книги из ГПНТБ / Смирнов Г.Н. Океанология (в инженерном изложении) учебник

Для вычисления касательной составляющей заменим элемент дуги через радиус Земли и дифференциал зенитного расстояния

Величина и направление нормальной и касательной составляю­ щих меняются в зависимости от зенитного расстояния (табл. Ѵ-2). Из данных таблицы следует, что нормальная составляющая в зени­ те (точка Л) и в надире (точка С) направлена от центра Земли и имеет здесь максимальное значение*; в точках D и В она в два ра­ за меньше и направлена к центру Земли. Касательная составляю­ щая на половине земного шара, обращенной к светилу, направлена в ту же сторону; на другой половине земного шара, — в обратную.

Максимальное ее значение наблюдается при Z = — + — п\ в на- 4 2

дире и в зените, а также при Z — — п она равна нулю.

Максимальные величины приливообразующих сил Луны и Солн­ ца по сравнению с силой тяжести невелики и могут быть вычислены для нормальных и касательных составляющих из соотношений

Кр _ 2Мр3

Те - ~ Ё ^ ’

Fs _ ЗМр3

Tg ~ 2Ег3 '

* Одинаковое значение приливообразующей в надире и зените получается в том случае, если принимается расстояние от этих точек до Луны равным, т. е. если пренебречь радиусом Земли. В противном случае, сила в надире будет меньше силы в зените на ‘Дз долю своей величины.

200

Таблица V-2

Изменение составляющих приливообразующей силы в зависимости от зенитного расстояния

Отсюда, например, для составляющих приливообразующей силы Луны получим:

р ___ *___ р .

Нормальная составляющая действует по направлению силы тяже­ сти и только изменяет несколько ее величину. Касательная же сос­ тавляющая действует нормально ік направлению силы тяжести, и если рассматривать частицы жидкости, обладающие относительно небольшими силами внутреннего притяжения и сцепления в отличие от частиц твердой оболочки Земли, то она вызывает значительные перемещения этих частиц, обусловливая тем самым явление при­ ливов.

Приливообразующую силу Солнца можно оценить, сравнив ее с приливообразующей силой Луны. Составив отношение Рл : Fc для их максимальных значений, т. е. при Z = 0 (см. табл. Ѵ-2), после преобразований получим

£ л = Л1л_г[

Fc Мс г3 '

Л

201

Так как Мл — —— Мс = 333400Е\ гл = 60,Зр и rc = 23 484p, то 81,5

/"л = 2,17F0,

т. е. приливообразующая сила Луны в 2,17 раза больше приливооб­ разующей силы Солнца.

§ 4. ТЕОРИЯ ПРИЛИВОВ

Приведенные в предыдущем параграфе выражения потенциала приливообразующих сил впервые были даны Ньютоном. Им же (1687 г.) была предложена первая теория приливов, развития в дальнейшем (1741 г.) Бернулли. Эта теория получила название ста­ тической теории приливов, так как в основу ее было положено до­ пущение о том, что в каждый физический момент времени воды океана находятся в равновесии под действием силы тяжести и при­ ливообразующих сил. При этом предполагалось, что силы инерции, сцепления и трения отсутствуют. Кроме того, предполагалось, что океан покрывает Землю сплошным слоем одинаковой толщины, и, следовательно, элементы прилива не зависят от физико-географиче­ ских условий: наличия материков, рельефа дна, изменения глубин и прочее.

Из основного допущения статической теории следует, что раз­ ность потенциалов силы тяжести на среднем уровне моря и на уров­ не прилива (рис. Ѵ-11) равна сумме потенциалов приливообразую­ щих сил. Обычно потенциал силы тяжести на среднем уровне при­ нимают равным нулю. Тогда

202

Заменяя <рл и фс их значениями из выражений (Ѵ-13) и (Ѵ-14), окончательно получим формулу для определения величины солнеч­ нолунного прилива *

Из этой формулы следует, что при действии только Луны или Солн­ ца водная оболочка Земли принимает форму эллипсоида вращения, большая ось которого ориентирована в направлении светила.

Для простоты доказательства предположим, что на водные мас­ сы действует только Луна. Тогда вместо формулы (Ѵ-19) следует записать

Далее допустим, что водная оболочка Земли действительно прини­ мает форму эллипсоида вращения (рис. Ѵ-11) с полуосями А и В. Положив

Произведя преобразование и пренебрегая членами второго порядка относительно А/р0 и а/ро, получим в итоге формулу (Ѵ-20), что дока­ зывает справедливость сделанного предположения об эллиптической форме поверхности океана при воздействии приливообразующей си­ лы Луны. То же самое можно доказать относительно приливообра­ зующей силы Солнца.

