книги из ГПНТБ / Смирнов Г.Н. Океанология (в инженерном изложении) учебник

При безграничном увеличении глубины (Я->оо) выражение в скобках стремится к единице и формулу (ІѴ-26) можно переписать в виде

Отсюда следует, что на глубокой воде групповая скорость равна половине скорости распространения волн.

При малых глубинах скорость распространения волны не зави­ сит от длины волны. Поэтому все волны, а также и группа волн распространяются с одной и той же скоростью

Следовательно, отличие скорости распространения группы волн от скорости отдельных волн наблюдается только в том случае, ес­ ли скорость распространения зависит от длины волны *.

Важнейшей характеристикой волны является ее энергия. Для прогрессивной волны малой амплитуды на конечной глубине кине­ тическая и потенциальная энергия равны между собой

волн в бесконечно глубоком море, только амплитуда волны будет иметь другое значение (см. выше).

* Зависимость скорости распространения от длины волны (или частоты) на­ зывается дисперсией волн.

100

Рассматривая работу, которую совершают силы давления при волновом движении жидкости, можно показать, что в о л н о в а я э н е р г и я п е р е н о с и т с я в н а п р а в л е н и и р а с п р о с т р а ­ н е н и я в о л н с г р у п п о в о й с к о р о с т ь ю . Использование теории волн малой амплитуды упрощает решение задачи, однако, в ряде случаев приводит к несоответствию полученных решений с данными наблюдений. В частности, профиль волны по (ІѴ-3) не совпадает с наблюдаемым в лаборатории и в натуре; теория не дает переносного волнового течения, которое имеет место в действитель­ ности; весьма существенно искажаются эпюры волнового давления,

стигать по В. К. Штенцелю на уровне спокойного горизонта значи­ тельной величины.

Первое точное решение для волн конечной амплитуды было по­ лучено в 1802 г. Герстнером, в предположении, что движение час­ тиц жидкости при бесконечно большой глубине происходит по кру­ говым орбитам. Волны Герстнера, или, как их часто называют, трохоидальные волны являются вихревыми, так как вычисленное зна­ чение вихря отличается от нуля.

Для решения большого числа инженерных задач, и, в частности, Таких задач как определение давления волн на гидротехнические сооружения, например, молы и волноломы, теория трохоидальных волн широко используется на практике. При этом результаты тео­ ретических расчетов при определенных условиях хорошо подтверж­ даются многочисленными экспериментальными данными, получен­ ными как в лабораторных, так и натурных условиях. В теории тро­ хоидальных волн также, как и раньше, рассматриваются регуляр­ ные гравитационные волны, распространяющиеся на поверхности идеальной несжимаемой жидкости.

Предположение о вращательном движении частиц жидкости по­ зволяет записать зависимость координат частицы х и г в момент t

мый от положительного направления оси z против часовой стрелки. Радиус орбиты является при сделанных допущениях функцией параметра b и радиуса орбиты на поверхности г0 и определяется по

Уравнения (ІѴ-34) определяют движение частиц в переменных Лагранжа.

101

Частицы, находящиеся на расстоянии длины волны, смещены по фазе на 360°, а частицы, отстоящие друг от друга на расстоянии а,

частицы изменяется на угол 360° (вращение частицы происходит по

z = r0cos Ѳ.

Угол Ѳ можно выразить через скорость распространения с

2я

I

z — r0cos Ѳ.

102

Рис. ІѴ-9. Профиль трохоидальной волны на глубокой воде:

Из этих уравнений следует, что профиль волны, не меняя своей формы, перемещается в направлении положительной оси х со ско­ ростью с.

Для определенного момента времени, например t=0, получим уравнения

X — + Го sin Ѳ,

(IV-38)

z — r0cos Ѳ,

которые являются уравнениями трохоиды в параметрической фор­ ме, т. е. определяющими профиль трохоидальной волны на глубо­ кой воде. Эту кривую вычерчивает точка, расположенная от центра

X

круга радиуса R = — на расстоянии r0<R, если этот круг без 2я

скольжения катится по горизонтальной прямой тп (рис. ІѴ-9). При малой величине отношения r0/R, т. е. при небольшой высоте

волны, профиль трохоидальной волны близок по форме к синусо­ идальному. Но чем больше высота волны, т. е. отношение r0/R, тем больше различие между синусоидой и трохоидой. Если r0 = R, то трохоида переходит в циклоиду, которая является предельной фор­ мой трохоидальной волны.

Скорость распространения трохоидальной волны на бесконечно глубокой воде определяется формулой (ІѴ-4).

Уравнения движения частиц в трохоидальной волне на конечной

Возведя в квадрат уравнения (ІѴ-39), после преобразований получим каноническое уравнение эллипса с большей горизонталь­ ной и меньшей вертикальной полуосями, соответственно равными

103

Следовательно, частицы в прогрессивной трохоидальной волне, распространяющейся на поверхности моря, имеющего конечную глу­ бину, совершают колебания по замкнутым эллиптическим орбитам (см. рис. ІѴ-2, б ).

Отношение полуосей элипса равно

Откуда следует, что на фиксированной глубине Ь—const, это отно­ шение зависит от величины ЯД, которую называют относительной глубиной моря. С уменьшениемЯ/л, что может иметь место или с уменьшением глубины моря Я при постоянной длине волны л, или с увеличением К при Я —const, орбиты частиц становятся все более растянутыми в горизонтальном направлении. На поверхности мо­ ря при относительной глубине ЯД = 0,5 вертикальная полуось эл­ липса отличается от горизонтальной только на 0,64%, при ЯД = 0,3 эта разница становится равной уже 4,3% и дальше очень быстро возрастает, составляя при ЯД = 0,2 около 12%.

