книги из ГПНТБ / Большанина М.А. Распространение света в анизотропных средах
.pdf
|
|
|
|
|
- 56 - |
|
пересекаются в |
четырех точках. Из-за симметрии овалоида можно |
|||||
утверждать., |
что |
эти |
точки можносоединить попарно прямыми М |
|||
и А |
А |
. |
как это |
сделано на рис.10Очевидно, по этим двум |
||
направлениям фазовые скорости двух волн равны друг друіу и |
||||||
равны |
|
, т . ѳ . |
|
Эти два направления называются оп |
||
тическими осями. П-го. рода или бинормалями кристалла. |
||||||
Найдем направляющи® косинусы этих оптических осей. |
||||||
|
ßo-первых,эти |
оси лежат в плоскости Хг ~0, |
т .е .д л я них |
|||
= 0 |
.ßo-вторых, эти направления получаются в |
результате пере |
||||
сечения |
круга |
|
|
|
Ѵ - < С = 0
и овала
-пР)+X$ (4f - i 1) =0
и, в-трѳгьих, каждая из осей есть одна из нормалей к волне. Сле
довательно, направляющие косинусы ее равны г , , г Л ^»причем
X,
Заменим в уравнении; овала координаты и |
У д- |
череві. х£, |
|||
* 4 Получим |
|
|
|
|
|
b*6f (4l3 - ^ ij+ |
'l lé!s ( if |
|
|
|
|
Сократив на |
V и вамѳнив в |
скобках '^ н а |
, |
получим |
|
уравнение для |
|
|
|
|
|
Кроме т о г о •- |
Аг+ега3 = / . |
|
|
|
|
Из этих деук уравнения неодим 4 , |
4 |
|
|
|
|
Р - X J / t - f f ■ / = ± jJ lx J L . кд |
(Si) |
- ~ ill -it ’ l ~ |
- |
- 5 7 ;
Обрагшся |
к вопросу |
о направлении вѳкт.ора |
JS в волне, |
|
распространяющейся вдоль |
оптической оси. Формулы для направляю |
|||
щих косицусов |
fit • Pz * Р& были приведены в § |
У |
ф. (43 ) . |
|
Из них віідно, |
что |
для рассматриваемого |
случая делается |
неопределенным: .
о- п 2__~ Л - ,
?б*-ѵ* о
так как |
І г - О ш |
Г |
- |
L . Следовательно, направление |
векто- |
|||||||
Ра |
3 |
|
Делается неопределенным и волна |
неполяризованной. |
Итак, |
|||||||
если нормаль к волне совпадает с одной иэ оптических осей, то |
||||||||||||
волна |
остается нѳполяризованной и не делится на |
две |
волны. |
|||||||||
. |
|
Полезно |
подсчитать |
еще косинус угла |
нормали |
с |
оптической |
|||||
осью. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим штрихами косинусы оптической оси с осями координат |
||||||||||
и |
при выбор» |
внака |
учтем, что одш из |
осей образует тупой угол |
||||||||
с |
осью |
• |
Поэтому |
запил ем косинусы для оптической оси в таком |
||||||||
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ' — |
|
|
|
Р ’ - / Г - |
— j і / ^ ~ ^ л 57 > |
||||||
Тогда косинус угла между оптической осью и нормалью к волне |
||||||||||||
мовно вычислить по |
форцулѳ |
|
+ 4 |
|
|
|
||||||
или |
|
|
Co^f |
|
е:е, + 4 / 4 |
' 4 |
|
|
||||
|
|
|
Ш ИЕ + |
|
|
|
|
|
||||
|
- |
|
„ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ Р \ |
= |
|
|
|
|
|
5U ) |
Зная главные; значения диэлѳктрхчоской проницаемости, можно по этой формуле легко вычислить угол нормали с оптической осью.
