книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

170

ГЛ. 6. УПОТРЕБИТЕЛЬНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

у"

(X) =

у% (X) +

V" (X),

f (х, У0 + *>,У'о+ v') =

f (*. У0> Уо) +

+

+

У ' + о ( ^ + ю ' р) .

Отбрасывая остаточный член О(v2

-\-\ и'\2),

получим

линейную

задачу для поправки

v(x):

v" =

p(x)v'

+ q{x)v + qi(x), 1

6(0) =

6(1 ) =

0,

J

( 6 )

где

<Р (*) = /(*>

у0,

Уо)-У'о-

Решая линейную задачу (6) аналитически или каким-либо

численным методом, найдем

приближенно

поправку v

и примем

172

ГЛ.

7.

ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ

РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

поставленной

в

некоторой области

D с границей Г. Для этого

ветствие между решением и и

функцией

[«]/, е

Uh, которую бу­

дем считать искомой таблицей

решения

и. Для

приближенного

решением задачи (1),

надо на основе задачи (1)

составить та­

кую систему

уравнений

/,йи<« = /(Л>

(2)

относительно

функции

из Uh, чтобы имела место сходимость

|| [и]п -

и<Л> | Ц -> О при А - >0 .

(3)

уравнения (2). По определению,

разностная

задача

(2) аппрок­

симирует задачу (1) на решении

и, если в равенстве

невязка 6f(h\ возникающая при

подстановке

[и\ в

разностную

— |

j =

ф (х, t),

- о о < х < о о ,

0 < г < 7 \

и (к,

0) =

г|з (х),

~— со < х < со,

§ 21. НАПОМИНАНИЕ ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИИ

173

ди

ди

— оо <

х <

оо,

0 < / < Г,

дх

и (х, 0),

— оо <

х <

оо,

ф(*> t),

— оо <

л;< оо,

0 < / < Г .

Ф(х),

— оо <

х < оо.

В качестве сетки

Dh (рис. 8)

используем

совокупность

точек

пересечения

прямых

х = tnh,

t = nx,

m — 0,

±

1,

. .. ; п = 0, 1, . . . , [Г/т],

где h > 0, т > 0 — некоторые

числа,

а [Т/г] — целая часть дроби

Т/т. Будем

считать,

что шаг т связан с шагом

h зависимостью

•t-T

• t*nr

О

x=mh

Рис.

8.

т = rh, где г — const,

так что сетка Dh зависит

только от одного

параметра п. Искомой сеточной функцией

является

таблица

[u]h = {u(mh,

пт)} значений

решения

и(х,

t)

задачи (4)

в

точ­

разностной схемы

(2).

Значения

сеточной функции

и'1 в

точке

(xm,tn) =

(mh,m;)

сетки

Dh

будем

обозначать и£.

Схему

(2)

получим,

приблизив

производные

dujdt

и ди/дх

разностными

отношениями

ди

и (х, t + т) — и (х, t)

~дТ

X, t

и(х

+

• и (x, t)

(4')

ди

h, t)

дх

h

Эта схема

имеет

вид

и" + 1

-

и*

гт+\

- = Ф(mh, пт),

т

h

(5)

tn — Q, ±

1, . . . ; « =

0,

1,

[Г/т] -

1,

Ф

=

Ф (tnh),

т = = 0, ±

1, . . .

176

ГЛ.

7. ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ

РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

имеет одно и только одно решение, причем выполняется

условие

|| 2 < » - И < » | Ь А < С | | 0 Р ||,А ,

где

С — некоторая постоянная,

не

зависящая

от п.

В § 12, где введено понятие устойчивости, показано, что в

случае линейного оператора

L h

сформулированное

определение

равносильно следующему.

Разностная

краевая задача

(2)

устойчива,

если

существует

h0 >

0 такое,

что при h < h0

и любом fW^Fh

она

однозначно

разрешима, причем

II " № ) \\uh<

С || fw\\ph..

( 8 )

где

С — некоторая постоянная,

не

зависящая

от ft и от

f<4

Свойство устойчивости можно трактовать как равномерную

относительно h чувствительность решения разностной

краевой

задачи (2) к возмущениям 6f(/l> правой части.

Подчеркнем, что в силу приведенного определения

устойчи­

вость есть некоторое внутреннее

свойство разностной

краевой

аппроксимации или сходимости.

Однако

если

разностная

краевая

задача

аппроксимирует

дифференциальную

на

решении и

и

устойчива,

то имеет место

сходимость

(3). При этом порядок

относительно

h скорости схо­

димости совпадает с порядком

аппроксимации.

Доказательство этой важной теоремы проведено в § 12.

Покажем, что

разностная

схема

(5) при г ^ 1 устойчива.

