книги из ГПНТБ / Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

найденные значения в одну из рабочих формул (любую):

___________ 20 X 167,939 - 237,4 X 14,06_________ __

— У20 X 2861,6 — (237,4)2 X У20 X 9,9598 - (14,Об)2

Полученная величина (г = 0,58) указывает на наличие зна­ чительной положительной связи между весом матерей и весом новорожденных детенышей у павианов-гамадрилов. Оценим до­ стоверность полученной величины. В табл. XVI для г — 0,58 нахо-

дим Z=0,663. Отсюда критерий tz = Z ] / п—3 = 0,663]/20—3 = = 0,663X4,12 = 2,73. По таблице Стьюдента (табл. V) для Р = 0,05 и /г—20—<2 = 18 находим Zst= 2,10. Поскольку tz > tsu нулевая ги­ потеза отвергается; величина г = 0,58 оказывается достоверной.

180

Рассмотрим следующий пример. У девяти самцов павиановгамадрилов определялось количество гемоглобина ів крови (по Сали). Результаты оказались следующие:

Определим коэффициент корреляции между весом обезьян и со­ держанием гемоглобина в крови. Сначала рассчитаем вспомога­ тельные величины (табл. 58).

находим 4t = 2,37. Видно, что tz<tst, что указывает на статистиче­ скую недостоверность коэффициента корреляции. Возможно, что очень' мал объем выборки, поэтому и получается недостоверная оценка этого показателя. Чтобы коэффициент корреляции ока­ зался достоверным (если связь между весом животных и содер-

181

жанием гемоглобина в крови действительно существует), нужно приблизить величину критерия tz по меньшей мере до tz=3,3. При этом условии выборку необходимо довести до следующего мини­ мального объема:

ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ НА БОЛЬШИХ ВЫБОРКАХ

При наличии большой выборки вычисление коэффициента корреляции описанным способом становится затруднительным. В таких случаях приходится выборку распределять в вариацион­ ные ряды таким образом, чтобы частоты у них оказались общие, соответствующие парным значениям классов или классовых ва­ риант коррелируемых признаков X и У. Такая группировка выбо­ рочного материала достигается путем построения специальной (корреляционной) таблицы, которая представляет собой решет­ ку (она так и называется «корреляционная решетка»), образуе­ мую пересечением строк и столбцов, число которых равно числу классов одного и другого вариационных рядов. В верхней строке и в первом столбце корреляционной таблицы располагаются классы вариационных рядов, а также и их срединные значения (классовые варианты) или только одни классовые варианты.

182

Частота вариант сопряженных рядов, обозначаемая символом рху, занимает в таблице свое место, свою клетку, так что по ха­ рактеру расположения частот в клетках корреляционной табли­ цы можно судить о наличии и направлении, а отчасти и о тесно­ те связи между варьирующими признаками X и У. Если частоты располагаются преимущественно по диагонали с левого верхнего угла решетки к нижнему правому углу (при условии, что ряды располагаются в направлении от минимальных к максимальным значениям признаков слева направо и сверху вниз), как показа­ но в табл. 59, это указывает на положительную связь между приз­ наками. Если же частоты располагаются преимущественно в на­ правлении с нижнего левого угла к правому верхнему углу кор­ реляционной решетки, как показано в табл. 60, это свидетельст­ вует о наличии отрицательной связи между признаками.

Если же корреляция между признаками отсутствует, частоты распределяются по клеткам корреляционной решетки более или менее равномерно.

Вычислить коэффициенты корреляции на выборках, группи­ руемых в корреляционные таблицы, можно разными способами.

Способ условных средних

Одним из распространенных способов является способ услов­ ного начала или условных средних Ах и А у, от которых берутся

183

отклонения классов (или классовых вариант). Коэффициент кор­ реляции определяется по следующей формуле:

Здесь а — отклонения классов или классовых вариант от услов­ ных средних Ах и Ау, отнесенных к величинам классовых интер­ валов, т. е. ах= (Хі—А) : іх и ау= (уі—А) : іу; р — частоты клас-

, Spa

совых вариант; о = —----- условный момент первого порядка;«—

общее число наблюдений или объем выборки; ax w оу — средние квадратические отклонения рядов, вычисляемые без умножения на величину классового интервала.

Продемонстрируем описываемый способ вычисления коэффи­ циента корреляции на следующем примере. В табл. 61 собраны данные о годовом удое коров горбатовской породы в зависимости от их живого веса. Выборка составлена по материалам Госплем­ книги этой породы скота, в нее вошли 100 измерений коров, вклю­ чая первотелок и коров по второму и третьему отелам.

