Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

267

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4226 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

250

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л

[ГЛ. X

угол

наклона

касательной в

точке

оси

Ох

через а,

то угол

наклона

касательной

в точке

той

же оси, получив

прираще

ние

Да,

будет

равен

а + Да,

угол

между

самими касательными,

как видно из рис. 113, будет Да. Величину Да можно рассматривать как угол отклонения касательной от первоначального ее положения.

Разделив Да на длину дуги AB — As, получим среднюю ве личину угла отклонения, приходящегося на единицу длины дуги.

Отношение

называется средней кривизной кривой на ее участ

ке AB. Средняя кривизна кривой на разных ее участках может быть различной.

Допустим теперь, что точка В, двигаясь по кривой, неограни ченно приближается к точке А и As уменьшается, стремясь к нулю;

тогда предел		отношения		будет		определять	кривизну		кривой
в точке А.	Обозначив кривизну кривой в точке буквой							К,	будем
иметь:	Обозначив кривизну кривой в точке буквой								будем
иметь:		К	=	Пт-		Да
			=	Пт-		As ’
				Ді	»0
					»0

О п р е д е л е н и е . Кривизной кривой в данной ее точке А на зывается предел, к которому стремится средняя кривизна дуги AB при неограниченном приближении точки В к А.

Согласно определению производной (§ 63)

.. Да lim As->0 A-s

поэтому

da ds

(I)

Преобразуем правую часть этого равенства, выразив da и ds через производные данной функции, у. = f(x)\

§ 101]

КРИ В И ЗН А

К РИ ВО Й

251

Согласно

геометрическому

смыслу

производной

(§

66)

имеем

tg а =

у'.

y =

f(x)

где

а — угол

наклона

кривой

в точке

касательной

к положительному

направлению

оси

абсцисс (рис. І13);

отсюда

arctg (/'.

этом

равенстве

так

как

arctg

у'

arctg у' — сложная

функция,

зависит

от

у',

у'

зависит от

х.

Продифференцируем

последнее

равенство по аргументу

к; получим:

отсюда

- ^ - = ( a r c t gr/y-.

1+ (y'Y (y'Y = 1 + (y'Y

У" dx

1 + (y'Y ’

Найдем

выражение

через

производную

функции

Для

этого

возьмем снова тот

же

участок

кривой

(рис.

Будем

рассматривать

длину

как

приращение

дуги

М0А,

соответствую

щее

приращениям

PQ —

Дх

RB =

у.

Если

Дх

достаточно

мало,

то

= Д

отрезок

дуги

можно

считать пря

молинейным;

этом

случае,

приме

няя

теорему

Пифагора,

получим:

или

AB2

AR2

RB2,

yY-

(As)2 =

(Дх)2 +

(Д

на (Дх)2,

найдем:

Разделив

обе

части

равенства

( 2)

f(x).

114).

отсюда

г - У '+(АхѴ)

Положим, что Ддг-^0; тогда

дх->о Ьх -	И «	г	\ Ах )
lim .	длг->о		суммы и степени (§ 45), по
Применяя теоремы о пределе корня,			суммы и степени (§ 45), по
лучим: As			А х - > 0	1	Д х - » 0
lim* - * 0 ——			А х - > 0		Д х - » 0
д			Пш		+	ІІШ
				Д ІІШ			Ау
							Дх	\ 2	*	(3)
								)		(3)
					х - * 0			)

252

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л

[ГЛ. X

-Дм

lim

—г— =

—

Г - — У ,

A.V

Д х -* 0

A.V

Дд:->0

поэтому равенство (3) примет вид

откуда

^ - V T T W

r .

(4)

ds —

(y')2 dx.

Подставив

значения da и

ds V^l +

получим:

в выражение (1),

,J"dx

; V r + W V d x =

У"

-1 +

(у'У

(уТ] V

1 +(</')

>h ’

К - -

fl +

Формула

+(</Т]S/j "

определяемой

(5)

(5) позволяет найти кривизну кривой,

урав

нением

f(x),

в любой ее точке.

Кривизну

окружности

можно

102.

Кривизна

окружности.

определить по формуле (5)

§ 101,

но

гораздо

проще

ее найти из

следующих рассуждений.