Если записать в соответствии с формулой сферической тригоно­ метрии

cos Zл = sin бл sin ф + cos бд cos ф cos fл,

где ф— широта места; бл и іл — соответственно склонение и часо­

* Более строгий вывод формулы см. напр. [7].

203

вой угол Луны *, то после преобразований формулу (Ѵ-20) можно представить в виде

Раскрыв скобки и обозначив соответственно первый, второй и тре­ тий члены через Аь h2, А3, перепишем формулу (Ѵ-22)

т. е. прилив в любой точке океана складывается из трех состав­ ляющих. Составляющая h\ зависит только от склонения Луны бл, так как для данного места ф = const. Период изменения бл равен месяцу, период же изменения функции эіп2бл равен полумесяцу. Следовательно, Аі представляет собой высоту полумесячного при­ лива.

Составляющая h2 зависит от іл и бл. Часовой угол іл меняется в течение лунных суток на 360°. За это время склонение Луны бл изменяется незначительно. Поэтому составляющая h2 является вы­ сотой суточного прилива. При северном склонении Луны (бл>0) суточный прилив в северном полушарии (ф>0°) будет максималь­ ным при costn= + l, т. е. при прохождении Луны через меридиан места наблюдений, и минимальным — при cos^n= —3, т. е. при про­ хождении Луны через меридиан антипода места наблюдения. При южном склонении (бл<0) картина будет обратная. При ф= 0° (на экваторе) и ф= 90° (на полюсе) суточный прилив h2—0. Максималь­ ное значение h2 имеет место при ф=і45°.

Составляющая А3 является полусуточным приливом, так как функция cos2Ci имеет период, равный половине лунных суток. Максимальное значение А3 имеет при прохождении Луны через ме­ ридиан места, когда £л= 0 ° и ^л= 360°, и минимальное при Сі = 90° и ifa = 2 7 0 ° . Наибольшие значения полусуточного прилива будут на экваторе ф = 0 ° при склонении Луны бл= 0. На полюсе ф= 90°, и по­ лусуточный прилив равен нулю.

Подобные же три составляющие имеет солнечный прилив.

В результате сложения всех шести составляющих может быть вычислена высота солнечно-лунного прилива. Проведенные по этим формулам расчеты дают средние и максимальные значения сизигий­ ного прилива 0,8 и 0,9 л и квадратурного прилива соответственно 0,2 и 0,3 м, что удовлетворительно совпадает с данными наблюде­ ний в открытом океане (см. § 2).

* Часовой угол t — вторая координата в первой экваториальной системе не­ бесных координат; измеряется дугой экватора от расположенной над горизонтом точки его пересечения с небесным меридианом, совпадающим с меридианом места наблюдения, в направлении вращения небесной сферы до круга склонения данного светила; измеряется в единицах времени, при этом 24 ч соответствует

204

Статическая теория приливов позволяет объяснить наличие не­ которых неравенств в явлении приливов. Полумесячные неравен­ ства приливов по высоте вызываются изменением взаимного распо­ ложения Земли, Луны и Солнца. В новолуние и полнолуние, когда Луна и Солнце кульминируют через меридиан места одновременно (сизигия), — одноименные оси приливных эллипсоидов при этом ориентированы в одном направлении, — Лунные и Солнечные прили­ вы складываются и величина прилива оказывается максимальной. В первой и последней четвертях Луны, когда Луна кульминирует через меридиан места через б ч после Солнца (квадратура), — при этом одноименные оси эллипсоидов располагаются перпендикулярно друг другу, — повышение и понижение уровня моря при лунном приливе и отливе уменьшаются за счет соответственно понижения и повышения уровня при солнечном отливе и приливе. В результате величина прилива будет минимальной.

При указанном расположении приливных эллипсоидов полная вода соединенного прилива в сизигии и квадратуре наступает одно­ временно с кульминацией Луны. Однако, поскольку в своем дви­ жении Луна отстает от Солнца на 50 мин в сутки, взаимное рас­ положение приливных эллипсоидов Луны и Солнца ежедневно ме­ няется, что приводит к появлению и в дальнейшем к изменению про­ межутка времени между наступлением полной воды соединенного прилива и моментом кульминации Луны. Эти изменения происхо­ дят с полумесячным периодом, т. е. наблюдаются полумесячные неравенства во времени (см. рис. Ѵ-4).