Приведем без вычислѳнйй формулу для фазовой скорости черев угол р
- 58 -
%,i= |
|
tf+(r3 - £ ‘) U ( r ± |
r jj, ö » |
|
где штрихи позволяют |
различить случаи плюс или минус перед £, |
|||
в формуле (57) и получить два значения скорости. |
|
|||
Особый интерес |
представляет собой случай, когда два |
|||
значения |
диэлектрической проницаемости или, что все равно, |
|||
коэффициентов |
оказывается равными друг другу. |
Обратимся ■ |
||
к формуле |
(57). Если |
окажется, что |
^ |
â-, — О, |
=а I . Таким образом, обе оси совпадают с осью У 3 .
Если |
то |
— |
4 ' = 0 |
С з = 0 ■ т . е . , 0бе оси |
совпадают с |
осью .Х і |
|
|
|
Такие кристаллы называются одноосными. В них явления протекают наиболее просто. Мы разберем этот случай-в части П.
Итак, поверхность нормалей позволила'нам открыть целый
ряд интересных закономерностей.
Во-первых, она -дает представление о распределении фазовых
скоростей по различным направлениям в кристалле в соответствии с его диэлектрическими свойствами.
Во-вторых, она позволила открыть существование двух опти ческих осей и показать, что вдоль них волна проходит, оставаясь неполяризованной, и не разделяется на две.
В-третьих, оказалось возможным найти ориентацию этих опти ческих осей и определить угол любой нормали к волне с оптически ми осями.
И, наконец, выяснить'возможность и условия существования одно осных кристаллов.
Обратим внимание читателя на такое .важное обстоятельство.
Иы все время говорили о том, что вдоль нормали распространяются две волны с разными фазовыми скоростями. Однако, это не значит,
|
|
|
|
|
|
|
- |
5? |
|
|
|
|
|
|
|
|
ч т о |
п о |
одному и |
том у |
же |
направлен и ю |
р а с п р о с тр а н я ю тс я |
д в а |
|||||||||
В е д ь |
л у ч |
не |
с о в п а д а е т |
с |
нормалью |
к |
в о л н е ; а |
с о с т а в л я е т |
||||||||
у г о л , |
зави сящ и й |
п о |
( 4 |
8 ) |
о т |
с к о р о с т и . |
С л е д о в а те л ь н о , |
пр |
||||||||
т о й |
же |
нормали |
к волн е |
и разны х |
ф азовы х с к о р о с т я х |
п о л у ч |
||||||||||
д в а |
л у ч а , |
о с та в л я ю щ и е |
различны е |
угл ы |
с |
нормалью, |
и |
р а с |
||||||||
няющиеся с |
|
разным и |
лучевы м и |
с к о р о с т я м и . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Напомним, |
ч т о |
направляю щ ие к о си н у сы |
э т и х |
д в у х |
л у ч е й |
||||||||||
равны п о |
( 4 |
9 ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
' |
» |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ ’ _■ |
У ' + W - I i |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(W +Of-Zp- |
|
|
|
|
|
|
t = S , S , 5
t* - »»&«*
и " ( ¥ * + Р ’ У *
Отсюда ясно видно, что одному м тому хе направлению нормали Ск.
соответствуют два различных направления луча. |
|
|||||||
Ответим, |
что по главным направлениям, т .е . по |
»Хд |
||||||
луч совпадает |
с |
нормалью. |
|
- |
|
|
||
В самса» деле, |
поломим |
ег = о |
г;~о. |
|
|
|||
|
<?,=/ |
|
|
|||||
В этом случае, |
как мы видели при анализе овалоида, направления |
|||||||
колебаний векторов 3 |
и $ |
будут совпадать с |
осями |
и |
||||
X j }я |
этм волны будут распространяться соответственно со ско |
|||||||
ростями |
/ і |
* |
&3 • |
|
|
|
|
|
Till IM01J.M одну из волн, так как для другой все |
будет идептич- |
|||||||
Вапример, возьмем волну с |
вектором Ж , |
колебаощимся по |
||||||
оси |
. Для нее |
|
|
|
|
|
Р =0, А=/, Р*=0 и
- |
60 - |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
$ * = # № * / Ж |
+ * Ж |
= Л „ |
,,, , |
|
Иайдец для нее направление луча, |
подставив |
G f r ^ U u |
Т - Ъ ь |
|
l ~ u f - g ? ) t i t ~ |
i - |
|
|
|
£ b —0 m .K .. £г — 0 * |
|
|
||
- 0 ш. к.. |
£.л = 0 . |
|
|
|
Следовательно, направление луча |
совпадает |
с направлением норма |
||
ли. |
|
|
|
|
Такие же рассуждения можно |
повторить относительно второй волны |
|
с колебаниями вектора $ |
по оси |
и относительно двух дру |
гих главный направления. t |
|
|
§ 1 2 .Jl|^eH&ajuH_BaBHOBafl поверхность.
