книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

Wное' (w,отображениеz

в себя;

обобщенное дифференциW (р

­

рованиеW w

W (р , z)

линейнымwlотображениемX '

является непрерывнымX

—wl

(

) в себя. Мы свяжем

теперь пространства

.z)

и

, z) с пространствами

(— z/2, —

2) и

(—z/2,

2) соответственно.

Как мы увидим в следующем пунк­

те, это приведет к связи

Отображениемежду преобразованиями Лап­

ласаосуществляети Вейерштрассаизоморфизм.

X

wl

на W

{w,

z).

Т е о р е м а

7.2.1.

(—z/2,_с/2

Ѳ (т) н->- е-і:,''4Ѳ (х)

— 2)

с~р> w

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть 0 е=

X

(—z/2,

—wl

2).

Это

означает,

что

Ѳ €= SLd/г,

для

некоторых

и

d

<

z.

Выберем

а

и

Ь

удовлетворяющими

нера­

венствами

w < і а < і с я d <СЪ <Zz.

Докажем сначалаD ve~x'14, что=

Х-вц, ~сц

W a,ъ-

отображение Ѳ (т) ы- е_т,/4Ѳ (х)

линейно

и

непрерывно

отображает

(р

в

Заметим,

что

=

е~х,‘А Р р

(х)

= 0Х,1а,,2ь

,

.W.

а.),,ъ

где

Р р

— многочлен.

Кроме того, весовые функции ка>ь (х) и ра>ь (х) в полунор­

мах для пространств

(х)

=

и

Х _ М

, _связаны соотношением

Р а . ь

/2

а(х).

(4 )

Следовательно,

можно написать

-т!/4-

,ь(х) D U е~^е(х)]

=

Ра.

У- - Ь , 2 ,

-а/2(Т)

Pp_4(x)x_d, .-,/2(t) D qQ (х).

Но функция

У--Л

2

/2,~сІ2І^

12

/2

р

Х—)/2, —п2

М

СО

ограничена на —

с »^d/ .-c/ (^)

B p- q,

< х

<С °°

постоянной, скажем,

так

как

а

< с

и

d <^Ь.

Следовательно,

Ха, ь. Р [е -Т!/4Ѳ (т )]

< S ( f )

Sp-,T-d/2 , —с/2 ,, [Ѳ (O l

(5)

Поэтому наше отображение,

которое, очевидно, линейно,

также и

непрерывно

из

Х~а%

/2

в

W a,b

•

Отсюда

не­

_с

X

медленно

следует,

что Ѳ (х)

е~х,/4Ѳ (х) — также

непре­

рывное

линейное

отображение

из

(— z/2, —

wl

2)

в

W

(w,

z).

Обратное

отображение

ср (х)

>-»■

ет,/4ф (х)

су­

ляется

Отображение

/ (т) >->- е-т2’4/ (т)

Т е о р е м а 7.2.2.

(w, z)

на

осуществляет изоморфизм W

£ '( —

2

,

—w/2).

z/

Приведем, наконец, несколько свойств построенных

пространств.

W

w

w

I. Очевидно, 25 есть подпространство

( ,

z) для

любых, ш и г, и сходимость в W25

влечет(w, z) сходимость в

( ,

z). Более того, 25 плотно в ‘Z/TW( ,(w,z) (z)докажите это). Тео­

рема 1.9.1 показывает, что

— подпространство

25'.

Таким образом,

элементы

являются распре­

делениями. Кроме

того,

числа,

которые

fZEiW " (w,

z)

определя­

ставит в соответствие элементам 25, однозначно

ют те числа,

которые / ставит в соответствиеW (и, ѵ)

элементамW w

W (w, z).

Тогда

с

(

, z)

Пусть теперь ш < и и і ; < г .

W

и сходимость

в

W (и, V

влечет

сходимость

в

(w, z).

)

Так

как 25 d

W {и, v)

d

W (w

,

z),

то

отсюда

следует,

что

W (и, V)

плотно

в

w

(w,

z).

В

силу теоремы 1.9.1

тельствами свойства

IV

п.3.2,4

мы также опустим.

V . Пусть /

(х)

— локально

интегрируемая функция,

такая, что отношение

/ (т)/ет,/ ра,ь (т)

абсолютно интегри­

руемо на — оо < ;

%

<

Wоо {w,приzвсех

а

и

Ь ,

удовлетворяю­

оо

),

гулярный элемент / в

определяемый формулой

</, ф> =

\

/ (т) ф (t) dx, t p G f ' {w, z).

лежитSt1,

Ж сЛ.

а

Л /

Для данного / существует единственное

множество

в

определенное следующим

образом:

точка

нахо­

дитсяй^ а а,ьав

d

тогда и только

тогда, когда

существуют

2два

Л /

а„

Ъа,

аа

а

Ьа,

действительных

числа

и

< ;

< ;

такие,

что

CI

(/).

