусловий.

Состояние дискретной системы не меняется, если все условия сохраняют свои значения неизменными. Система переходит в новое состояние вследствие наступления какого-либо события. Совершающиеся в системе события образуют последовательность (связаны отношением произошло раньше). Каждое событие из этой последовательности является причиной изменения значений определенной группы условий. В итоге всех изменений, вызванных наступлением события, в системе устанавливается новое текущее состояние. Если в этом состоянии оказываются выполненными всепредусловиякакого-то события, то оно может реализоваться, т.е. стать очередным событием, изменяющим состояние системы и т.д.

Такая концепция структуризации моделируемой проблемной ситуации поддерживается формальными средствами, разработанными в теории сетей Петри.

В сетях Петри условиямоделируютсяпозициями, асобытия-переходами. Последовательная реализация событий в системе отображается в сети в виде последовательного срабатывания ее переходов. Выполнение какого-либоусловияв системе связано с появлениемметкив соответствующей этому условиюпозициисети. Действующие в сетях Петри соглашения о правилах выполнения переходов выражают логические взаимосвязи между условиями и событиями в моделируемой системе.

Ординарные сети Петри

Формально ординарная сеть Петри задается в виде тройки , где- непустое конечное множество позиций сети;- непустое конечное множество переходов;- отношение инцидентности позиций и переходов (множество дуг сети).

Графически сети Петри представляются двудольными орграфами . Множество вершин в таких орграфах состоит из непересекающихся подмножеств позицийи переходова множество дугразделяется на два подмножестваи. Дугиориентированы от позиций к переходам, а дуги- от переходов к позициям.

В изображении графов, представляющих ординарные сети Петри, позиции принято обозначать кружками, а переходы - барьерами (планками). Для всякого перехода можно указать полные множества позицийи, определенные соответственно на входах и выходах этого перехода. Аналогично черезиобозначают полные множества переходов, имеющихся на входах и выходах позиции.

В качестве примера рассмотрим задачу моделирования простого автомата-продавца. Автомат-продавец находится в состоянии ожи­дания до тех пор, пока не появится заказ, который он выполняет и посылает на доставку. Условиямидля такой системы являются:p₁- автомат-продавец ждет;p₂- заказ прибыл и ждет;p₃- автомат-продавец выполняет заказ;p₄- заказ выполнен. Событиями будут:t₁- заказ поступил;t₂- автомат-продавец начи­нает выполнение заказа;t₃- автомат-продавец заканчивает выпол­нение заказа;t₄- заказ посылается на доставку.

Предусловия события t₂(автомат-продавец начинает выполнение заказа) очевидны:p₁- автомат-продавец ждет;p₂- заказ прибыл и ждет. Постусловие для событияt₂:p₃- автомат-продавец выполняет заказ. Аналогично можно определить предусловия и постусло­вия для других событий и составить таблицу событий и их пред- и постусловий (табл.5.8).

Таблица 5.8.Описание процесса функционирования автомата-продавца

Событие	Предусловия	Постусловия
t1	Нет	p2
t2	p1 , p2	p3
t3	p3	p4 , p1
t4	p4	Нет

Такое представление системы легко моделировать сетью Петри. В сети Петри входы перехода являются предусловиями соот­ветствующего события; выходы — постусловиями. Сеть Петри на рис.5.4 иллюстрирует модель приведенного выше автомата-продавца. C каждым переходом и позицией связано соответствующее событие и условие.

Начальное состояние сети Петри задается с помощью маркировки её позиций. Маркировка сети заключается в присвоении позициям числовых значений (меток, емкостей): Маркировку сети удобно представлять в виде вектора

,

где - число, которым помечается позицияпри маркировке. В тех случаях, когда емкости позиций не велики, в качестве меток на графических изображениях сетей Петри используют не числа, а маркеры (рис. 5.4).

Начальное состояние рассматриваемой сети описывается следующим образом: заказ поступил и находится в состоянии ожидания ( условие p₂ выполнено); автомат-продавец занят выполнением заказа ( выполнено условиеp₃).

