Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3120 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Г р а н и ч н ы ми условиями з а д а ч и о струе с некоторым началь

ным распределением		скорости / 0 , вытекающей в неограниченное
затопленное пространство, будут			следующие:
ї = їо(Ч>1)	при	s = 0;
/ - > 0 ,	при	s - > o o ;		(6.14)
/ - > 0 , F-+-0	при	т ) - > - + ° о	или	£ - > - ± о о .
И с п о л ь з у я	двойное преобразование			Фурье

—оо —со

оос о

F=4~f 2п		J	F ехр ( - ion ~ »б£)		dx[dl.
	— со	— со
м о ж н о получить				решение д л я т р а н с ф о р м а н т		Фурье в виде
/ = Л е х р [ - ( а Н 5 2 + - \| ^ ) 5					] ;
F=	i&		-
F=			f.
О б р а т н о е		п р е о б р а з о в а н и е дает
f = - к І		I А { А ' 6 ) Е Х Р [ ~ ( A 2 + 6 2 F ^ ) S				+
	— со	— со
			+ і(вч	+ 8£)]йой8;		(6.15)

—со — со

і{от\ + 6 £ ) ] dads,

где

Л (а, б) = 2л / / fo (ті, С) ехр ( - іот) - Й£)

— с о — со

Вкачестве начального профиля м о ж н о выбрать, например,

профиль	скорости		на	выходе из		эллиптической			трубы	й =
/«	У2	z2\
= « m Q l l — ^2 — -^21			либо задаться			однородным		в	прямоуголь
нике			распределением скорости. Мы,						однако,	ог
раничимся, к а к и в работе [5], распределением
Ы л . £ ) =	e x p [ - ( a V +			^ 2 ) ] ,					.(6.16)
не з а д а в а я с ь		при этом		вопросом,	к а к оно может			быть получено.
Выбор начального			распределения		в	форме	(6.16)	несколько		уп
р о щ а е т вычисления;			в то ж е время замена				реального,		ограничен

ного в пространстве начального профиля скорости некоторым

асимптотическим не может принципиально повлиять	на конеч
ные качественные выводы .
В (6.16) величины а - 1 и b~l м о ж н о р а с с м а т р и в а т ь	к а к полу

оси эллипса, совпадающего с линией постоянного значения ско рости, при этом случай 1 <§: — соответствует эллиптической

струе, сильно вытянутой вдоль направления магнитного поля

(вдоль	i](y)),	случай			" ^ " ^ > ~	струе, вытянутой поперек				поля,
случай а — Ь — круглой в начальном							сечении струе.
З а х а р а к т е р н ы й				размер		з а д а ч и	L	примем	расстояние	y = 8i
на оси z—0,		при котором скорость					и	в н а ч а л ь н о м сечении		отли
чается от скорости спутного потока								Uo на 1 % , т. е. а =		0 , 0 Ш 0 .
Отсюда,	согласно		(6.16),
		п	Ю0»го0
v					Г '
Подставив		(6.16)		в	(6.15), найдем			решение	в форме
	1							г 2 + б 2 +	Na 2
4nab	1							г 2 + б 2 +	а 2 + б 2
	—со —со
	-И(о-г} + 6£)				е Ы б .					(6.17)

Д л я вычисления интеграла (6.17) перейдем к полярным ко ординатам о—г cos 8, 6 = rsinQ, dodb = rdrdQ. Это позволяет про вести интегрирование по г в пределах от 0 до с» в конечном

виде, а действительную часть (6.17) записать окончательно в следующей форме:

/ - -

7 ^

( - №

s 2 9 > f і -

J l

exp (

) Erf і ( JUL )

(6.18)

где

л , i>

•

cos2

, sin 2 6

, „

- j

m = Ticos9 + £ s i n 0 ,

».= -

- I — T T J -

+ S , E r f i ( 0

Je^d?.

4flr

4 0 і

Соответственно

решение

д л я потенциала

приобретает ви д

2Я

sin 9 exp (-Ns cos2

/ _

г*

ч .

П р и

N = 0, т. е. в отсутствие

магнитного поля,

интегрирование

(6.18)

приводит к [5]:

1—

• ехр /

причем

множитель

fmo=

— ,

играет

роль мак -

a b ] l v 2 + A s

]/-Y2 +

4 s

с и м а л ь н о го значения

дефекта скорости на оси струи. И з

выра

ж е н и я

д л я fmo следует,

что пр и большом

эксцентриситете

эл

липса — <gyсуществует

область

значений ~ » 4 s » — ,

где f m o ~

= —

т. е. здесь

струя ведет

себя

к а к плоская .

