Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 4119 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

180 ГЛ. 7. ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

не содержит точку (1, 0).		Если бы при какой-нибудь			функции
ty(x)	сходимость, случайно,	имела	место, то, не меняя		значения
4>(.v)	на отрезке
		0 < х < -		г
		^		г

и не меняя, таким образом, значения решения разностного урав нения в точке (0, 1), мы могли бы нарушить сходимость, изме


нив ty(x)	в точке х —		1 и ее окрестности, что отразилось			бы на
значении	и(0,	1 ) = г \| ; ( 1 )		решения дифференциального		уравне
ния. Изменение ${х)			в точке х =		1 и ее окрестности можно вне
сти так, чтобы		не нарушить существования вторых производных
функции		и решения		и (х, t)	= г\|>(я + / ) , так что аппрокси
мация на решении и(х, t)				будет иметь место. В этих условиях из

устойчивости схемы (5) вытекала бы сходимость. Но поскольку при г >> 1 нет сходимости, то нет и устойчивости.

Проведенное доказательство неустойчивости разностной схемы (5) носит косвенный характер. Интересно проследить не посредственно, как сказывается неустойчивость при г > 1 раз ностной схемы (5) на чувствительности решения Ф^ к ошибкам

при задании	/<Ч Ведь		именно		равномерная относительно h чув
ствительность		решения к ошибкам при задании						и определена
выше как устойчивость.						h
Допустим,		что	при	всех			выполняются	тождества
ф(т/г, пх) =	0	и г\|)(тл) =		0, так		что
			f(iD	=	Jф -	1=	о
и решение ufh)=		задачи (5) есть тождественный						нуль, ипт == 0.

Допустим, далее, что при задании начальных данных допущена

ошибка	и вместо о\|зт =	0 задано 1 ф т =			(— 1) т е, е = const, так что
вместо
		/<А) = ( Ф Ч		=	0
задано
	Г ( Й , = ( - 0 } ,			I I = 8 .
Будем	обозначать получающееся при этом решение через й ( Л ) .
В силу	уравнений
	й л + . =		( 1 _ , ) й . + г й » + 1 ,
	<	=	( - 1 Г е

	§ 21. НАПОМИНАНИЕ ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ									181
для йхт	получим
й т = ( 1 - ' ) < + ^ т + 1 = =
	==(1 -г)	( _ 1 Г е + г ( - 1 ) т + , е = (1 - 2 г ) ( - 1 ) и е =
	= ( 1 - 2 г ) й ° т .
Мы видим, что допущенная при					п =		О ошибка		умножилась	на
число (1—2г). При переходе к					й2т	получим
<	= О -	г)	й", +	г й « , + 1 =	(1	-	2г) S i , =	(1 -	2 / f й°т .
Вообще
	2»	=	(1 -	2г)" и», =	(1 -		2г)п ( -	1Г е.

При г > 1 будет 1 — 2г < — 1, так что ошибка fiO=(-l)"e

при переходе от одного слоя t = пт сетки к следующему умно жается на отрицательное число, превосходящее единицу по мо дулю. При п = [Т/т] будет

Отсюда			й"т\ =		\1-2гГП\й°т
Отсюда			11—2/- \|		I и», I =
м „	Uh			[r/(rh)l		I 1 - 2r \|	[ r / ( r f t ) ]	max \| $	n
й<« \\		=				I 1 - 2r \|		max \| $

|1 - 2 r | [ r / ( r f t ) , | | p ) | L .

При фиксированном T первоначально допущенная в началь ных данных ошибка (—1)г а е увеличивается в очень быстро возрастающее при h-*Q число раз, равное | 1 — 2г |' г / ( г Л ) ! .

