книги из ГПНТБ / Жаров Г.Г. Судовые высокотемпературные газотурбинные установки

его частные решения, которые удовлетворяют граничным условиям. Затем составляется ряд этих решений вида:

При этом используется принцип наложения, которым обладают решения дифференциального обыкновенного однородного уравнения. Приемлемость принципа наложения для данного уравнения доказы­ вается в математической физике.

Частное решение дифференциального уравнения теплопровод­ ности может быть найдено в виде произведения двух функций, одна

Левая часть равенства (141) зависит только от времени, а правая — только от положения точки в пространстве.

Поскольку равенство (141) имеет место при любых значениях координат и времени, то каждая из его частей равна какой-то по­ стоянной величине. Обозначим эту величину через А. Тогда запишем

При этом, если тело стремится к температурному равновесию, то величина А будет отрицательной. Если температура тела увеличи­ вается, то величина А будет положительной. Если температура тела есть периодическая функция времени, то величина А будет мнимой величиной. В практике чаще всего встречается первый случай: А «£і 0. Рассмотрим его. Так как А выбирают из физических соображений, то можно положить

где с и D — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий;

к — определяется из граничных условий.

Заметим, что даже в самом простом случае решение уравнения теплопроводности методом разделения переменных приводит к зна­ чительным трудностям. Поэтому им пользуются только в особых слу­ чаях. Существует и ряд других классических методов решения урав­ нения теплопроводности. Однако их применяют сравнительно редко. Из них заслуживает внимания метод источников, сущность которого состоит в том, что любой процесс распространения тепла в теле пред­

в пространстве, так и во времени. Задача в основном сводится к пра­

для сложных процессов, которые происходят в охлаждаемых узлах, классическими методами не всегда удобно для практики. В технике часто требуется иметь приближенные решения, в результате чего в настоящее время широко применяют методы интегрального пре­ образования.

При решении задач с внутренними стоками тепла операционные методы имеют большие преимущества по сравнению с методом разде­ ления переменных. Для охлаждаемых узлов газовой турбины, где происходит отвод тепла за счет внутреннего его стока, такие задачи являются основными. Разработка операционного метода и его обосно­ вание дано в работах [14, 37].

Операционный метод широко применяют в разных областях тех­ ники и рассматривают как самостоятельный для решения уравнения математической физики. По своей сущности он равнозначен инте­ гральному преобразованию Лапласа, который используют в теории функций комплексного переменного. В основу данного метода поло­ жено не изучение самой функции, а ее видоизменения. При этом рас­ сматриваемую функцию называют оригиналом, а ее видоизменение — изображением. Целесообразность перехода от исследуемой функции (оригинала) к ее видоизменению (изображению) заключается в том, что решается не дифференциальное уравнение для оригинала функ­ ции, а алгебраическое уравнение для ее изображения. При решении дифференциального уравнения преобразуют функцию в ее изобра­

Дифференциальное уравнение температуры по высоте охлаждае­ мой лопатки теплоотводом в диск в общем виде запишем

уравнений теплопроводности имеет ряд преимуществ перед методом

того, интегральные преобразования Лапласа позволяют в равной степени решать задачи при граничных условиях первого, второго, третьего и четвертого родов, а также быстро и легко решать задачи с простыми начальными условиями (по одной координате). Исполь­ зование этого метода в инженерной практике упрощается наличием таблиц изображений, в результате чего задача сводится к решению только алгебраического уравнения. Однако решение задач таким методом затруднено при задании начальных условий в виде функции пространственных координат. В таком случае прибегают к использо­ ванию преобразований Фурье и Хенкеля [42]. Выполняя эти пре­ образования, следует обращать большее внимание на сходимость интегралов, так как условия сходимости становятся более жесткими, чем условия сходимости в интегралах Лапласа.

условиями для определения температур во втором ряду и т. д. Так можно получить все необходимое поле температур любого узла газовой турбины. Выбор шага при таких расчетах имеет существен­ ное значение. При малом шаге получается более точное решение, при большем шаге точность снижается, но зато сокращается рас­ четное время.