На дне Г2 Ігі = 0, и здесь частицы совершают только горизонталь­

ные колебания с амплитудой /у = ---------; при этом чем меньше sh kH

глубина, тем больше амплитуда колебаний частиц.

Подставив в уравнения (ІѴ-39) b = 0, получим параметрические

которые описывают профиль трохоидальной волны, распространяю­ щейся в сторону положительного направления оси х со скоростью с на поверхности моря конечной глубины.

по горизонтальной прямой; причем центр эллипса все время нахо­ дится в центре круга, а сам эллипс не меняет своего положения относительно осей х я z (рис. IV-10).

Если большая полуось эллипса равна радиусу круга качения Гі = Д то трохоида переходит в циклоиду и волна находится в пре­ дельном состоянии.

104

Превышение над спокойным уровнем средней линии трохоидальной волны при конечной глубине для поверхности моря равно

Скорость распространения трохои­ дальной волны при конечной глубине

105

I

движение установившихся волн на поверхности тяжелой несжи­

маемой жидкости в канале конечной глубины Н. Решение общих

—> —>

уравнений (ІѴ-1) при R = K = 0 находится методом последователь­ ных приближений; при этом г и всякая производная от ф рассмат­ риваются как малые величины первого порядка.

В первом приближении форма волны описывается уравнением

ch kH (ch 2kH -f- 2) 4sh 3kH

n — постоянное число.

Скорость распространения волны во втором приближении вы­ числяется по формуле (ІѴ-14).

В силу четности косинуса, из уравнения (ІѴ-48) следует, что волна симметрична относительно вертикальных линий, проходящих через вершину гребня и подошву впадины волны. Из уравнения (ІѴ-48) следует также, что максимальное возвышение гребня вол­ ны наблюдается в точках с абсциссой х = +Я/2, ±ЗЯ./2, +5Х/2, ... и максимальное понижение впадины волны — в точках с абсциссой х = 0, ±%, ±2Я, ....

Величина максимального возвышения равна а + Ка2, а величина максимального понижения равна а — Ка2. Вершина гребня волны поднимается над средним уровнем больше, чем опускается подош­ ва впадины. Протяженность впадины, равная X/2 + аКХ/я, больше протяженности гребня, равной Л/2 — аКІ/п на величину 2aKk/n. Та­ ким образом, впадина волны имеет более пологое очертание, чем гребень. Из выражения для К следует, что с уменьшением глубины

106

Следовательно, скорость распространения зависит не только от длины волны, но и от амплитуды волны, увеличиваясь с ее ростом.

Рассматривая траектории частиц, Стокс нашел, что кроме пе­ риодического изменения уклонения частиц от их начальных поло­ жений имеется еще и постоянное смещение частиц в горизонталь­ ном направлении. Скорость этого движения при бесконечной глуби­ не, которое обычно называют переносным движением, равна

Из этой формулы видно, что скорость переносного движения оди­ накова для всех частиц, лежащих на одной глубине, и очень быст­ ро затухает с глубиной. Так, на глубине 2= 0 ,Ък скорость перенос­ ного движения составляет всего лишь — 0,2 % от переносной скоро­ сти на поверхности. Напомним, что амплитуда колебаний частиц на этой глубине составляет 4,3% от амплитуды колебаний поверх­ ностных частиц.

При наличии переносного движения траектории частиц стано­ вятся разомкнутыми и имеют петлеобразный вид (рис. ІѴ-12).

Для случая конечной глубины скорость переносного движения можно определить по формуле

m2h2c eh 2т (Н —■z)

где m — произвольная постоянная.

Волны Стокса дают удовлетворительное совпадение с данными наблюдений до относительной глубины Н /к> 0,1—0,125. При мень-

107

Горизонтальное смещение R '

Р и с . I V - 1 4 . Т р а е к т о р и и п о в е р х н о с т н ы х ч а с т и ц ж и д к о с т и в о д и н о ч ­

позволяет применить теорию одиночной волны к периодическим волнам на мелкой воде указанной выше формы, если длина перио­ дических волн будет больше эффективной длины одиночной волны.

Траектории частиц в одиночной волне представляют собой па­ раболы (рис. ІѴ-14) с вертикальной осью и вершиной, обращенной вверх. Поскольку частицы смещаются только вперед, то одиночная волна является в чистом виде волной перемещения.

Изложенные гидродинамические теории морского волнения рас­ сматривают регулярные волны, в то время как в действительности взволнованная под воздействием ветра поверхность моря имеет...

«сложный рельеф случайного характера, непрерывно меняющийся во времени также случайным образом» [36]. Поэтому непрерывное изменение элементов волнения в пространстве и во времени сле­ дует рассматривать как случайный процесс, а сами элементы волн — как случайные величины, и подходить к их исследованию с позиций теории вероятности.

Определение вероятностных характеристик волнения стало воз­ можным благодаря внедрению в практику океанографических исследований автоматических методов непрерывной регистрации эле­ ментов волн, резко расширивших объем информации и позволив­ ших перейти при обработке опытных данных к методам математи­ ческой статистики. Пользуясь этими методами, можно построить дифференциальную и интегральную функции распределения. В океанологии они называются, соответственно, функциями повто­ ряемости и обеспеченности какой-либо наблюдаемой случайной ве­ личины, например, высоты или периода волн. Для этого необходимо иметь совокупность наблюдаемых значений, которая называется

109