При этом норму

|| • Ни

определим

равенством

1 " W L

"

= S U P

I "m II =

m 3 X

S U P I Um I-

m, n

n

m

Норму

|| • ||/?

будем понимать, как

выше: если

gW^Fh>

gih)..

ГФ «,

щ =

0,

±

1, . . .

;

п =

0,

1, . . .

,

[Т/т],

Ц>т,

пг =

0,

±

I, . . .

,

ТО

|| g№> |L

= m a x [ m a x

I Ф "

I +

m a x I ф т

I j = m a x

[ m a x I ф»

I +

m a x

| г р т П.

"

m. n 1

m

J

1

m

1

m

J

Разностную

задачу

m+l

um

„

r>

.

i

=

<C,

m=0,

±

1, . . . ;

I

/1 =

0,

1,

[Г/т], '

(5 ')

< = V

m =

± 1.

Отсюда

непосредственно

следует

max |

1 ^

max

I ib

I +

Г max

I q>" I

^

I

/71

I

I

ftl

I

I

Tib

I

m

m

т.п.

I

P I

k +

П

1

Р

И

,

<

I

={\

+ T)\\f^\\

Доказанное

неравенство

h

h

r h

т а х | М » + Ч < ( 1 + Г) | | p ||

имеет

место

для

всех

п, так что оно останется

справедливым,

если вместо

m a x | « " + 1 l

написать

max max

I и"

I =

|| uih)

||„ :

т.

п

т

А

1 1 и ' % й < ( 1 +

W

A

,

I

I

V

Неравенство

(9)

означает

устойчивость

линейной

задачи

(5),

поскольку

существование

и

единственность

решения

задачи

(6')

при произвольных ограниченных ф^ и ipm ,

очевид­

но, имеют

место. Роль

постоянной

С в

неравенстве

(8) играет

здесь число

1 +

Т.

• Не

следует

думать,

что одна только аппроксимация диффе­

ренциальной

краевой задачи (1) разностной краевой задачей

(2)

обеспечивает

устойчивость

и,

следовательно,

сходимость

(3).

Мы убедились в этом в § 9 с помощью специально

сконструиро­

ванного примера аппроксимирующей, но расходящейся

разност­

ной схемы.

В случае уравнений с частными производными

непригодность

наудачу взятой аппроксимирующей разностной схемы является

правилом,

а

выбор

устойчивой

(и,

следовательно,

сходящейся)

разностной

схемы — постоянной заботой

вычислителя.

Напомним, например, что доказательство устойчивости раз­

ностной

схемы

(5)

мы

провели в предположении, что т/Л ==

1.

В случае г > 1 разностная

задача

(5)

по-прежнему

аппрокси­

мирует задачу

(4), но наше доказательство

устойчивости

не про­

ходит.

Покажем,

что

в

этом

случае

нет

сходимости

решения

uSh) разностной

задачи

(5) к решению и(х,

t)

дифференциальной

задачи

(4),

а

значит,

не может быть и устойчивости,

так

как

устойчивость влечет за собою сходимость.

Пусть,

для

определенности,

ср(х, 0 =

0,

так

что

также

q>(mh,n%) = 0 ;

пусть,

далее,

Т = 1. Шаг

h будем

выбирать

так,

чтобы

точка

(0, 1)

на

плоскости

Oxt принадлежала

сетке,

т. е.

чтобы

число

N =

±

=

1-

т

гп

было

целым

(рис. 9). В силу разностного

уравнения

имеем

" £ + ,

= 0 - г ) и » + г и » + 1 .

§ 21. НАПОМИНАНИЕ

ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ

179

Значение

0

решения

u{h)

в

точке (0, 1)

сетки

выра­

жается через значения и£ и

и" решения в точках (0,

1 — т) и

(/г,

1 — т)

сетки. Два

значения и% и

и"\ выражаются

через

зна-

чения и:Оm - l

> и?~1 и н™-' решения

в трех точках сетки

,

(0,

1 — 2т),

(/г,

1— 2т)

и (2/г, 1 — 2т). Значения

решения

itn — l,

„ 2

т — \

,т — \

точках (0,

1 - Зт),

(/г, 1 -

Зт), (2/г, 1 - Зт), (ЗА, 1 - Зт) и т. д.

В

конечном

счете

значение

выражается через значения и0

решения

в

точках

сетки

(0,

0),

(/г,

0),

(2/г,

0),

(/г/т,

0)

=

=

(Nh,

0).

Все эти точки

лежат

на

отрезке

Далее, решением

задачи

ди

ди

„

оо < х <

оо, t > 0,

Tt

Ш~'U'

и (х,

0) =

-ф (х),

со < х

<

со,

как легко проверить,

является

функция

и(х, г1)

(* +

/)•