Е с л и

ж е

2a]/s

4 s » - i - »

то

f m 0

становится

приближенно

равной

fmo^

/г\2+£2\

соответственно		/—/moexp I —	1 • Отсюда	следует, что
струя с	л ю б ы м	н а ч а л ь н ы м эксцентриситетом		в ы р о ж д а е т с я в
круглую	струю.
П р и	ЫфО скорость на оси струи

2it

fm —	1	Г	e x p ( - N s c o s 2 8 ) < i 0
	2л	/ ~b	'	а	Q + Aabs
		— cos2		6 + — sin 2	Q + Aabs
		a		b

(

а__Ь_

~ ,

1,1,-1

—

(6.19)

\-Aabs

где

Фі (а, р, у. >п, п) —

в ы р о ж д е н н ы й

гипергеометрпческий

р я д

двух переменных (см. [8], ф о р м у л а (9.261)). Более

простое

выра

жение можно получить

д л я

круглой в

начальном

сечении

струи

(а = Ь = 1):

ехр

( - т - М - - ^ ) -

(6-20>

l + 4 s

Здесь /о — функция Бесселя мнимого

аргумента . И з

(6.20)

вид

но,

что, к а к и

следовало ожидать, в

магнитном поле

простран

ственная

струя

р а з м ы в а е т с я

быстрее,

чем в

отсутствие поля,

но

гораздо медленнее, чем плоская струя, затухание которой опре

деляется

в основном

множителем

e _ N s

(см.

п.

3.4

главы

V ) .

В этом состоит одно

из наиболее

существенных

различий

между

плоской

и пространственной струями .

П р и больших Ns

ф о р м у л у

(6.20)

можно

упростить, если

вос

пользоваться

асимптотическим

представлением

функции

Бес

селя. В результате

получаем

l + 4 s

-j/jtNs L

т. е. в магнитном

поле пространственная

струя

затухает

пропор

ционально —3І2 степени расстояния

— '/г степени

(рис. 6.1).

Что касается струй

афЬ,

то, к а к показывает

рис. 6.2,

при

больших

их

м а к с и м а л ь н а я скорость

ведет

себя

т а к ж е , ка к

в струе

с а = Ь, причем

нем в ы ш е значение

N , тем

раньше

по

fm~s~3 / 2 . Таким образом,

если

судить

по

поведению

м а к с и м а л ь

ной скорости,

то,

к а к

в отсутствие

магнитного

поля,

струи

а=ф=Ъ в ы р о ж д а ю т с я

в струю с а = Ь.

Перейдем

теперь

описанию

д е ф о р м а ц и и

ф о р м ы

струн

магнитном

поле,

чем

можно

судить

по

линиям

постоянных

значений

скорости

( и з о т а х а м ) .

Последние

строились

следую

щим образом . И н т е г р а л

(6.18)

рассчитывался

на

Э В М

при за

данном

значении

s на лучах т] = &£, £ =&n

(OsS^&^l),

тем самым

определялись

профили

скорости

на

этих

лучах . П о

найденным

п р о ф и л я м скорости затем

у ж е нетрудно

построить линии

равных

скоростей.

расчете

з а д а в а л и с ь

следующие

значения

пара

метров:

—

0, 1,2,5,

10;

— а =

6 = 1 ;

а =

0,5,

6 =

а =

6 =

0,5;

а = 0,1,

6 = 1 ;

а=\,

6 =

0,1.

Ha рис. 6.3 и

6.4

приведены

изотахи

д л я

круглой в

начальном

сечении

струи

(а = 6 =

1).

К а к

видно

из

рисун

ков,

к р у г л а я

струя

с н а л о ж е н и е м

поля

становится

эллип

тической,

причем

б о л ь ш а я

полуось

эллипса

ориентируется

по

полю

(на всех

рисунках

н а

правление

магнитного

поля

*5 InS

совпадает

осью

ті).

Р е з у л ь

т а т ы расчета

т а к ж е

показыва

ют,

что

отношение

большой

полуоси эллипса к мало й полу

оси увеличивается с ростом N

при фиксированном s и с рос

том

при

фиксированном

N .

