Линейные системы

Система обыкновенных дифференциальных уравнений , где, называется линейной системой размерностиn, если функцияf(x)- линейна. Линейную функцию f(x)можно записать в матричной форме:

f(x) = Ax ,

где A- матрица коэффициентов,x- вектор переменных:

,.

Соответственно система обыкновенных дифференциальных уравнений принимает вид

.

Таким образом, каждая компонента вектора производных является линейной функцией переменных. При исследовании линейных систем не возникает принципиальных трудностей, ибо всегда можно получить решение системы уравнений в аналитическом виде.

Стационарное решение

Стационарное решение линейного дифференциального уравнения удовлетворяет системе линейных алгебраических уравнений Ax = 0.

Если матрица Aнеособенная, т.е. , то система имеет единственное стационарное решение, при котором все компоненты вектора производных равны нулю:. В фазовом пространстве стационарное движение (состояние) линейной системы будет изображаться точкой, расположенной в начале координат.

Общее решение

Общее решение системы дифференциальных уравнений

определяется как совокупность частных (фундаментальных) решений вида .После подстановки получаем линейную систему алгебраических уравнений:

x = Axили(A - I)x = 0, гдеI- единичная матрица.

Требование не тривиальности решений x(t)  0приводит к характеристическому уравнениюdet(A - I) = 0или в развернутом виде

.

Таким образом, собственные значения матрицы Aсовпадают с характеристическими числами системы дифференциальных уравнений.

В общем случае _i- комплексные величины_i=_i+j_i . Тогда, если у матрицыAнет кратных собственных значений, аналитическое решение системы дифференциальных уравнений можно представить как сумму фундаментальных решений следующего вида:

• если Im(_i) = 0, тоi-я компонента решения представляет собой экспоненту, затухающую при, а принеограниченно возрастающую;

• если , тоi-я компонента решения представляет собой экспоненциально взвешенную синусоиду, затухающую при,с неограниченно возрастающей амплитудой прии с постоянной амплитудой при.

Двумерные канонические системы

Из линейной алгебры известно, что любую двумерную линейную систему с помощью линейного преобразованияx=Myможно свести к канонической форме, гденазывается жордановой формой матрицыA. Жорданова матрицаJпринадлежит к одному из четырех типов:

(a) (b) (c) (d).

Для собственных значений матрицы A справедливо

или ,

где - след матрицыA, а - её определитель.

Таким образом, собственными значениями являются

Соответствующая матрице Aжорданова формаJ зависит от вида собственных значений:

(а)  > 0 , ₁  ₂- действительные различные;

(b,c)  = 0 , ₁ = ₂ = ₀ - действительные кратные;

(d)  < 0 , _1,2 =   j- комплексные сопряженные.

Простые канонические системы

Линейная система называется простой, если матрицаAнеособенная, т.е.detA  0иAсоответственно не имеет нулевых собственных значений. Тогда единственным решением уравненияAx=0являетсяx=0и система имеет единственную неподвижную точку в начале координат фазовой плоскости. Каноническая система, соответствующая простой линейной системе, также является простой, так как матрицаAи соответствующая ей жорданова матрицаJимеют одинаковые собственные значения.