Пусть

Ö! — точная

нижняя,

а о

—

точная верхняя грани Л/. Значения

=

— оо и

б 2

=

оо

допускаются. Используя свойство IV п. 7.2 и метод,

описанный

в начале п.

3.3,

мы можем

расширить /

до

функционала(A) СужениеД

d

[J

W (аг, о2),

нана W(/)

а2) есть элементобладающегоW (Оі, сле­

дующими двумя свойствамисовпадает:

с

а2).

(B)

Сужение

Д на d(f)(о*,

Это расширение единственно в том смысле, что не су­

ществует

Д

на

d{f)/.

jj

W a„at,

обла­

другого функционала

дающего этими двумя свойствами.

В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что

каждая

преобразуемая

по

Вейерштрассу обобщенная

функция

/

может быть

расширена

указанным

образом

/

на W

и не определена на пространствах W (w, z),

если

либо

и; <

,

Оі либо

z

>

о2.

преобразование Вейерш-

трасса

(ö j

, <з2)

Теперь мы можем определить

мой

по

2В

обобщенных функций.

Для данной преобразуе­

Qf-

Вейерштрассу

обобщенной функции / областью

определения

преобразования 2В/ мы назовем множест­

во в

определенное следующим образом:

Qf

= {<s: О]. < Re

s

<

a2} .

1

Обычное преобразование Вейерштрасса (п. 7.1, ра­

венство

(4))

является

частным

случаем

преобразования,/4

( ) обобщенных функций, если

/ (т) — такая

тлокально

интегрируемая

функция, что

выражение / (т)/е

pU)b

(т)

абсолютно интегрируемо на

— оо < ; т <

оо для каждого

а

<

щ

и

каждого

b

<

о2.

Это

утверждение непосредст­

венно следует из свойства V п. 7.2.

Связь между преобразованиями Лапласа и Вейерш­

мойтрассапоустанавливаетВейерштрассу

обобщенной функцией с областью

Т е о р е м а

7.3.1.

Функция

/ (т)

является преобразуе­

определения

(s :

< Res

<

а2}

для

(ЗВ/) (s)

тогда

и

обобгценная

2/2

только тогда,

когда e~~‘Af

преобразуемая по Лапласу

z

функция с областью определения {z

случае

<

Re

<

— 3]/2}

для

(т) —

В

ътом

[2е~т!/‘/(т)] (z).

°і <

: — з

(2)

(ЗВ/) (s) =

[Ü e -^ f (т)] ( -

i p ) ,

Re s <

а,.

2

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Первое

утверждение следу­

ет непосредственно из теоремы 7.2.2.

С другой

стороны,

расса. Например, теоремаПустьаналитичностиF

длядля преобразо­

вания{s :

Вейерштрасса имеетТогдаследующийфункция F вид.аналити чна в

Т е о р е м а

7.3.2.

(s) = ЗВ/

s £ ^ =

=

<С Ros <

а2}.

(s)

несложных

выкладок.

Аналогично, теорема 3.5.1 преобразуется с помощью

теоремы 7.3.1

в теорему2

обращения для

преобразования

Вѳйерштрасса. Действительно, полагая

z =

—

s!

2,

мы мо­

жем переписать^f(x)](z) =

(V)^вe *видеF ( - 2 z ) ,

- f <

R

e

z

<

- ^

- ,

(4)

[2e-F = ЗВ/.

Применяя2

где

s —

формулу

обращения

(теорема

3.5.1) к последнему равенствуПусть ЗВи/

производяF (s) при

замену пере­

менной

—

z, мы приходим к следующей теореме.

Т е о р е м а

7.3.3.

=

Тогда

<С R es <

<С

а2

и

г

—

действительная переменная.

в смысле

сходимости в 3)'

г-*оо і У 4 я

o-j-ir

ds

/ (т) =

о^

J .F

(s) e(s-x)2''4

=

lim

—

г

—гг

=

lim

\

F (а

+ ісо)

к

(со +

іх — іа,

1) dco,

(5)

где

а

Г —» о о

—Г

действительное число,

та­

— любое фиксированное

кое,

что

<

а

<<

а2.

Вообще говоря,

мы можем перейти

к пределу

при

г

оо

независимо в верхнем и нижнем

пределах интегралов; см. задачу 3.5.1.

СледствиемF s) притеоремыs

7.3.3.и h

являетсяН (s) при

s

Если

множествоТ е о р е мQfа

(теорема единственности). Пусть

Q7.3.4h не пусто и F

s)

H(s)

при s

33/ =

то(

к

в

6 Е

£2/

33

=

ЕЕ £2/,.

р|й,„

/ =

смысле равенства в W' (w, z),

ge

где интер­

zП образован

пересечением множества

Й/ П

вал

w

а

<

■ <

Й/ (~|

ния (5), в которой мы выбираем

а

так, что

w

■ <

а

< z, оба

элемента / и

h

должны соотносить одинаковые значения

зования Вейерштрасса Дляна основетого ихчтобыростафункция, сформулироF s)­

вавбыласледующуюбы преобразованиемтеорему. Вейерштрасса обобщенной функ­

цииТ (есогласноо р е м аопределению7.3.5.