Проведем

касательные в двух

точках

окружности

(рис. 115). Обозначив дугу

через As, найдем среднюю кривиз

ну на этом участке; она выразит

ся дробью

Проведя радиусы

точки касания, получим:

Z АОіВ =

Д а ,

так как углы АО\В и Да обра зованы взаимно перпепдикуляриыРис. 115. ми прямыми. Но, как известно, угол в радианной мере измеряется

отношением длины дуги к радиусу; следовательно,

Д а - ~ R ’

откуда

Да ____ 1_

As ~~ R "

§ 1031	РАД И УС КРИ ВИ ЗНЫ к р и в о й	253
		253

Ясно, что такой же вывод мы получим, взяв другой какой-либо

участок окружности. Следовательно,			I	1
um	Да	lim	I	1
um	-т— =	lim	— =	—-
д « - > о	A S	д $ - » о	><	Л	'

кривизна окружности постоянна

во всех ее точках и равна обратной величине ее радиуса.

для любой точки окружностй, т. е.

103.

Радиус

кривизны

кривой.

При изучении кривизны кривой подби

рают

такую

окружность,

кривизна ко

торой

равна

центром

кривизны

кривизне

кривой

той

кривой

в соответствующей

точке,

или иной ее точке. Центр этой окруж

ности

радиусом

кривизны

кривой

называется

окруж

этой

точке,

ностью кривизны

ра

диус —

сама

Окружностью

окружность —

М кривой

называется

кривизны в

точке (рис.

116).

окружность,

проходящая через точку М

О п р е д е л е н и е .

и имеющая с кривой одинаковую кри

визну

общую

касательную.

Заметим, что. центр окружности кривизны всегда располагается

со стороны вогнутости кривой.

Как мы знаем

(см. §

102), кривизна окружности

отсюда

R ’

R ~

К'

Следовательно, и радиус кривизны кривой в точке ее опреде

ляется тем же равенством.

изравенства

(5) §

101,

полу

Заменив

его

значением, взятым

чим формулу для определения радиуса кривизны

кривой

любой

ее точке:

R =

у"

( 1)

ÜO’I'7,

Применяя эту формулу к прямой линии, заданной, например уравнением у = kx + Ь, получим:

так как

" =

R = (1

+ /г2)‘Л

Это значит, что прямую линию можно рассматривать как

окружность бесконечно большого радиуса.

2х2

П р и м е р .

Найти

радиус

кривизны кривой

в точке,

абсцисса которой равна

I'll"

—-— .

254

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л

[ГЛ. К

Р е ш е н и е .

Найдем сначала

первую

и вторую

производные

у = 2х2

Ѵ2

функции

для точки с абсциссой

х =

—-— :

;(2х2)' =

4х

н у '

yrj =

Ѵ2

= 2 / 2 ,

4 — 2

у"

(4а-)' == 4

для всех

х.

Подставив

значения

у'

у"

(1),

_получим:

(1 в формулуу

[1 + ( 2 У Т ) г]3/г

и +»)--

С75

8 а/~

У п р а ж н е н и я

Найти радиус кривизны следующих кривых:

у =

А'2 +

в точке 0(0; 0).

X2 — X

+ I в точке, абсцисса которой

х = - ^ - .

ху=

у2

4 в

точке

(2; 2).

у2 =

4х3

точке

Л (1; 2).

х3 +

в точке,

абсцисса которой х =

6.= в точке Л (0; 1).

7. //= sin х в точке, абсцисса которой х = -^-.

8. y = cosx в точке Л ^ ; o j.

9. Найти точку на кривой і/ = -і-х г, в которой радиус кри

визны наименьший.

Г Л А В А XI

ИНТЕГРАЛ

§ 104. Понятие о неопределенном интеграле. Имея функцию, можно по известным нам правилам найти ее производную, что, как мы знаем, имеет большое прак тическое значение. Так, по данному закону движения тела мы находим скорость его, как производную пути по времени (§ 61 и § 63); по данному уравнению кри вой определяем при помощи производной угловой коэф

фициент касательной, проведенной	к этой кривой (§	6 6	),
и т. п.
Однако часто приходится решать и обратную задачу:
по известной скорости движения	тела устанавливать

закон его движения, по данному угловому коэффициен ту касательной к кривой находить уравнение этой кри вой и т. п., иначе говоря, по данной производной оты скивать функцию, от которой произошла эта производ ная. Поэтому нам необходимо познакомиться с прави лами решения указанной задачи.

