- •Оглавление
- •1. Модели и системы 9
- •2. Технология моделирования 20
- •3. Непрерывные детерминированные модели 36
- •4. Модели массового обслуживания 66
- •5. Дискретные модели 98
- •Предисловие
- •Модели и системы
- •Физические и математические модели
- •Моделирование: системный подход
- •Общая модель функционирования
- •Технология моделирования Построение моделей
- •Содержательное описание системы
- •Концептуальное моделирование
- •Построение математических моделей
- •Истинность моделей
- •Непрерывные детерминированные модели Непрерывные модели динамических систем
- •Задачи анализа непрерывных систем
- •Основные определения
- •Построение фазовых портретов
- •Устойчивость точек равновесия
- •Линейные системы
- •Стационарное решение
- •Общее решение
- •Двумерные канонические системы
- •Простые канонические системы
- •Фазовые портреты простых канонических систем
- •Фазовый портрет простой линейной системы
- •Качественная эквивалентность
- •Непростые канонические системы
- •Нелинейные системы Глобальные и локальные фазовые портреты
- •Линеаризация нелинейных систем
- •Предельные циклы
- •Модели массового обслуживания Основные понятия. Терминология
- •Потоки событий
- •Пуассоновский поток событий
- •Распределение событий на малом интервале времени
- •Распределение событий в пуассоновском потоке
- •Распределение интервалов между событиями
- •Законы обслуживания
- •Марковские смо
- •Марковские цепи
- •Матрица перехода для пуассоновского потока заявок
- •Одноканальная смо с ожиданием
- •Многоканальная смо с ожиданием
- •Смо с отказами
- •Многоканальные смо с взаимопомощью
- •Замкнутые системы
- •Дискретные модели Конечные автоматы
- •Вероятностные автоматы
- •Сети Петри
- •Ординарные сети Петри
- •Библиографический список
Модели массового обслуживания Основные понятия. Терминология
Модели массового обслуживания являются моделями систем, процесс работы которых может быть представлен как случайныйпроцесс сдискретнымисостояниями инепрерывнымвременем [4]. Задачи массового обслуживания возникают в следующих случаях:
когда имеется совокупность пунктов, называемая системой обслуживания (СМО), в которую через некоторые промежутки времени поступают объекты (требования, заявки);
заявки на выполнение работ поступают в случайныемоменты времени;
выполнение этих работ, называемое обслуживанием, осуществляется одним или несколькимиобслуживающими устройствами(приборами);
длительность выполнения (обслуживания) отдельных требований предполагается случайной;
из-за несоответствия между скоростью поступления требований и скоростью обслуживания образуется очередьна обслуживание или оказываются простаивающими обслуживающие устройства;
порядок обслуживания требований (заявок) определяется заданным законом дисциплиныочереди.
СМО может быть представлена в виде условной схемы (рис.4.1), где изображены ее составные части.
Для модели СМО характерно, что процессы в ней описываются с помощью событий, которые происходят в тот или иной момент времени:
входной потокзаявок - это временная последовательность событий на входе СМО;
очередь,в соответствии с дисциплиной обслуживания, осуществляет выборку событий во входном потоке для выдачи их на вход прибора обслуживания;
обслуживающее устройство согласно своему закону осуществляет задержку во времени каждого поступающего на его вход события и формирует выходной потоксобытий.
Все остальные свойства реальных систем, которые не вписываются в эту модель событий, в моделях СМО не учитываются.
В качестве примера рассмотрим работу грузового порта, в котором имеется Sпричалов. В теории массового обслуживания говорят, что имеется система обслуживания сS каналамиилиSприборами. Время разгрузки (обслуживания) судов колеблется в зависимости от типа корабля и груза. Если все причалы заняты, то вновь прибывшее судно становится на рейде и ждет своейочереди. Каждый корабль имеет расписание прибытия, но из-за множества обстоятельств, часто непредвиденных, оно, как правило, нарушается. Поэтому считается, что прибытие судов являетсяслучайным событиемс каким-то математическим ожиданием, дисперсией и т.д. Таким образом, работу грузового порта можно описать в терминах модели массового обслуживания.
Процессы массового обслуживания типичны для связи, транспорта, производственных и компьютерных систем и т.п. [9]. Примерами систем управления, которые могут быть сведены к моделям СМО, являются: система управления аэропортом; система управления телефонной сетью города; система управления сетью предприятий бытового обслуживания. Соответствующие потоки входных заявок - случайные величины: интервалы между вылетами и посадками самолетов; интервалы между вызовами абонентов телефонной станции; поступление заявок клиентов на обслуживание в сети бытового обслуживания. Время обслуживания также является случайной величиной: время технического осмотра самолета; время разговора по телефонной сети; время обслуживания клиента в предприятии бытового обслуживания.
Все переменные, определяющие поведение СМО, являются случайными величинами. С их помощью можно объяснить последовательность возникающих в системе событий. Однако для оценки работы реальных систем, для улучшения качества управления и функционирования систем необходимо иметь какие-то определенные (детерминированные) характеристики, позволяющие выбирать новые режимы работы системы, т.е. иначе распределять приборы обслуживания, изменять дисциплину обслуживания, уменьшать или увеличивать время обслуживания и т.д. Поэтому принципиальный интерес представляют следующие характеристики СМО:длина очередив различные моменты времени; общая продолжительность нахождения требований в системе обслуживания (ожиданиев очереди и само обслуживание); доля времени, в течение которого обслуживающие приборы остаются незанятыми (коэффициентзагрузкиприборов).