книги из ГПНТБ / Большанина М.А. Распространение света в анизотропных средах
.pdf-46 -
кволнѳ перпендикулярна, в вектору ю , то угол ѳо равен углу
швду £ . 0 . |
Направляющие косинусы вектора |
$ даются |
||
а направляющие, |
косинусы вектора Е даны <р№Поэтому нетруд |
|||
но найти косиңус угла Ѳ |
|
|
||
С оъѲ - |
^ |
ЛІкр* |
|
|
Подставим вместо |
Ц -і |
его выражения из |
(47) |
|
r r u |
:(Г+95'а [v ‘T Pi‘ + T Y - ^ ' )
° |
ü=i,Zf3 |
K = s,l.3 |
Но |
|
|
Ъ ; = і |
- L a . « . - о |
Таким образом, для |
Д м .6 » получилось выражение |
Ces-Ѳ-—— (48)
(T + (ftfz
ВДВ
Ч ѳ~-%
Из формул видно, что для определения угла между лучевой и фазовой скоростями надо знать фазовую скорость» Кроме того надо еще знать куда входят раправляпциѳ косинусы вектора 0 .
Мы не егудеч вычислять направляющие косинусы вектора Пойнтин-
га, которые мн обозначим через 4 . г.. t-3 , так как это очень трудоемкая операция,- а только укажем цуть их вычисления.
Вектор Пойнтинта
|
|
|
|
|
- |
47 - |
|
|
|
|
р з э э н |
в е к то р н о м у |
произведени ю |
£ |
Н . . |
Ч тоб ы |
н а й т ц е |
||||
ляющие, к о с и н у с ы , |
нужно |
в ы ч и с л и ть |
отнош ение каждой |
составля |
||||||
в е к т о р н о г о п р о и зв е д е н и я |
к самом у |
в е к т о р н о е |
пр о и звед ен и ю |
|||||||
Направляющ ие, |
к о си н у с ы |
н а п р я ж ен н о сти м а гн и тн о г о |
п о л я |
|||||||
но н а й т и |
и з у р а в н е н и й |
М а к св е л л а , |
а направляю щ ие |
ко си н усы |
||||||
можно |
в ы р а з и т ь |
ч е р е з направляю щ ие |
к о сиЮн у с ы• |
|
Е |
|||||
Таки м |
обраэо м |
по л учи м : |
к |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4У ) |
t - (ѵ**»**л~) и
|
|
и - ( г + г г |
: : , Л 1 |
|
|
|||||||
Подобно тоауі к а к |
в |
§7, |
э н а я |
направляш циѳ |
к о си н у с ы |
в е к т о |
||||||
ра. S ) |
и в о с п о л ь зо в а в ш и с ь |
е г о |
пе р п ен д и кул я р н о сть ю |
к |
норм |
|||||||
в о л н е , |
мы |
п о л уч и л и |
у р а в н е н и е Ф ренеля |
д л я |
фавовой |
скI оf р о,с т |
||||||
т а к и з д е с ь , |
и с п о л ь з ууя) |
и( 4п е р п е н д и к у л я р н о сть л у ч а и в е к то |
||||||||||
»получим |
у р а в н е н и е |
д л я л у ч е в о й с к о р о с т и |
. |
При |
||||||||
у рЕаIв 4н е нtи е |
,б е зlвыitчи сл |
ен и й - |
|
|
|
|
|
|
||||
-h / / ä |
|
|
(Ö S ) |
|
||||||||
|
+ |
Г Ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ѵ м ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Е г о МОХЕможно |
з а п и с а т ь |
еще |
в |
та к о м в и д е |
; |
|
|
|
||||
t f |
I |
|
|
|
іі |
|
|
t i |
= 0 |
|
|
|
et ~ |
|
|
|
|
|
V |
ч |
V |
|
|
||
п |
|
i f |
|
|
|
|
|
прибавив.: вы раж ение
t* + t i + ’t; =о
получим
it Ш |
ti m |
+ |
t i VS |
(51 ) |
|
/. |
|||||
|
|||||
Vf'ff ^ |
fff'ff |
|
|
|
— 48 “
Эта формула определяет скорость луча Us по известному управлению луча.
§ 10. Овалоид Френеля.
8 предыдущих, параграфах мы видели, что вычисление для раз ных направлений векторов ä,E,H.S - дело тіудс.мкоѳ. Получивши
еся формулы ненаглядны. Поэтому желательно привлечь геометрию для наглядного изображения параметров волн в а"чзотроыной среде.
Действительно, в теории анизотропных сред построено много
различных поверхностей, иллюстрирукщих различны" их свойства.
Мы собираемся разобрать некоторые из них,, относяциѳся к оптике анизотропных сред.
Существуют |
по крайней мере четыре таких |
поверхности: |
||
1 ) овалоид Френеля, 2) |
поверхность нормалей, 3) |
поверхность лу |
||
чей и 4) |
индикатриса. |
Обычно в пособиях пользуются.одной из них |
||
и бывает |
трудно |
сопоставить, одна и та же иди разш ѳ поверхнос |
||
ти (фигурируют в |
разных |
книгах. Поэтому мы сочли |
полезным раво |
брать все четыре, причем выяснить,для какой |
цели служит каждая |
из них. |
|
В этом параграфе мы рассмотрим овалоид |
Ф[. чаля. |
Уравнение его запишем в таком виде: |
|
■г‘ =/,Чг + //хф+7,Vj
£/, І г і Ь имеют прежнее значение. В уравнении овалоида они представляют его полуоси.