Заметим, что находить функцию можно не только по данной ее производной, но и по ее дифференциалу, так как производная функции и ее дифференциал связаны простым соотношением [(4) § 97]. Практически же оты скивать функцию удобнее по ее дифференциалу, поэто му в дальнейшем изложении мы и будем пользоваться

дифференциалом для решения обратной задачи.			(1)
Пусть функция		f(x),У = Р{х)
имеет производную		dy тогда ее дифференциал
		— f (х) dx.	2
Функция (1) по отношению к ее дифференциалу			( )
			(2)
называется	первообразной.

256	И Н Т Е ГР А Л	[ГЛ. XT

О п р е д е л е н и е . Первообразной функцией для вы ражения f(x)dx называется функция F(x), дифферен циал которой равен f(x)dx.

Однако дифференциалу функции соответствует не единственная первообразная, а множество их, причем они отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Действительно, пусть F (х)— первообразная для диффе ренциала f(x)dx. Тогда и любая функция вида /7 ( x ) - fC , где С — произвольная постоянная, будет первообразной для f(x)dx, так как

(F (X) + С)' =

F' (х) + С ' =

f (х)

Ч-O

f(x).

F(x)

первообразные

Обратно,

пустьF(x).

Ф(х) — две

функции

f(x)dx.

Рассмотрим=

функцию

дифференциалаf(x)

f(x)

Ч/(х)r(x)—= ФC

(х)— F'(x)

По

определению

первообразной

'F 'U ) = Ф'(.ѵ)—

—

как

Следовательно,

— постоянная,

так

только

производная

постоянной величины равна нулю.

Итак,

(х) =

F {х)

- f

С.

Если

придавать

всевозможные значения, то, зная пер

вообразную

F{x),

f(x)dx.получимСовокупностьвсе первообразныевсех первообразныхдля диф

ференциала

функций F(x) - j - C для дифференциала

f(x)dx назы

ваетсяО п р енеопределеннымд е л е н и е .

интегралом и

обозначается

J f (х) dx.

Таким образом, можно записать

J f {х) dx

F (х)

С,

f(x)dx

подынтегральным

выражением,

где

называется

f(x)

подынтегральной функцией).

а С —

произвольной

постоянной интегрирования

х2

неопределен(функ

цию

иногда называют

является

Например, выражение

ным

интегралом

для

дифференциала

2х dx

и обозна-

чается символом

2xdx,

т. е.

J 2х dx — X2+ С.

§ 105]

С В О Й С ТВ А Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н О ГО И Н Т Е ГР А Л А

257

Процесс нахождения первообразной функции назы вается интегрированием, а раздел математики, зани мающийся вопросами, связанными с интегрированием,—

интегральным исчислением.

Из сказанного видно, что и н т е г р и р о в а н и е е с т ь д е й с т в іге, о б р а т н о е д и ф ф е р е н ц и р о в а н и ю .

§ 105. Основные свойства неопределенного интеграла. П е р в о е с в о й с т в о . Дифференциал неопределен ного интеграла равен подынтегральному выражению,

т. е.

d I f(x)dx — f (х) dx.

Это свойство следует из определения неопределенного интеграла.

В т о р о е с в о й с т в о . Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложен ной с произвольной постоянной.

Пусть

Если возьмем	dF (х) = f (х) dx.
Если возьмем	интеграл от обеих частей этого равенства,
то получим:	J dF (х) — J /(х) dx.

Но, по определению,

J f ( x ) d x = F (x ) + C,

следовательно,

J dF(x) = F { x ) + С.

Примем без доказательства еще следующие свойства неопределенного интеграла.

Т р е т ь е с в о й с т в о . Постоянный множитель мож но выносить за знак интеграла, т. е.

J af{x)dx — a j f (х) dx,

где а — постоянный множитель.

9 И. Л. Зайцев

258	И Н Т Е ГР А Л		[ГЛ. XI
	Ч е т в е р т о е с в о й с т в о .	Интеграл	от алгебраиче
	Ч е т в е р т о е с в о й с т в о .