Т а б л и ц а 61

Чтобы разобраться в этом материале и выяснить, существует ли связь между весом коров и их годовым удоем, обозначим через X — удой, а через У — вес животных. В совокупности наблю-

184

дений находим минимальные и максимальные варианты, они ока­

признаков на классы, предварительно выбрав ширину классовых интервалов. При этом следует иметь в виду, что выбор очень круп­ ных интервалов снижает точность определения коэффициента корреляции. Опыт показал, что при п^Ю О лучше брать не менее 12—15 интервалов. Этому условию не удовлетворяют формулы Стерджеса (1) и Брукса-Карузерс (2), которые использовались выше. Учитывая отмеченное обстоятельство, наметим ширину

В каждом ряду получилось по пятнадцать классов. Уточнив гра­ ницы классов (сокращением верхних границ на 0,1), строим кор­ реляционную решетку и все 100 вариант разносим по ее клеткам, т. е. соответствующим классам сопряженных вариационных ря­ дов (табл. 62).

Распределив все варианты по классам, подсчитываем их ко­ личество в каждом классе по ряду х и по ряду у. В итоге получа­ ем два сопряженных вариационных ряда с их частотами рх и ру (см. нижнюю строку и крайнюю графу решетки). Далее находим значения моментов Ьх и Ьѵ, рассчитываем средние квадратиче­ ские отклонения — ах и оѵ— и определяем величину Ърахау. Что­ бы избежать вспомогательных таблиц, расчет указанных значе­

и/ 6731

Ох — ' 100

у 6021

Оу — ' Too

Наибольших усилий требует вычисление величины Еражяу. Для этого частоты (рху) каждой клетки корреляционной решетки умножаются на соответствующие отклонения классов (или клас-

185

совых вариант) сначала одного, а затем другого вариационных рядов. Полученные результаты суммируются и записываются в строке (или в столбце) 2,рахау. Например, число рахау= 4 полу­ чено следующим образом: в третьей клетке решетки, смотря сле­ ва направо и сверху вниз, имеется всего одна варианта, т. е. Рху= 1. Каждый класс, к которому относится эта варианта, откло­ няется от условного начала (А), где а = 0, на две единицы. Отсю­ да находим:

Р х у X ß y X ^X =: Pt t yQx

1 X 2 X 2 = 4.

Таким же образом определяется рхахау следующего столбца:

Р х у X fly X Аж — p C ty ü X

1Х З Х 0 = 0 1Х З Х 2 = 6

1 X 3 X 5 = 1 5

1 X 3 X 6 = 1 8

1 X 3 X 8 = 2 4

Сумма = 63

И так каждую частоту (рху) решетки умножаем на ау и ах, сум­ мируя результаты, а в итоге получаем значения, приведенные в нижней строке табл. 62 и их сумму 2ражау = 5952. Определив вспомогательные величины, находим значение коэффициента корреляции:

Г — 5952 - 100X7,69X7,15 100X2,86X3,015

В табл. XV приложений для га = 100 и Р = 0,99 находим критиче­

Коэффициент корреляции довольно просто определяется по способу суммирования, который рассматривался выше примени­ тельно к расчету средней арифметической и среднего квадрати­ ческого отклонения. При определении коэффициента корреляции этим способом вместо отклонений классов (или классовых вари­ ант) от условных средних ставятся порядковые номера классов— в направлении от меньших значений вариант к большим, кото­ рые перемножаются на соответствующие частоты, что и дает в итоге величину рахау. Вместо центральных или условных момен­ тов-первого порядка здесь используются первая (S') и вторая (S") суммы полных накопленных рядов, которые получаются ку­ муляцией частот каждого вариационного ряда в направлении от больших значений признаков X и У к их меньшим значениям.

188

Коэффициент корреляции в этом случае вычисляется по формуле

Здесь 2paxay — сумма произведений частот корреляционной ре­ шетки (рху) на соответствующие порядковые номера классов (обозначаемые теми же символами ах и аѵ, что и отклонения классов от условного начала А), которые идут в направлении от меньших к большим значениям классовых вариант; S ' — сумма первого полного ряда накопленных частот, получаемого кумуля­ цией частот каждого ряда в направлении обратном порядковой нумерации классов, т. е. от больших значений классовых вариант к их меньшим значениям; ох и аѵ— средние квадратические от­ клонения рядов; п — общее число парных наблюдений или объем

выборки.

Расчет вспомогательных значений — 5 /, 5 /, Ърахау, нужных для вычисления коэффициента корреляции между весом коров горбатовской породы и их годовым удоем по способу суммирова­ ния приводится в следующей табл. 63. Вторые ряды накопленных частот — Sx" и Sy" необходимы для определения средних квад­ ратических отклонений, которые в данном случае получаются так:

'100 ТСЮ' + 100

Значения рахау получаются аналогично тому, как и при вычи­ слении коэффициента корреляции по описанному выше способу условных средних. Например, величина рахау—16 получена сле­ дующим образом:

Р х у У ( & у X &Х = Р & У & Х

1X 1Х 5 = 5

1 X 1 X 1 1 = 11

С у м м а = 1 6 и т. д.

Подставляя найденные значения в формулу 104, находим:

Получился тот же результат, что и выше.

189