1

и чтобы соответствующая(

облаетъ определения имела вид Q,j —

{s : зх <

Res < б2},

на на

Q] и для

каждой

выбранной

чтобы F

была

аналитич­

необходимо и достаточно, ( ))

(s)

{s :

а

В такой, что

6

6

<5 R е s ^ і } Й/ ( t < а <

< а2)

подобласти

сугцествовал

полипом

для а

I F

(о

-I- іо)

I <

е“*-ч

В (I

со

I

)

^

Re s ^

Ъ.

Полином В , вообще говоря, зависит от

сти следующую

формулу преобразования

операции:

Ж [Л ?/ (т)] =

(.), s е fi7, т = 1, 2, 3, . . .

З а д а ч а

7.3.6.

Доказать, что дифференциальный оператор

[SB (х -

2jDt) / (X)] (*) =

sF (s),

s e

ü #.

Опишите применение

операционного исчисления для решения диф­

ференциальных

уравнений

вида

Р (t

— 2 £ т) u (t )

= g (X), — оо <

X < оо,

где Р — полином, g е

Iff"

(сц,

о2) и и — неизвестная функция.

З а д а ч а

7.3.7. Используя операционное исчисление, ука­

занное в предыдущей задаче, найти преобразуемую по Вейерштрас-

су обобщенную

функцию и (х), которая удовлетворяет дифферен­

циальному

уравнению:

[ (х — 2Д ,) а + а 2] и (х) = б (х),

где а — комплексное

число. Можете ли вы найти другое решение?

З а д а ч а

7.3.8. Сформулируйте

необходимые и достаточные

условия того, чтобы функция

F (s) была преобразованием Вейѳр-

штрасса

преобразуемой по Вѳйерштрассу

обобщенной

функции

/ (t), которая сосредоточена на полуиптервале Г

£ < оо (Г >

— оо).

З а д а ч а

7.3.9.

Доказать следующее

утверждение.

Пусть

2В / = /•' (s)

при

s éE &/•

Выберем

три фиксированных

действи­

тельных

числа

а, а и Ь в Qf таких, что а <

а <

Ь. Возьмем поли­

ном Q (s), который не имеет нулей при а ^

Re s ^

Ь и удовлетворяет

при некоторой

постоянной К

неравенству

?{»)<?

к

а <

Re s <

Ъ.

Q(s) ^ I

S

I2 ’

Тогда в смысле

равенства в W

(а, Ь)

о-ріоо

I M . eU-rg/4 d

f{ t) =

Q { x - 2 D x)

а —stoo

Q (*)

где

представляет

собой

обобщенное дифференцирование

в

W (а,Ь),

а интеграл

сходится

в обычном смысле к непрерывной

функции,

порождающей регулярный элемент W

(а, Ь).

З а д а ч а 7.3.10.

я-мерное

преобразование

Вейерштрасса

мо­

жет быть построено на основании результатов п. 3.11.

В этой задаче мы используем обозначение:

СО

F (о -f- ісо) к (со + іх — іа,

—^оо

t) da

и затем

перейти к

пределу при

t

1 — 0. Последний

интеграл

сходится

для каждого положительного

t <Z 1

,

разования

Вейерштрасса

обобщенных функций, в

кото­

рой под сходимостью понимается

сходимость в

3)':

/(т) =

(-lim

----- ___ ■

а-{-іоо

=

о

(— ioo

»i-о

i

\

J

F (s) e ^ -W d s

V 4лі

оо

F

-\- іа) к

іа, t) da.

=

lim

\

(з

(со Д- іт —

(1)

1—0

J

(-*

Л е м м а

7.4.1.

Пустъ

/ (т) £ :

W a,b

ф (я) —

глад­

,

кая функция па конечном замкнутом интервале А

^

х

^

х)Ѳ:(т,

причем

{(т,

— оо <

т < о о ,

такая, что для каждого неотрицательного целого р

1іга ехЩра> ь(т) D?0 (т, х) =

0

(2)

Тогда верны|т|-к»

х

В .

равномерно на

А

следующие

три утверждения:

в

1 )

л

5

'I’ (‘т )d0х (ет ’ х

)

ь»

3)

<(/(*), ^ ■ > { x ) Q { x , x ) d x y = i)j ^{x)<J(x),Q(x,x)ydx.

А

А

сначала,

(3)

Д о к а з а т е л ь с т вво .

Отметим

что

— гладкая

I (т) = ^ ф (я) Ѳ (т, х) dx

дифференци­

функция

рт и 0поэтому, ,

ее можно

ровать

под

знаком

интеграла2

любое

число

раз.

Кроме

того, для каждого

=

1

, . . .

=

sup

ет1/4Ра,Ь (t)

5 Ф (я)

<

—оо<Т<с©

4

ъ

(т)

А sup | Н?Ѳ (т,

х)

|].

§ | ф (я) | dz sup [еТІ/ ра,

—со<т<со

< х < В