ской суммы функций равен алгебраической сумме инте гралов от каждой из них,

J [fi

(х)

+ f

2 (х) —

M l

т.

е.

+ I fa

(x) dx —

3 (x) dx.

Jfi M

§ 106. Основные формулы интегрирования. Для нахо ждения неопределенного интеграла необходимо знать основные формулы интегрирования.

Выведем сначала формулу для интегрирования сте пени. Рассмотрим функцию л^+’ и найдем ее дифферен циал:

d (.v'l+1) = (п + 1) хп dx.

Взяв интеграл от обеих частей этого равенства, по лучим:

J d (jcn+l) = J" {п-\- 1) хп dx.

Применяя второе свойство интеграла к левой части последнего равенства и третье свойство к правой части, найдем:

хп+\

) J

хп dx,

отсюда при

1 ф+0 С , = ( « +

С,

Jхп dx

п+

Обозначив

С,

буквой С, бу-

постоянное слагаемое

дем иметь окончательно:

п++

11 f

Iхп dx

с.

Выведенная формула справедлива для любого значения п, кроме п = — 1. В последнем случае эта формула те ряет смысл.

Пусть теперь нам нужно найти

Зададимся

вопросом, какая функция имеет своим дифференциалом

♣ 106)

О С Н О В Н Ы Е

Ф ОРМ УЛЫ

И Н Т Е ГР И Р О В А Н И Я

259

выражение

— .

Такой

является

функция

Іпх +

С,

так как

d(\nx +

C ) = ^ - .

(1)

Однако запись

J,*

—

Іпл:+С

не является

точной. Действительно, в левой части подын

тегральная

функция

хопределена

в любом

интервале,

не содержащем

точку

тогдах

как в

правой хчасти

функция

не имеет

смысла

при отрицательных,

х.

Итак, формула

(1) верна при

0. Пусть теперь <

Положим

—X

г, тогда

dx =

— dz,

—

= -= - ^ ==

= —р .

Следовательно, при

(2)

\ ^ ~ ^ \ ^ -

\nz +

C =

\ n{ - x) +

C %

Объединяя

формулы

(1)

и1

( ), получим окончательно

п| * I + С.

Аналогично, путем обращения соответствующих фор мул дифференцирования, легко получить другие простей шие формулы интегрирования. Приведем таблицу основ ных формул.

xndxТ а б л и ц а

ф о р м у л

и н т е г р и р о в а н и я

= ^ - ^ r +

(I)

J cos

X dx

sin

-j- С. (VI)

при

п ф

—

~ =

1. .

+ь

\п\ х\-\-С.

(И)

(VII)

ех dx — ex +

С.

—

J ах dx = - ß

С.

(III)

arcsin-t+C. (IX)

—

(IV)

( l i f r —

1=tB*+C.(VIH)

sin а:

‘

С. (V)

arctg

x-\ -C .

(X)

— cos л +

*) Здесь фактически применен метод интегрирования способом подстановки — см. ниже § 108.

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4226 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20234.13 Mб236Зазирная, М. В. Технология сортового пива.pdf
#
19.10.20232.99 Mб7Заикин, И. В. Внутрихозяйственный расчет в условиях экономической реформы.pdf
#
29.10.202310.9 Mб46Зайдель Р.Р. Турбодетандеры кислородных установок.pdf
#
27.10.202340.1 Mб31Зайков Б.Д. Очерки гидрологических исследований в России.pdf
#
23.10.20238.49 Mб20Зайцев В.П. Автоматизация судовых холодильных установок.pdf
#
25.10.202316.43 Mб267Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
23.10.20235.89 Mб15Зайцев Н.Г. Информационное и математическое обеспечение АСУП.pdf
#
24.10.202311.18 Mб46Зайцев Ю.В. Переменные резисторы.pdf
#
19.10.20237.55 Mб10Зайцев, В. М. Расчет наивыгоднейшего режима резания при точении рекомендовано методсоветом ВУЗа.pdf
#
20.10.20238.23 Mб11Зайцев, Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.pdf
#
20.10.20237.68 Mб10Зайцев, И. М. Сущность хозяйственных споров.pdf