Отсутствие маркеров во всех остальных позициях сети означает, что связанные с этими позициями условия в начальном состоянии не выполняются. Записывая начальную разметку в виде вектора, для рассмотренного примера получим M₀=(0110).

Динамика сетей Петри обусловлена соглашениями относительно правил срабатывания переходов. Изменение состояния сети связано с механизмом изменения маркировок позиций. В качестве правил изменения маркировок принимаются следующие:

• выполняется только возбужденный переход, т.е. такой переход, во всех входных позициях которого имеются ненулевые метки;

• если в некотором состоянии сети возбужденными оказываются сразу несколько переходов, то всегда выполняется только один (любой) из них;

• в результате срабатывания перехода метки в каждой входной позиции перехода уменьшаются на единицу, а метки во всех его выходных позициях увеличиваются на единицу;

• выполнение перехода - неделимый акт, изменение разметки входных и выходных позиций перехода при его выполнении осуществляется мгновенно.

Например, в сети на рис. 5.4, имеющей начальную маркировку M₀=(0110), будет возбужден переход. Новая маркировка M₁=(1101) получается по правилу:

Маркировке будет соответствовать новое состояние сети, в котором возбужденными оказываются переходыt₂ иt₄. При срабатывании, например,t₄метка изp₄будет выведена из системы, в результате чего установится новая разметка сети M₂=(1100). Вследствие этого состояние сети снова изменится. Теперь уже возбужденным оказывается только переходt₂и т. д.

Сети Петри являются удобным аппаратом моделирования параллельных процессов, т.е. процессов, протекающих в системе независимо один от другого. На выполнение таких процессов не накладываются какие-либо условия синхронизации . Моменты начала и завершения параллельных процессов, интервалы их реализации не являются в системе взаимно обусловленными. Параллельным процессам соответствуют состояния сети Петри, в которых оказываются возбужденными сразу несколько переходов. Каждый из этих переходов может сработать. Однако вопрос о том, какой переход будет выполняться, решается всякий раз случайным образом по правилам равновероятного выбора.

Действие такого механизма проявляется в свойстве недетерминированности сетей Петри. Ни два, ни более возбужденных в некотором состоянии сети переходов одновременно не выполняются. Всякий возбужденный переход готов для выполнения, но момент его фактического срабатывания не определен с той абсолютной точностью, которая соответствует размещению событий на временной шкале. Иначе говоря, в сетях Петри не моделируется ход времени. События упорядочиваются по отношению «произошло после». Такой способ упорядочивания обеспечивает логически правильную, хотя и вневременную, взаимосвязь событий, которая естественным и эффективным образом закрепляется в структуре и механизме выполнения сетей Петри.

Недетерминированностьиасинхронностьсетей Петри приводят к проблемам одновременности и конфликта. Например, если в некотором состоянии сети имеются два ( или более) возбужденных перехода и при срабатывании одного (любого) из них возбуждение на другом ( других ) переходе не исчезает, то множество всех возможных при выполнении сети последовательностей событий будет включать каждую из последовательностей , началом выполнения которой является момент выполнения какого-то одного определенного перехода из рассматриваемой группы. В этом случае порядок выполнения переходов значения не имеет, а связанные с переходами события можно считать одновременно выполняющимися.

Если же присвоенные позициям маркеры рассматривать как ресурсы, количество которых, как правило, ограничено, то необходим специальный механизм управления ресурсами, который в сетях Петри связан с решением задач синхронизации событий. Синхронизация достигается за счет введения в сеть специальных фрагментов, с помощью которых для заданных состояний удается реализовать условия взаимного исключения, обеспечивающие возможность получения необходимых ресурсов только каким-то одним из всех затребовавших ресурсы процессов. Если условия взаимного исключения событий в определенных состояниях сети специальным образом не обеспечиваются, то на соответствующих переходах сети возникают конфликты, разрешаемые всякий раз случайным образом в пользу какого-то одного из переходов. В случае конфликта на переходах сети срабатывание одного из них приводит к снятию возбуждения с других переходов конфликтной группы. Таким образом, всякий раз будет выполняться только один какой-то переход и будет реализована только одна, связанная с данным переходом последовательность событий.

