книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы

ты регулирования k вполне достаточно, чтобы его опре­

делить. Набор этих k значений называется колебатель­ ной последовательностью.

Поэтому можно изобразить колебание с периодом kTе с помощью вектора в fe-мерном пространстве, кото­ рое называют векторной последовательностью V.

С одной стороны, можно определить две категории векторных последовательностей в зависимости от того, рассматривают ли V4 в момент k'Te как значения сигна­ лов в момент (k '+ \ )Те или как значения сигналов в мо­ мент (k'—1)Те. С другой стороны, для выходного сигна­ ла линейного элемента векторная последовательность

обозначается Е, а на выходе квантующего элемента Е.

2. Передаточная матрица

На структурной схеме рис. 9-14 наблюдаемые вход­ ной Е и выходной 5 сигналы элемента W связаны соот­ ношением, зависящим от структуры W.

Устойчивый линейный фильтр может быть раз­ ложен на две части: им­ пульсный интегратор и

w

линейный импульсный фильтр без интегратора. Но для устойчивого линейного фильтра принцип суперпозиции позволяет сделать заключение, что каждая составляю­ щая S является линейной комбинацией составляющихЕ. В матричной форме это можно записать как

где W — матрица k X k .

Для систем с интегратором существование установив­ шегося периодического режима S накладывает на Е ограничение, требующее, чтобы среднее значение послед­ ней было равно нулю. Для устройства квантования по уровню достаточно заменить его нелинейную характери­ стику на характеристику, изображенную на рис. 9-15, положив коэффициент усиления g = S%lEi.

311

3. Правило определения автоколебаний

Не входя в подробности, отметим, что Р. Бударель

[Л. 9-7] использует классическое правило, заключающее­ ся в том, чтобы разомкнуть контур системы регулирова­

ния и использовать в качестве входного сигнала один из векторов V. При этом автоколебания существуют, если ему соответствует вектор выходного сигнала.

С одной стороны, исследуются автоколебания с мак­ симальными амплитудами, равными наибольшим кванто­ ванным значениям (с тремя уровнями), а с другой, пред­ полагается, что существующие колебания носят синусои­ дальный характер. Тогда легко показать, что автоколе­ бания, соответствующие четному k, могут быть синусои­

дальными и что количество векторов V; невелико (что делает метод применимым).

Самая трудная задача состоит в определении матри­ цы преобразования, и поэтому разработан метод расче­ та, пригодный для программирования на цифровой вы­ числительной машине.

З а м е ч а н и е . Предложенный метод отыскания зон локальной устойчивости не учитывает структуру колебаний в зонах неустойчи­ вости. Нахождение автоколебаний с практической точки зрения воз­ можно благодаря использованию вычислительных машин. Это обу­ словлено простотой выполнения элементарных вычислительных опе­ раций и их автоматической повторяемости, '.не требующей никакого вмешательства.

Однако ввиду сложности рассматриваемых задач использовать это исследование для инженера трудно, и в этом его можно срав­ нить с методом гармонического баланса для дискретных систем.

9-3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫМ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ

Входной сигнал вычислительной машины, или други­ ми словами, выходной сигнал ‘квантующего устройства, является упорядоченной последовательностью чисел V(n), определяемых последовательностью п (где п — це­ лые и положительные), для которой функция и отыскивается.

Мы предполагаем, что эта совокупность является пе­ риодической по модулю k, Функция V(п) не может быть

выражена явно как функция п, а только с помощью раз­ ностного уравнения для квантованных по уровню значе­

ний

312

Ж. Ришалэ [Л. 9-9] использовал операционный метод расчета, позволяющий решить линейное разностное урав­ нение для квантованных по уровню переменных по мо­ дулю k. Для того чтобы это выполнить, использована идея, основанная на применении теории расширения по­

лей Галуа и теории формальныхрядов. Каждой последо­ вательности V(n), периодической, начиная с некоторого

значения конечного множества Zk, ставится в соответст­ вие некоторая рациональная дробь V(p). Это исследова­ ние позволяет определить передаточную функцию линей­ ной импульсной системы с квантованием по уровню и распространить это представление на переменные со­ стояния. Это исследование позволяет найти связь между теорией логических систем (при двух состояниях) и классической теорией систем автоматического регулиро­ вания, открывая, таким образом, новый путь решения за­ дач кодирования и декодирования.

а) ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

1. Теорема Галуа ;[Л.9-10]

Рассмотрим полином G(p) степени п, где р — неопре­

деленная переменная, коэффициенты которого являются элементами Z/k[Zfk — множество (0, 1... —1), обладаю­ щее свойствами аддитивности и мультипликативности по

модулю Щ.

Если к — простое число, a Zjk — поле, то для любого полинома G(p), имеющего постоянный член, существуют число q и полином С(р), такие, что

С(р)С(р)=р«—1 (9-61)

приТак как операция вычитания не определена в Zjk, то уравнение (9-61) можно представить как

где знак «+» соответствует сложению по модулю k, так

как

[ * _ 1 ]= _ 1 (А— 1+ 1= 0).

Если мы оперируем, например, в Z/2, т. е. в булевом пространстве, то выражение (9-61) запишется как

где число q — период G (р).