Остановимся теперь соба оценки качества нормы невязки || б/( А ) \\F

кратко на критике принятого нами спо аппроксимации сравнением величины с той или иной степенью h. Как мы

знаем, для	устойчивых схем порядок аппроксимации совпадает
с порядком	погрешности	[и]п —	в	решении. Качество	схемы
естественно	оценивать по	количеству		вычислительной	работы,

необходимой для получения заданной точности. Количество же работы, вообще говоря, пропорционально числу точек N исполь зованной разностной сетки. Для обыкновенных дифференциаль ных уравнений N пропорционально шагу h. Поэтому, когда мы

говорим,	что	погрешность	е « « р ,	мы	тем самым	утверждаем,
что е «	l/Nv,	Т . е. что уменьшение		погрешности		вдвое требует
		р
увеличения работы в ]/2			раз. Таким		образом, в	случае обык

новенных разностных уравнений порядок аппроксимации относи тельно h характеризует объем работы.

Для	уравнений с частными производными дело	обстоит
уже не	так. В рассмотренном нами примере задачи	с двумя

182	ГЛ. 7. ПРИЕМЫ	ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
переменными х и t сетка		задается двумя шагами т и h. Число N

точек сетки, помещающихся в ограниченной области на плоскости Oxt, имеет порядок 1/(т/г). Это число также может применяться для оценки количества работы, затрачиваемой при решении раз

ностных уравнений. Пусть		т — rh. В этом случае	N да \/h2 и
утверждение, что е да hp, эквивалентно утверждению			е да 1/Л/р~2.
Если т = rh2,	то N да l / / i 3	и утверждение е да /гр эквивалентно
тому, что е ж	1//Vp/3.

Мы видим, что в случае уравнений с частными производными порядок погрешности естественнее было бы измерять не в сте пенях Л, а в степенях 1/N. Мы все же остановимся на описан ном выше способе оценки аппроксимации степенями h, так как это удобнее при проведении выкладок. Читатель, однако, дол жен при оценке качества разностных схем иметь в виду отме ченное обстоятельство.

Надо еще заметить, что утверждение о пропорциональности вычислительной работы числу N точек сетки тоже не всегда является верным. Можно привести примеры разностных схем, для вычисления решения по которым требуется произвести да Nl+Q арифметических операций, где q = V2, 1 или даже 2. С этим приходится встречаться при решении разностных крае


вых	задач, аппроксимирующих		эллиптические	уравнения,		или
при решении задач в случае трех и более независимых					перемен
ных	(например, u = u(t, х, у)).		В многомерном	случае	построе
ние разностных схем, для вычисления решения				по которым		тре
буется да N арифметических		операций, является непростой				за
дачей, о которой будет идти		речь в §§ 31, 32.

При реальных расчетах на вычислительной машине для срав нительной оценки используемых алгоритмов за меру качества схемы обычно естественно принять машинное время. Машинное время не обязательно пропорционально числу арифметических действий.

Играют роль, иногда превалирующую, затраты времени на пересылку информации из одного блока машинной памяти в другой. Может играть роль время, расходуемое на логические операции.

ЗАДАЧИ 1. Для задачи Коши (4) исследовать следующую разностную схему:

и	U	п	п
и	U		— U'	— ф (m/г, т),
	х	т	т— 1	— ф (m/г, т),
	х		h
	т = 0, ± 1,		. . . ; я =		0, I, . . . .	[77т1—1,
			u°m	=	^(mh),	т=0, ± 1
где т = rh, г =	const. Именно;

§ 22. ПОСТРОЕНИЕ

АППРОКСИМИРУЮЩИХ

РАЗНОСТНЫХ

СХЕМ

183

а) Выписать оператор LH и правую часть

f1 ',

возникающие

при

записи

этой схемы в виде LhU^ =

f<4

б) Изобразить

взаимное

расположение трех

точек сетки,

значения и<Л>

в которых связывает разностное уравнение при фиксированных

тип.

в) Показать, что

разностная

схема

аппроксимирует

дифференциальную

задачу с первым относительно h

порядком

на

решении

u(x,t),

имеющем

ограниченные вторые

производные.

г) Выяснить, устойчива ли исследуемая

разностная

схема

при

каком-

либо выборе г, х = rh.