Суточные неравенства по высоте прилива и во времени наступ­ ления полных вод связаны с изменением склонения Луны. При склонении Луны, не равном нулю (бдЭ^О), большая ось приливного эллипсоида будет направлена на Луну и максимальные (тропиче­ ские) приливы высотой А\В\ наблюдаются при этом в точке В ѵ

Рис. Ѵ-12. Суточные неравенства в приливах при склонении светил, не равном нулю (6=^=0)

205

Вз, ß 4 и через сутки возвращается в исходное положение В\. В точ­ ках В2 и В4, расположенных на круге освещенности ab, наблюдают­ ся малые воды одинаковые по высоте. В точке В3 наблюдается вто­ рая полная вода ВЪА3, которая значительно меньше по величине, чем первая полная вода В\А\, время нарастания второй полной во­ ды меньше, чем время нарастания первой, так как дуга В {Ві боль­ ше дуги В2В3.

При изменении широты места наблюдения и 6= const характер

приливы. В высоких широтах неравенства проявляются резче: силь­ но уменьшается вторая полная вода; на широте срі, когда траектория движения точки Сі касается круга освещенности в точке С2, вторая полная вода пропадает и прилив становится суточным. C\D\ — пол­ ная вода; C2D2— малая вода.

Неравенства в заданной точке наблюдения, ср = const, с уменьше­ нием склонения Луны уменьшаются, и при расположении Луны в плоскости экватора (6 = 0) приливы везде оказываются правиль­ ными полусуточными; на широте ц>ф0 при этом будет минималь­ ный (экваториальный) прилив. Максимальный прилив наблюдается при 6= 0 на экваторе. На полюсах приливы отсутствуют и уровень здесь меняется в соответствии с изменением склонения Луны с по­ лумесячным периодом. Кроме того, склонение Луны меняется из-за постоянного наклона лунной орбиты к плоскости эклиптики (5°08') с периодом 18,61 лет, что вызывает изменения полумесячных лунных тропических неравенств.

Месячные (параллактические) неравенства по высоте приливов происходят в результате изменения расстояния от Луны и Солнца до Земли: чем это расстояние больше, тем приливы меньше. Вели­ чина лунного прилива изменяется примерно на 40% и солнечного на 10% при изменении расстояния от наибольшего значения до наи­ меньшего. Период месячных неравенств приливов равен промежут­ ку времени между двумя последовательными прохождениями Луны через точку перигея (27,55 средних солнечных суток).

В результате изменений склонения Солнца и расстояния от Зем­ ли до Солнца наблюдаются соответственно неравенства величины тропических и экваториальных приливов с полугодовым периодом и неравенства с годовым периодом (365,25 средних солнечных суток), равным периоду обращения Земли вокруг Солнца.

Статическая теория удовлетворительно объясняет причины воз­ никновения приливов и неравенств в явлении приливов. Однако из-за несоответствия принятых допущений реальным условиям име­ ет место расхождение между выводами теории и результатами наблюдений. Вследствие внутреннего трения и трения воды о дно величины наблюдаемых лунных промежутков оказываются больше, чем вычисленные исходя из статической теории. По этой же причи­ не наибольшая величина прилива не совпадает с моментами астро­ номических сизигий, а наблюдается спустя 2—3 дня. В мелководных

206

районах величина прилива под влиянием изменения глубины пре­ восходит в несколько раз теоретически вычисленное значение. Тео­ ретически при склонении Луны, равном нулю, наибольшие приливы должны наблюдаться на экваторе, в действительности же наиболь­ шие приливы в этом случае имеют место в более высоких широтах; суточные неравенства в явлении приливов согласно теории должны быть одинаковы на одной и той же широте и отсутствовать на эк­ ваторе— ни то, ни другое положение данными наблюдений не под­ тверждается. По этим причинам статическая теория для практиче­ ских целей оказалась непригодной.

Дальнейшим развитием теории приливов явилась так называе­ мая динамическая теория, предложенная Лапласом (1775 г.), кото­ рый в отличие от Ньютона составил уравнения движения жидкости, обладающей инерцией, на вращающейся Земле, под воздействием периодически меняющейся приливообразующей силы.

При этом принималось, что вода однородна и несжимаема; силы трения отсутствуют; материков нет и океан имеет постоянную глу­ бину; давление жидкости в любой точке равно гидростатическому, поскольку при малых вертикальных перемещениях частиц ускоре­ ниями в этом направлении можно пренебречь по сравнению с ус­ корением силы тяжести; изменениями силы тяжести в пространстве и тем, что Земля — эллипс, можно также пренебречь.