Поверхность нормалей помогла нам составить представление об иэнененик фазовой скорости в зависимости от направления.
Полезно такой ие прием употребить для лучевой скорости
%, для которой в § 9 было получено уравнение (50)- '
Перепишем здесь это уравнение:
R t f |
- R t f |
. R t i — п |
(60) |
||
t f - ф |
t |
~ r : |
|||
|
|||||
|
Чтобы построить лучевую |
поверхность, будем из некоторой |
|||
точки |
0 проводить радиусы - |
векторы ЛЬ», иыевцие направление |
|||
луча |
( |
а длины их |
возьмем,равными лучевым скорос |
||
тям |
,и |
|
|
|
.Геометрическое место концов этих векторов даст лучевув поверх
ность.
По саыоиу смыслу построі^ий^эта поверхность есть не что лааоЪан эмо л , '
|
|
- 61 |
- |
|
инее как |
поверхность |
s |
|
излучение, |
фронта волны,. В самой деле, |
||||
вышедшее аз* точки 0 . |
, через I |
сек. достигнет лучевой по |
||
верхности. |
Следовательно, она должна быть названа |
волновой по |
верхностно. Именно ев нужно пользоваться при построении прелом ленных, лучей по методу Гюйгенса. Касательная плоскость, прове денная, к такой, шаветаности, или, вернее, касательная плотность,
проведенная |
к; системе таких поверхностей, образовавшихся к дан |
||||||||
ному моменту около различных излу авщих |
точек, даст |
преломлен |
|||||||
ною зяяну. |
Следовательно, лучевая поверхность ймеет исключите |
||||||||
льно ванное |
значение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем уравнение лучевой поверхности, |
учтя, |
что любой |
|||||||
e s радиус - |
вектор, |
проведенный из |
точки |
О |
, |
имеет |
направ- |
||
ЛіЗЕЗЕЕБ ЛІ$‘ЧЗі. |
|
м и н у . ^ ң у в |
% |
. В |
(60) |
вместо ^S |
|||
езжетзет* |
, г вместо ^ |
|
. Получим |
|
|
|
|
||
A f t ? |
t |
і і х . і |
, |
& x f |
_ |
о |
|
(62) |
|
Т = ѵ - |
£ £ - г г |
|
А і - Ѵ |
~ и |
|
||||
|
|
|
ш
йссіедіем сечения этой двуполостной псверхности координатными плоскостями.
I ) досмотрим случай, когда лучи распространяются из точ ка Öв координатной плоскости Лдя них t= 0 »
х, = 0 .
Вэтом случае уравнение распадается на д а
i - l + i t l - 'i . j i h h - О
ß+ ^ 'Q :. ■ - •
Первое 'уравнение после небольших алгебраических преобразо ваній получает вид
|
|
• 62 |
- |
|
. |
-£& |
I . А£ -5З - _ |
||
» |
Ж |
+ |
0 . |
|
с радиусои / , И эллипс.с полу- |
||||
Итак, в |
сечении получился круг |
ОСЯМИ
2)Пусть лучи распространяются в плоскости
іг = 0 ,
Вэтом случае таким же путем получим два уравнения
Ц - ' і ^ О |
|
|
— |
-f - |
' |
|
— Л |
|
|
||
|
|
|
T T |
|
PZ — U. |
|
|
||||
Получаются две |
кривые: |
окружность |
с |
радиусом |
Л |
и |
эллипс с |
||||
полуосями |
V. |
, |
как |
это изображено |
на рис.14. |
При этой |
|||||
окружность и эллипс пересекаются, |
т .е . |
имеются два |
таких направ |
||||||||
ления 6 В ‘ . |
в , 5 ,, |
по которым |
обе |
волны распространяются с |
|||||||
одной и той же |
скоростью |
ß z |
|
• Эти |
направления называются опти |
ческими осями І-го рода.