м< + их

— <р(х, t),

и (х, 0) == г|з (л:),

х < оо,

2. Для задачи

Коши

— оо <

0 =s: t ^

7" исследовать по

предложенному

в задаче 1 плану каждую

из сле

дующих

разностных

схем:

,,п+1

- » т

• ф (mh, пх),

= 0, ± 1,

я = 0, 1, . . . . [ Г / т ] - 1,

•••§(mh),

m =

± 1 ,

п + 1

Uт+ 1

Uп

ит

и"

• =

ф (m/г, пх),

т = 0, ± 1,

«==0,

[Г/т]

и^ =

1|з(отА),

m =

± 1, . . .

§ 22. Простейшие приемы построения аппроксимирующих

разностных схем

1. Замена производных разностными отношениями. Простей ший прием построения разностных краевых задач, аппрокси мирующих дифференциальные, состоит в замене производных соответствующими разностными отношениями. Приведем не сколько примеров разностных схем, полученных таким спосо бом. В этих примерах будут использованы приближенные фор мулы

df(z)	_	f(z +	Az)-f(z)
dz	~		Az
df(z)	_	f ( z ) - / ( z - A z )
dz	~		Az	(1)
df(z)	_	/ (z +	Дг) - / (г -	(1)
df(z)	_	/ (z +	Дг) - / (г -	Az)
dz	~		2Az
d2 f (z)		/(z +	A z ) - 2 f ( z )	+ f(z + A z )
rfz2	" ~		Az2

184	ГЛ. 7. ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Предполагая функцию f(z) имеющей достаточное число огра ниченных производных, можно выписать выражения для оста точных членов этих формул. По формуле Тейлора

/ (г + Дг) = / (г) + Azf (г) + -^f-fn (z) +

	+ - ^ r 1	Г	(г) +	Р (г) +	о	[(\гП
f(z-Az)	= f(z)-Azf'(z)	+		f"{z)		(2)
f(z-Az)	= f(z)-Azf'(z)	+	2!	f"{z)
			2!
	i M _	f"/	( z ) +	Ш_ / « ) ( Z ) +	о [	( Д 2 ) 4 ] .

Используя разложения (2), можно получить выражения для остаточных членов приближенных формул (1). Именно, спра ведливы равенства

/(z	+	A z ) - / ( z ) _		Г ( г) + [ - у - Г ( 2 )			+ о ( Д г ) ] ,
		Az
/ ( z ) - / ( z - A z )
		Az
		= / , ( г ) + [ - - у - / , , ( г ) + о ( Д 2 ) ] ,
f(z +		Az)-f(z-Az)					(3)
	2Az						(3)
	2Az
		=	/, (2)	+	[ - ^ - Г , ( г )	+	о ( ( Д 2 ) 2 ) ' .
f(z + A z ) - 2 / ( z )	+	f ( z - A z )
Az2
		=	r ( 2 )	+	\| - m ^ P ( z )	+	o((Az)s )'

Остаточные члены приближенных формул (1) входят в соот ветствующие равенства (3) в виде выражений в квадратных скобках.

Очевидно, что формулы (1) и выражения остаточных чле нов, выписанные в формулах (3), можно использовать и при замене частных производных разностными отношениями. На пример,

ди (х, t) ^ и(х, t + А/) — и (х, t)

причем

				At	д2и (x, t)		+ 0(At)].
и (х, t +	At)	— и (х, t)	ди (х, t)	+ 2	dt	2	+ 0(At)].
	At)		dt	+ 2	dt

§ 22. ПОСТРОЕНИЕ АППРОКСИМИРУЮЩИХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

185

Точно так же справедливы

формулы

ди

(х,

и(х + Алг, 0 — и (х,

и при этом

дх

Дх

и (х + A*, t) — и (х,

<Эн (х, t)

. Г Ал;

<Э2 2и (я, ()

Дх

дл:

Г Дл;

д и (х,

()

и т. д.

П р и м е р

Вернемся

к задаче

Коши

(4)

из § 21:

ди

ф(лг,/),

- с о < л : < о о ,

0 < / < 7 " ,

| ^

и (х, 0) =

ip (л;),

— оо <

л: < со .

}

(4)

Для аппроксимации

этой

задачи

Коши

построим

три

схемы.