В случае решения нестационарных уравнений в частных произ­ водных параболического типа соотношение шагов, а также ошибка округления в численном решении определяет сходимость и устой­ чивость получаемых решений. Для некоторых соотношений шагов можно получить ряд упрощенных частных решений:

Рассмотренный метод применяют при решении двух- и трехмер­

температурного поля охлаждаемой натрием по шести каналам ло­ патки требуется 3,5 ч рабочего времени ЭЦВМ М-220. Поэтому в на­ стоящее время разрабатываются новые разновидности метода конеч­ ных разностей, которые позволяют значительно сократить время расчета. К таким методам прежде всего следует отнести локальноодномерный метод переменных направлений.

Метод конечных разностей сложнее применить при рассмотрении тел более сложной формы, так как значительно усложняется про­ грамма расчета. В этом отношении наиболее целесообразен метод элементарных балансов [5], основанный на разбивке всего рассматри­ ваемого тела на ряд элементарных объемов, в пределах которых закон изменения температуры принимается линейным. Метод позволяет определить температуру в любых телах при любых граничных усло-

виях. Применение этого метода изложено в работе [80]. Однако при его использовании также необходимо значительное время для расчетов.

Метод регулярного режима [31] широко используют при решении ряда специальных задач, а в отдельных случаях — и при расчете температурных полей, особенно когда исследуется длительный переходный процесс с постоянными граничными условиями.

Следует отметить, что все приближенные методы решения диффе­ ренциальных уравнений требуют значительного времени. С исполь­ зованием ЭВМ это время хотя и сокращается, но для сложных узлов остается большим. К тому же программирование требует длительной, кропотливой работы специалистов. Поэтому решение задачи тепло­ проводности приближенными методами с применением ЭВМ целе­ сообразно в том случае, когда требуется выполнить многочислен­ ные расчеты.

§ 48. Методы аналогии

В настоящее время методы аналогии, применяе­ мые для решения задач теплопроводности, получили широкое рас­ пространение. Они основываются на формальной одинаковости явле­ ний, происходящих в различных процессах природы, которые описы­ ваются одним и тем же уравнением теплопроводности. К таким явлениям следует отнести: диффузию, электропроводность, тепло­ проводность, магнетизм, фильтрацию жидкости и др. Принципиально каждое из этих явлений может быть моделью другого. В технике прибегают к использованию в качестве аналога того явления, кото­ рое легче можно экспериментировать и на которое затрачивается меньше средств. Такими аналогами для теплового поля являются гидравлические, электрические, механические и акустические поля.

Механическую и акустическую аналогию применяют в ряде спе­ циальных задач. Гидродинамическая аналогия, основанная на тожде­ ственности (при математическом описании) функции тока и потен­ циала скорости, с одной стороны, и функции теплового потока и тем­ пературы, — с другой, позволяет решить задачи теплопроводности с помощью гидродинамического поля. Этот метод разработан до­ вольно глубоко, и с его помощью можно решать двух- и трехмерные нестационарные задачи и нелинейные уравнения параболического типа. Однако гидродинамические модели требуют больших экономи­ ческих затрат, очень громоздки, сложны в эксплуатации и создают определенные затруднения при решении задач с переменными теплофизическими характеристиками.

Вэтом отношении электроаналогия имеет большие преимущества

всравнении с гидродинамической аналогией. Электротепловая ана­ логия основана на формальном сходстве дифференциальных уравне­ ний теплопроводности и электропроводности. С помощью электро­ тепловой аналогии решают нестационарные задачи теплопереноса при различных граничных условиях. Электрические модели весьма

просты по своему устройству, могут быть выполнены с большой степенью точности и сравнительно дешевы в изготовлении.

Все существующие электрические модели можно разделить на две большие группы: 1) модели из сплошных сред и 2) модели из электри­ ческих сеток.

Модели из сплошных сред. К моделям из сплошных сред отно­ сятся такие, в которых проводящая среда является сплошной (твер­ дая или жидкая). Электромоделирование с помощью электролити­ ческих ванн (модель из сплошной жидкой среды) до недавнего вре­ мени было широко распространено. В качестве моделирующей среды

в отдельные области электролит различной концентрации. К наруж­ ным и внутренним стенкам модели через специальные устройства подводятся граничные напряжения от индивидуальных делителей. Измерение потенциалов внутри модели производится специальным зондом.

Схема электролитической ванны для определения температур­

где л—теплопроводность материала лопатки; коэффициент теплоотдачи от газа к лопатке;

коэффициент теплоотдачи от стенки канала лопатки

кохлаждающему агенту;

Р— удельное сопротивление проводника;