Отличительная	особенность
описываемой М Г Д - с т р у и		со
стоит ещ е в следующем .		К а к
известно, немагнитная		струя
асимптотически	затухае	т с

удалением от оси (в рассмат

риваемом	случае	—	экспонен
ц и а л ь н о с	г2 , где	Г 2	= Т ) 2 + ^ 2 ) .
П р и н а л о ж е н и и		поперечного
магнитного	поля	появляется

резко очерченная линия нуле вой скорости, за которой рас полагается зона обратного те чения, ориентированная в на правлении, перпендикулярном полю (по оси £ ) . Физический смысл появления зоны обрат ных скоростей понятен: инду цируемый в струе поперек маг нитного поля электрический ток большой плотности вызы вает т о р м о ж е н и е жидкости

Рис. 6.1. Зависимость осевой скорости

в круглой в начальном сечении струе (а =6=1 ) от расстояния до началь ного сечения при различных N.

•5 InS

. -5

\ - -І . >

25;

-10

Рис. 6.2. Зависимость осевой скорости от расстояния що начального сечения в струях, начальный эллипс которых ориентирован различным образом от носительно направления магнитного поля:

-і- а=1; 6=0.1;

— а=0,1;

Ь=>1.

Рис. 6.3. Изотахи для круглой в начальном сечении струи:

в приосевой зоне. З а м ы к а н и е ж е	тока	происходит по		об
л а с т и со сравнительно м а л ы м и скоростями, причем			вблизи	оси £
направление тока совпадает с направлением тока			в приосевой
зоне, а вблизи оси г) меняется на противоположное .			Т а к и м	обра
зом, вблизи оси £ э л е к т р о м а г н и т н а я	сила	действует	в н а п р а в л е

нии отрицательной оси х, а величина ее такова, что вызывает появление отрицательных скоростей; вблизи ж е оси TJ электро магнитная сила в ы з ы в а е т ускорение жидкости, т а к что, начиная с некоторого т)=т]і, скорость в поле превышает значение ско

рости в отсутствие поля в той ж е	точке.
Описанный механизм л е ж и т	и в	основе причин	преобразова
ния круглой струи в эллиптическую,		вытянутую по	полю.

К а ч е с т в е н но		те	ж е	результаты	получаются		и	при	афЪ
(рис. 6.5—6.9). З д е с ь молено отметить лишь, что							если	в началь
ном сечении	струя		была вытянута		поперек	поля (а>Ь),			то ее
д е ф о р м а ц и я	в	магнитном		поле происходит		еще	более	с л о ж н ы м

образом , а именно: при относительно небольших s в приосевой

зоне	( г \| ~ 0 ,	£г»0)	сохраняется	вытянутость	струи	поперек поля,
в то	время	к а к на	достаточно	большо м удалени и		от оси	н а б л ю
дается я в н а я вытянутость изотахи вдоль					н а п р а в л е н и я		магнит -

ного поля (см. рис. 6.6, 6.8, 6.9).	В целом нее струи с любой	ори
ентацией начального эллипса относительно н а п р а в л е н и я		поля
преобразуются в струю, ф о р м а	поперечного сечения которой	вы
т я н у т а вдоль н а п р а в л е н и я поля .

Рис. 6.7. Изотахн в струе с а=0,1, 6 = 1 в сечении s=0,5.

П р е д с т а в л я е т

интерес

сравнение

скоростей

р а з м ы в а

двух

идентичных

струй,

но

с различным

эксцентриситетом. П о д

иден

тичными

струями

будем

понимать

такие, у

которых одинаковы

скорость

спутного

потока, скорость

на

оси

Ё начальном сечении

и толщины потери

импульса:

со

—со

К р о м е

того,' будем

считать,

что обе

струи

распространяются

магнитном

поле одинаковой

напряженности . Эти

условия

д а ю т

с л е д у ю щ и е

соотношения

м е ж д у х а р а к т е р н ы м и

м а с ш т а б а м и

величинами а и Ь (индексы «1» и «2» относятся к струям с раз

ными	эксцентриситетами):
L \	L 2
a,\b\	а2Ь2
Сравнение		будем вести, по степени падения fm	с ростом	s.
Учитывая, что		параметр N содержит характерный	р а з м е р L,	и

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3120 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