Во всех этих схемах используем сетку Dn, образованную точ

ками пересечения

прямых

х =

mh, t = пх, попавшими

в полосу

0 ^ t ^

Т. Значения

и h будем считать связанными

соотно

шением

х =

rh, где

г—некоторая

положительная

постоянная.

Простейшая

из этих

схем

имеет

вид (5)

из § 21:

ип + 1

1т+\

q>(mh, пх),

(5)

и0

=$(mh),

и получается при

замене

производных щ = du/dt

и их

= ди/дх

по приближенным

формулам

„

11 {х,

t +

х) — и (х,

Щ \Х,

/„

u(x

h, t) -и(х,

Мы подробно исследовали эту схему в § 21. Для нее не вязка 6/<Л), возникающая при подстановке решения [u]h диффе ренциальной задачи в левую часть разностной задачи

M « ] f t = /( A ) + e/(ft).

выражается формулой

в «*,в ( (т в « - 4 и «)1 + о ( т + Л > -

I о.

186 ГЛ. 7. ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

За норму элемента р> пространства Fh примем в этом пара графе максимум всех компонент элемента е Fh. Тогда, очевидно,

HS/( A ) ||F = 0 (х -{- h) = 0 (rh + h) = 0 (h),

и порядок аппроксимации получается первый.

Вторая

схема

получается при

использовании

другой

фор

мулы для замены

ди/дх:

ди (х,

и (х,

— и

(х — A, t)

дх

она имеет

вид

Lftw<"> i

• Ф (mh,

пх),

Здесь

и°т =

у> (mh).

6 f ( f t ) =

( T"«

T " « L

0 ( t

+ A ) '

о,

=0(h)

l | o / ( A , l l F

и порядок аппроксимации снова получается первый.

Вторая

схема,

казалось

бы,

совсем

несущественно

отли

чается от первой. В дальнейшем мы увидим, однако, что вторая схема непригодна для счета: она неустойчива при любом т/Л =

=г = const. Третья схема,

ит+1 + ит-\

ит + \ ~ ип = ф (mh, пх),

получается при замене производных разностными отношениями по приближенным формулам

		t)	„(г	f -I- т>		и(х+	h, t) + u(x-	h, t)
ди	(x,	t)	" { X '	+	r >		2
ди	(x,	/)	^ и (x	- f А,	г) —	и (x,	t)
	дх		~		A

§ 22. П О С Т Р О Е Н И Е А П П Р О К С И М И Р У Ю Щ И Х Р А З Н О С Т Н Ы Х С Х Е М

С помощью тейлоровских разложений (2) для достаточно гладкого решения и(х, t) задачи (1) получаем

и (х + К t) + и (х — h, t)

И ( Х '	" T " T )		2		u(x +	h,	t)-u(x,	t)	_
			%				h
	du	du_	lf_ дги	, _т д2и 1	. n	I 2	j_ u2 \
	dt	dx	2r dx2	2 dt2\x,t	U	\x	+ " + ~ J		—

<p (x,

t) +

[--£г">х

Jtltt

+ О (h2)

Поэтому

x, t

Ф (mh,

nh) +

[--^uxx

-j- uit

О (Л2 )],

(

гр(т/г) +

•

так что bfh)

из формулы

имеет вид

Lh[u]n

f(h)

bfh)

_ J

—

* *

u t

t +

( / г 2 ) )

~ | o .

Следовательно, J 6fih)\

—0(h)

имеет

место

аппроксима-

ция первого порядка, как и в двух первых примерах.

Рассмотрим теперь случай, когда связь между шагами сетки

задается не

формулой

т == rh,

как

выше,

формулой

т =

rh2,

г =

const,

предписывающей

ускоренное измельчение

шага

т по сравнению

с шагом h. В этом

случае

ди

1_ д2и I

2 \

[u]h

т'

u(mh,

пт).

Отсюда видно, что рассматриваемая разностная схема ап

проксимирует задачу

ди

д2и

и(х, 0) = 1|)(л:),

а вовсе не задачу Коши (4), которую мы хотели аппроксими ровать.