Вследствие инерции частицы воды, выведенные из равновесия, после прекращения действия внешнего возмущения будут стремить­ ся к положению равновесия, перейдут его и начнут совершать сво­ бодные колебания с периодом, зависящим от свойств колебательной системы, и затухающие под влиянием силы трения. Если внешняя, возбуждающая сила будет действовать постоянно, то водные массы будут совершать вынужденные колебания, с тем же периодом, что и период внешней силы. Амплитуда и фаза вынужденных колеба­ ний зависит от соотношения периодов свободных и вынужденных колебаний *.

В явлении приливов возмущающая сила — это приливообразую­ щая сила; она, перемещаясь по поверхности океана, вызывает обра­ зование вынужденной волны с гребнем на меридиане, на котором

волна может изменить направление своего распространения, выйти из-под действия возбуждающей силы и в дальнейшем перемещать­ ся как свободная волна. Поэтому в реальных условиях одновремен­ но могут наблюдаться и вынужденные, и свободные приливные вол­ ны и, следовательно, колебания уровня в этом случае должны рас­ сматриваться как сумма вынужденных и свободных колебаний.

Вынужденные волны перемещаются по поверхности со скоро­ стью, равной видимой скорости движения светила, которая может

* Амплитуда вынужденных колебаний зависит еще и от величины амплитуды возмущающей силы.

207

быть вычислена по формуле

Если бы приливообразующая сила прекратила свое действие, то приливные волны распространялись по поверхности океана в виде свободных волн со скоростью, вычисленной по формуле для длин­

где Н — глубина воды.

Из теории колебаний известно, что если период возмущающей силы больше периода собственных колебаний системы, то вынуж­ денные колебания будут происходить в одной фазе с возмущающей силой, если же период возмущающей силы будет меньше периода собственных колебаний, то колебания системы будут происходить в противофазе относительно колебаний возмущающей силы, и, нако­ нец, если периоды вынужденных и собственных колебаний совпада­ ют, то наблюдается явление резонанса, при котором амплитуда резко возрастает и ограничивается только силой трения.

Период возмущающей, приливообразующей силы равен пример­ но при полусуточных приливах 12 ч. Период свободных колебаний

29 ч, т. е. больше периода возмущающей силы; в высоких широтах наблюдается противоположная картина. Следовательно, на эква­ торе согласно динамической теории в отличие от выводов статиче­ ской будут наблюдаться «обратные» приливы — т. е. в то время, когда должен наступать прилив, наступает отлив и наоборот*; в высоких широтах будут иметь место «прямые» приливы и где-то в средних широтах находится такая зона, где приливов вообще не будет.

Ввиду большой сложности явления приливов, получить аналити­ ческим путем общую формулу для определения высоты прилива не удалось. Поэтому Лаплас предложил решить эту задачу эмпири­ чески, установив соотношение между действующими силами и на­ блюдаемыми колебаниями уровня моря исходя из двух положений: период вынужденных колебаний равен периоду возмущающей си­ лы; совокупный результат действия нескольких сил равен сумме

Прямые приливы на экваторе будут при глубине моря #> 21 500 м.

208

результатов действия каждой силы (принцип независимости дей­ ствия сил). Этим положениям удовлетворяет выражение для вы­ числения высоты прилива, записанное в форме (Ѵ-23), согласно ко­ торому величина прилива является результатом сложения отдель­ ных колебаний, причем каждое из них вызывается соответствующей периодической силой. Для практических расчетов Лаплас предло­ жил ввести поправочные коэффициенты к амплитудам и фазам вто­ рого и третьего члена Р\, Р2 , £і и £2, которые зависят от местных условий и определяются по результатам наблюдений. К состав­ ляющей hi поправок не вводится, так как предполагается, что за период действия соответствующей силы поверхность океана успеет принять положение равновесия. С учетом сказанного, высота уров­ ня соединенного лунно-солнечного прилива выражается формулой

Здесь первые два члена — волны д о л г о г о периода, третий и четвер­ тый члены — волны суточного периода, а члены пятый и шестой — волны полусуточного периода.

Динамическая теория позволяет объяснить появление полуме­ сячных неравенств в приливах по высоте, наличие лунных проме­ жутков, которые согласно этой теории являются естественным свой­ ством приливов, а также возраста приливов вне зависимости от влияния трения.

Формула (Ѵ-26) была применена Лапласом для вычисления при­ ливов во французском порту Бресте, где наблюдаются правильные полусуточные приливы, и результаты оказались вполне удовлетво­ рительными. Однако для других более сложных типов прилива эта формула не дает хороших результатов. Кроме того, при пользова­ нии ею приходится рассчитывать дополнительные величины б, і и г. Поэтому эта формула не нашла практического применения и в дальнейшем был использован только принцип решения задачи.

209