Применительно к сетям Петри разработаны методы анализа, с помощью которых удается определять некоторые важные для приложений характеристики сетей.

Ограниченность. Позициясетиявляется s-ограниченной, если

.

В такой позиции ни при каких условиях не может появиться более s меток. Припозиция сети называется безопасной. В случае, когда все позиции безопасные, сетьтакже безопасная. Сетьназывается ограниченной, если все ее позиции ограниченные. Для исследуемой системы это означает возможность функционирования ее в стационарном режиме.

Сохранение. Сохраняющейся называется сеть Петри, для которой по отношению к некоторому заданному вектору весов , где, выполняется условие

.

Если , то сеть является строго сохраняющей, и в ней выполняется условие

.

Тупики. Множество переходов сети Петри ( или один какой-то переход), которые в некотором состоянии сети оказываются заблокированными (не могут более выполняться), называются тупиками.

Активность.Нетупиковые переходы называются активными. Тупик имеет активность нулевого уровня. Переходt_jТсети Петрибудет активным, если существует такая разметка сети, при которой переход оказывается возбужденным. Активный переход называется переходом первого уровня активности. Переходt_j обладает активностью уровняn, если в сети может существовать последовательность срабатываний переходов, в которой данный переход будет выполняться не менееnраз.

Достижимость. Достижимой в сети Петриназывается разметка , т.е. существует последовательность срабатывания переходов, переводящая сеть из состоянияM_o в состояниеM_k.

Живость.Сеть- живая, если все ее переходы живые. Переходназывается живым, если для любой разметкив сети достижима разметка , при которой переходt_j может сработать.

Наибольшие затруднения при изучении свойств сетей Петри связаны с задачами достижимости. Для неограниченных сетей эти задачи могут быть решены лишь в некоторых частных постановках. Исследование достижимости на ограниченных сетях удается проводить только для сетей относительно небольших размеров.

Наряду с рассмотренным нами графическим представлением сетей Петри довольно часто используют матричные способы их описания: или, где- матрица инциденций размерности;

- вектор начальной разметки сети.

Если - некоторая текущая разметка сети Петри, то неравенство выражает условие возбуждения перехода, а уравнениеформально задает правило нахождения новой маркировки сети, возникающей в ней сразу после срабатывания перехода. Здесь- вектор-строка длины, имеющая единственный ненулевой элемент, равный 1, в позицииj.

Проиллюстрируем применение матричной формы описания сети Петри. Для этого воспользуемся данными примера.

Матрицы инциденций сети, приведенной на рис.5.4, имеют вид

;;.

Начальная разметка M₀=(0110).

, т.е. при разметкеМ₀срабатывает переходt₃, в результате чего сеть переходит в новое состояние и получает разметку

.

Обозначим через  конечную сумму векторов вида (j).Каждый образующий эту сумму вектор(j)устанавливает факт срабатывания переходапри выполнении некоторой рассматриваемой последовательности переходов. Количество слагаемых суммы равно числу переходов, составляющих последовательность. Отдельные переходы в последовательности могут повторяться. Множество вхождений каждого перехода в последовательность указывает, сколько раз этот переход сработал при реализации данной последовательности. Отсюда следует, что в состав суммы некоторые векторы(j)входят столько раз, сколько раз повторяются переходыt_jв рассматриваемой последовательности.

Полагая, что М₀- некоторая начальная разметка сети,М_k- некоторая достижимая отМ₀разметка, возникающая при реализации последовательности срабатываний переходов,- изменение разметки, можем записать.

При известной матрице инциденций Rи заданной начальной разметкеМ₀ (или конечной разметкеМ_k) это уравнение можно использовать при анализе достижимости, цикличности, ограниченности, безопасности, живости, тупиков и других свойств сетей Петри. Разработка эффективных машинно-ориентированных методов решения однородных и неоднородных систем линейных целочисленных уравнений относится к области вычислительных задач линейной алгебры и целочисленного программирования.