313

Если период максимальный, такой, что q= kn—1, то многочлен называется примитивным (д = 2п — 1 в буле­ вом пространстве).

Полином С(р) называется дополнительным к G(p).

2. исчисление в конечном поле

Необходимо принять во внимание некоторое количе­ ство утверждений. Пусть К ( х ) —кольцо многочленов

Р (л -):

где К{х) содержится в кольце K\[(x)] формальных ря­ дов, где умножение является обычным формальным умножением целочисленных рядов, а К { х ) —поля ра­

жет быть представлена u(x)/v(x). Согласно утвержде­ нию I возможно поставить в соответствие с f(x) при­

надлежащую А(х) функцию ф.[/(х)] от [/С(х)]. Использование является изоморфизмом А (х)

в /([(х)]. Доказано, что изображение суммы является суммой изображений; изображение произведения явля­ ется произведением изображений.

Утверждение III. Изображение в /(![(х)] рациональ­ ной дроби является периодическим рядом соответствую­ щего ранга и наоборот.

3. Операторное преобразование по модулю k

Мы знаем соответствие между рядом и последова­ тельностью, а согласно утверждению II — соответствие между рациональной функцией и периодической после-

314

довательностью (соответствующего порядка). Согласно свойству изоморфизма отыскивается соответствие между рациональной функцией и периодическим рядом ;[Л. 9-10]. Мы называем операционным преобразованием с дискрет­ ным модулем k периодическую последовательность V(x), начиная с определенного ранга, у которой рациональная функция V(х) такова, что (суммирование по модулю k)

с нулевого ранга, то его можно изобразить (канониче­ ское выражение):

согласно уравнению (9-67).

Вне всякого сомнения, что подобным же образом возможно определить обратное преобразование. Оно получается либо путем идентификации, либо формальным делением.

4.Распространение теоремы Галуа

в z)k, такими, как а„, то допускается обратное, т. е. существует

Многочлен G(p) называется: сингулярным, если G(p)C(p) —pn'; полусигнулярным, если G(p)C(p) - р п{рп— 1 ).

315

Тогда возможно в точности снова использовать утверждения I—III.

5. Свойства преобразования

Приведем без доказательства основные свойства это­ го преобразования.

1.Оператор умножения па р является оператором смещения.

2.Теоремы о конечном и начальном значениях могут

быть сформулированы с помощью следующих выраже­ ний:

316

(9-78)

Я ( р ) = Е ^ 7 Г(р):

б) ПРИЛОЖЕНИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ИМПУЛЬСНЫМ СИСТЕМАМ С КВАНТОВАНИЕМ ПО УРОВНЮ

1 . Передаточная функция

Рассмотрим линейную импульсную систему с кванто­ ванием по уровню с постоянной структурой.

Предположим, что возможно выделить входной Е(п) и выходной S(n) сигналы (рис. 9-16). Используя выше-

приведенную теорему свертки, мы увидим, что если G(p) —передаточная функция рассмотренной системы, a G ( p) =p H( p ) {И(п) —выходной сигнал, соответствую­ щий входному б(п)], то имеем:

Отметим, что описание разомкнутой системы с помо­ щью ее передаточной функции невозможно (как это имеет место в классическом случае), если k первых зна­ чений выходного сигнала и k первых значений входного не равны нулю.

2. Элементарные операции

Сумматором является элемент, у которого двум вхо­ дам ei(n) и е2(п) соответствует один выход s(n) —

— ei(n) + е 2{п) (сложение по модулю k).

Усилитель— такой элемент, у которого одному входу

Следовательно, он производит смещение на один период и описывается 11р.

317

Легко показать, что любую пассивную линейную си­ стему можно реализовать с помощью трех элементарных элементов, описанных выше.

3. Изображение состояния

Рассмотрим линейную систему с одним входом, пред­ ставленную на рис. 9-17:

Пусть

Аналогичным образом можно перейти от представле­ ния состояний к представлению передаточной функции.

318

ставляют входной и выходной сигналы соответственно, то предполагаем, что эти две функции связаны соотно­ шением

± ц; а

Рис. 9-18.

Передаточная функция исполнительного двигателя тогда будет:

pS = S + k E ■ \

Кроме того, предположим, что различные операции требуют некоторого времени, которое мы примем равным периоду регулирования (со-

кS ответствующему постоянной

3 1 9

Для скачкообразного входного сигнала Д(п)=[1] вы­ ходной сигнал будет:

устройства G(p) = а р / (p + b ) - 1 возможно подавить этиколебания.

9-4. ОШИБКИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАНТОВАНИЕМ

ПО ВРЕМЕНИ И УРОВНЮ

Процесс квантования легко можно представить как классический шум, и статистический анализ импульсных квантованных сигналов не дает ничего нового.

Оценка ошибки, возникающей из-за квантования по уровню, известна в теории вычислительных машин. В пер­ вую очередь необходимо найти оптимальный фильтр, обеспечивающий минимум среднеквадратичной ошибки между восстановленным сигналом и входным сигналом.

Однако идеальный фильтр имеет все же довольно сложную передаточную функцию, для осуществления ко­ торого требуется использовать дискретное корректирую­ щее устройство.

Не входя в подробности, отметим, в частности, две работы [Л. 9-16, 9-17], посвященные этим исследованиям.

320