Законы обслуживания

Чаще всего в математических моделях используется экспоненциальныйзакон обслуживания. Типичный пример - совокупность операций, выполняемых в почтовом отделении: продажа марок и конвертов, прием заказных писем, прием почтовых переводов. Большинство посетителей покупают марки и конверты; эти операции требуют минимального времени. Реже встречаются заказные письма, на оформление которых требуется больше времени, и совсем редко оформляются переводы, требующие еще больших временных затрат.

Построим гистограмму времени обслуживания: на оси абсцисс отложим отрезки времени обслуживания, а на оси ординат - относительное количество требований, время обслуживания которых равно этому интервалу,. Получим плотность распределения, близкую к экспоненциальной (рис.4.3).

Возьмем пример из области военной техники. Допустим, производится обстрел воздушной цели потоком снарядов. Вероятность поражения цели одним снарядом составляет p. Если плотность исходного потока выстрелов равна, то поток успешных выстрелов будет иметь плотность. Таким образом, оба потока стационарны. Отсутствие последствия определяется независимостью попыток, а ординарность - тем обстоятельством, что две попытки одновременно не делаются.

Следовательно, если исходный поток выстрелов принять за простейший (пуассоновский), то поток успешных выстрелов тоже будет простейшим. Мы уже говорили о том, что интервалы между событиями в пуассоновском потоке подчиняются показательному закону распределения. Это означает: вероятность того, что обслуживание закончится (цель будет поражена) до момента, равна , а плотность распределения времени обслуживания (самолетов)- показательный закон распределения.

Мы показали, что если процесс обслуживания состоит в последовательности независимых попыток, каждая из которых приводит к необходимому результату с вероятностью p, то из общего пуассоновского потока плотностиможно выделить поток успешных попыток обслуживания, который также будет простейшим потоком, но с плотностью. При этом время обслуживания будет подчинятьсяпоказательному закону распределения.

И вообще, если на вход обслуживающего устройства поступает пуассоновский поток заявок, а время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону распределения, то выходной поток заявок также будет обладать свойствами пуассоновского.

Марковские смо

Системы массового обслуживания относятся к марковским системам, если они описываются с помощью дискретных марковских цепей [6]. Эти системы занимают в теории массового обслуживания такое же место, как линейные системы в теории автоматического управления.

Марковские цепи

Пусть система может находиться в состояниях , где. Обозначим через- вероятность нахождения системы в конкретном состоянии в момент времени. Введем в рассмотрение стохастический вектор

, где;

; .

Предположим, что система может менять случайным образом свое состояние в дискретные моменты времени, интервалы между которыми называются шагами. Последовательность принимаемых системой состояний называется случайным процессом (цепью).

Марковский процесс- это такой процесс, будущее состояние которого определяется только настоящим состоянием и не зависит от предыдущего состояния.

Каждой паре состояний ,можно поставить в соответствие условную вероятностьтого, что система находится в состояниив моментпри условии, что в моментона находится в состоянии_.Очевидно, для вероятностисправедливо:

.

Эти уравнения являются частным случаем уравнений Чемпмена - Колмогоpова. Они означают, что система может оказаться в состоянии путем одного изнесовместных переходов. Причем вероятность нахождения системы в состояниипри условии, что ранее система находилась в состоянии, определяется по формуле произведения вероятностей событий.

Уравнения Чемпмена - Колмогоpова могут быть записаны в векторной форме:

, где - квадратная матрица вероятностей переходов:

; ; , для всех.

Матрица называется стохастической матрицей переходов. Каждая строка этой матрицы - стохастический вектор. Маpковский процесс целиком определяется матрицей переходаи начальными условиями . Если значения коэффициентов матрицыпостоянны, то имеем однородную цепь Маpкова, для которой можно написать

Приведем некоторые свойства стохастических матриц.

• Если стохастическая матрица, тото же стохастическая матрица.

• Если все строки матрицы одинаковы, то,

• Если имеет вид , где- квадратные подматрицы, то система, находящаяся в состоянии соответствующем элементам, никогда не сможет оказаться в состоянии соответствующем элементам. Матрицаназывается в этом случаеpазложимой, а состоянияи- замкнутыми.

• Если матрица имеет вид , то все четные степени этой матрицы дадут матрицу типа, рассмотренного в предыдущем пункте, а все нечетные - матрицу исходного типа. Такая система будет периодически переходить из состоянийв состоянияи наоборот и называетсяпериодической.

Маpковские процессы удобно изображать в виде графа состояний (рис.4.4), вершины которого соответствуют состояниям, а дуги - переходам. Около каждой вершины записываются соответствующее состояние , а около дуги - вероятность перехода. Сумма вероятностей для дуг, выходящих из любой вершины графа, должна равняться единице.