Мы столкнулись с тем фактом, что одна и та же разностная схема может в случае различной связи x = x(h) аппроксими-

188 ГЛ. 7. ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

ровать при 1г-+0 различные дифференциальные задачи. Такого рода разностные схемы называют негибкими.

Для облегчения запоминания разностной схемы ее обычно принято сопоставлять с картинкой, на которой изображено взаимное расположение точек сетки («шаблон»), значения в ко торых связывает разностное уравнение при некоторых фикси

рованных значениях				тип.
Для трех рассмотренных схем эти картинки изображены на
рис. 10.
*(/77, Л		*/)
С/77,/?)		(т+1,п)					(т,/7)		Ш-/,п)		(т,п)
							Рис.	10.
П р и м е р		2.	Приведем			две		разностные схемы, аппроксими
рующие задачу			Коши для			уравнения			теплопроводности
-W-TF^Vt*'					Я'		-°°<х<°°>				0<t<T,
	u (х,		0) =	г\|з(х),			— со < х < со.
Простейшая	из них,
			n+l	n			"ffl+1 ~2um +um-\				ф (mh, nx),
Lh U							"ffl+1 ~2um +um-\			=	ф (mh, nx),
Lh U										=	гр [mh),
									tfl	=	гр [mh),
				fh)	S3		q>(mh, nx),
				fh)	S3		op (mh),
							op (mh),
получается	при		замене		производных				щ и ихх	разностными от
ношениями	по формулам
	щ(х,		Г)	u (х, t		+	т) — u (х,		t)
	щ(х,		Г)

•,v _ u (х + h, t) — 2 u (x, I) + u (x — h, t)

Если для замены uxx(x,t) использовать другую формулу:

, А _ u (х + h, t + т ) — 2 u (х, t + т) + u (х — h, t + т)

uxx \*t Ч '

•

"»

§ 22. ПОСТРОЕНИЕ АППРОКСИМИРУЮЩИХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

189

мы придем к другой схеме для того же уравнения:

ит	ит	ит+\ т т ^ ит-\	,	, >
Lг (2)n U(h)			=	Ф (mh, пх),
		<	=	Ф (юА).

Чтобы различать операторы L„ этих двух схем, мы снабдили их номерами и написали L „ V w = = / ( f t ) и £ Л 2 ) и о д = /< Л ) . Шаблоны, со ответствующие этим разностным схемам, изображены на рис. 11.

(m,n+J)

(т-1,п)

Рис. И.

Эти схемы суигественно отличаются. Вычисление решения г#> по первой из них не представляет труда и проводится по явной формуле

ип+1 =

(1 -

2г) и£ + г (и» +

и » + 1 ) + т Ф

(отА, яг),

где

г =

х/п2. Эта формула

получена из

разностного

уравнения

в результате

решения

его

относительно ы„\+ | . Зная значения

решения

и", от =

± 1 ,

на слое

t = tn(

= nx)

сетки,

мы

можем вычислить его значения ип1+]

на следующем

слое t =

tn+\.

Вторая схема L(hU{ll)

= fh)

лишена этого удобного свойства-

В этом

случае

разностное

уравнение,

выписанное

при фикси

рованных

тип,

нельзя разрешить

относительно

выразив

это

значение

через

известные

значения и* + 1 , ы^, и^_х

пре

дыдущего слоя. Дело в том,

что в это уравнение

входит не

только

неизвестное

значение

но

также и

неизвестные

ип+\

и ип+}..

Поэтому

для

определения

т — 0, ± 1 ,

придется

решать

разностное уравнение

относительно

сеточной

функции

аргумента от. Тем не менее, в дальнейшем

будет

показано,

что

схема

L h \ i h

) =

f{h\

как правило,

удобнее

схемы

Lh4h)

?h).

rh2,

г =

const,

обе

схемы

имеют

второй

порядок

При

т =

аппроксимации относительно А. Вычислим невязку б/С1' и оце ним порядок аппроксимации для второй из этих схем. Пользуясь

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 4119 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