- 69 -
Подобно тому, ккк мы делали это для .оптических осей П-го рода,
можно вычислить направляющие косинусы осей І-го рода. Дадим их здесь без вычисления
Сравнивая |
(63) с |
(56), |
мы видим, |
что |
направления оптических осей |
|||||
І-г о |
рода |
не совпадают с оптическ ми осями П-го |
рода. |
Однако |
от |
|||||
личие |
не |
большое,так как отношения. 4 /4 и |
/ ^ 2 |
близки |
к |
|||||
единице. |
Поэтому |
часто |
оси І- г о |
и П-го |
рода не |
различают между |
|
|||
собой, тем более, |
что |
скорости .вдоль |
их |
в том и другом |
случае |
оди |
||||
наковы и равны |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Лучи распространяются вдоль оптических осей без |
поляризации, |
||||||||
т.е-. ведут себя как обыкновенные лучи. |
|
|
|
|
||||||
|
3) |
Рассмотрим последний случай |
t s = 0 , |
x 3 = ö . |
|
|||||
Получки в |
этой случае окружность с радкусои |
к эллипс с полу- |
||||||||
ОСЯМИ |
^ |
и |
, изображенные |
на рис.15 |
|
|
|
Из того факта, что в каждом из сечений получается окруж ность- и эллипс, не следует делать заключение, что двуполостная
- 64 -
поверхность состоит из шара и эллипсоида. Дело в том, что радиу
сы окружностей в.разных сечениях разные. Общий вид поверхности практически такой же, как и для поверхности нормалей, изображен ный на рис. 1 2 .
Так как волновая поверхность двуполостная, то, очевидно,
одному и тому же лучу, пересекающему эту двуполостную поверхность в двух точках, соответствуют две непараллельные касательные плос кости в той и другой точке. Иначе говоря, одному и тону же-лучу соответствуют две различных плоских волны со своими двумя различ-
одной из волн |
(в сечении |
- окружность) совпадает 'с лучом;, нор |
маль к другой |
волне & |
не совпадает е лучей .- |
Аналогично' если в |
кристалле распространяются две па |
раллельных плоских волны, |
то им соответствуют два разных луча.ч |
||
Длина нормали |
от точки |
0 |
до пересечения с плоскостью волны |
равна фазовой |
скорости. |
Ясно, что геометрическое место всех |
|
|
|
|
' * |
таких точек пересечения даст поверхность нормалей. Иначе гово ря, геометрическое место всех точек S* даст лучевую или ■
- 65 -
волновую поверхность, а геометрическое место всех точек Gc даст поверхность нормалей. На'языке геометрии поверхность нормалей яв ляется подэрой лучевой поверхности.
§ 13. Индикатриса.
Рассмотрим еще одну интересную поверхность - так называе мую индикатрису.
Бе уравнение записывается в таком виде:
О, |
Сг |
С з |
_ |
|
|
|
|
Это - эллипсоид с полуосями і / с |
, |
г £ . |
, |
ш£. ----- |
|
||
Для изотропной среды |
|
|
равен показателю преломления |
||||
И |
- ^ |
г - і / б . |
|
г |
зависит от направле- |
||
Для анизотропной среды скорость |
U |
||||||
ния нормали к волне и показатель |
|
|
|
* |
такхе |
||
преломления, очевидно, |
|||||||
зависит от направления волны. Но все-таки |
можно ввести |
понятие |
|||||
о показателе преломления, |
считая его зависящим от направления |
распространения. Так как фазовая скорость меняется с направлени ем ’в кристалле закономерным образом, значит и показатель, прелом ления будет меняться также закономерно. Очевидно, можно ввести три главных показателя преломления
Не нужно думать, что f), |
есть показатель преломления волны, |
||
распространяющейся по оси |
и т .д . Пс оси |
JС, |
распространя |
ется две волны с показателями преломления |
и |
как “а |
это видели в § 8 .
Перепивем уравнение (64) через главные показатели прелом
ления