Этот овалоид интересен в следущем отношении. Проведем через начало координат плоскость, параллельную поверхности вол ны. Ей нормаль имеет направляющие косинуда ^ а уравне ние ее будет
4 л ^ 4 Л г + 4 л » = 0
|
- |
4У ■ |
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
Эта плоскость п е р сечет |
овалоид |
по овалу. |
|
||
Можно показать, |
что наибольший и наименьший радіусы 'І.' и |
||||
*ül этого овала имеют |
направления векторов 0 |
и |
0 двух волн, |
||
распространяющиеся по |
і ормали |
а длины этих радиусов |
|||
равны соответствующим фазовым скоростям волн |
|
|
|||
Мы не будем проводить длинные и утомительные вычисления |
|||||
для доказательства этого положения, |
а только |
уг. |
хѳм путь. |
Так как овал есть сечение с алоида плоскостью, то должны выполняться два. уравнения
V = ] Г £ X*
Кроме того для радиуса-вектора всегда имеет иесто соотношение
х.і + хі -+- х‘ = ѵ.
Нам нужно найти экстремальные значения радиуса-вектора овала.
Воспользуемся методом Лагранж? Продифференцируем три вышепри веденные уравнения, умножим два ив них на множители Лагранжа
X * ß и сложим. Получим
* |
и |
|
•Отсюда получаются три уравнения: |
||
|
+ Л £ х . + _ / і |
—0 , |
|
|
и =0 . |
При помощи этих уравнений находятся отношения У~£/і) представля-1
хщиѳ направляющие 'косинусы экстремальных радиусов-векторов. Они оказываются равными направляющим косинусам векторов 3 ) , если
- 50 -
радңусы-векторы положитравными фазовым скоростям двух волн.
А что это возможно1, вытекает из того, что для ^ выполняется такое же уравнение, как уравнение Френеля:
|
|
|
|
I І і - і * |
- 0 . |
|
|
|
|||||
Итак, |
проведя |
сечение,, |
параллельное поверхности |
'.олны, ш |
|||||||||
получаем |
и направление векторов |
I 1 |
|
б)" |
в двух волнах, иду |
||||||||
XJ |
|
и &J |
|||||||||||
щих "о нормали, и фазовые скорости этих волн ѵ\ г |
то макси |
||||||||||||
мальному |
^L' и минимальному |
радиусам-векторам получивше |
|||||||||||
гося в |
сечении |
овала. . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для примера рассмотрим случай распространения волн по X ,, |
|||||||||||||
т . ѳ . когда |
нормаль совпадает с У-і |
. |
|
Поверхность волны будет |
|||||||||
плоскость. Х,=0или плоскость |
|
|
|
В сечении получится овал, |
|||||||||
уравнение |
|
которого |
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отрезки на |
осях |
Х 2 |
и |
будут |
соответственно |
|
|||||||
Цусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X, |
|
|
4 t |
п . е . |
£г > В5. |
|
||||
Вдоль оси |
|
будут |
распространяться две поляризованных волны: |
||||||||||
одна о колебаниями |
0 |
вдоль |
оси У г. имеет |
скорость ■ % r L , |
|||||||||
другая |
- |
с |
колебаниями вектора |
0 ^ |
|
по оси |
У-з -распространяет |
||||||
ся со |
скоростью |
2 ^ “ ^ . Мы здесь сохранили “умерапдю ярѳд“пуще |
|||||||||||
го параграфа, где этот случай рассмотрен аналитически. |
|||||||||||||
Другие., более сложные случаи, удобнее рассматривать, поль |
|||||||||||||
зуясь овалоидом Френеля. ■ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Об алоид Френеля имеет два |
круговых сечения. Это значит, |
||||||||||||
что направление колебаний вектора <0 |
в г-’их сечениях |
остается |
|||||||||||
неопределенным (нет |
поляризации) и |
скорости |
■if’* 1Г‘одинаковы. |
- 51 -
Радиусы этих окружностей равны друг другу и равны 4 = %
Значит, норлали к этим круговым сѳчѳниям есть такие направле
ния в кристалле, по которым луч не разделяется на два и оста
ется неполяризованным. Такие направления называются оптически
ми осями, іѣс, как видно, две. * .
Уравнение озалоида иногда дается в другой форме.
Ооозначим направляющие косинусы радиуса-вьктора овалоида через р * , Pf, и P 's-
Тогда
У. К — Р к
Подставим в уразнѳниэ овалоида эти выражѳі-ія вместо X к . Полу-
или _
V = t f F t + i \ P l + l l P l
§ 11. Поверхность нормалей.
Вторая поверхность, которая употребляется чаще, чем овалоид Френеля, изображает фазовые скорости в зависимости от направле ния норлали к волне.
По норлали откладывается два '[азотых скорост і соответствен но двум решениям уравнения Френеля
Геометрическое, место концов этих векторов даст поверхность
%
норлалѳи.
Уравнение этой поверхности в' координатах X , , Уг , X j полу чится и? уравнения Френеля.
- 52 -
Радиус-вектор h* этой поверхности с направляющими косину сами £yt имеет длину 2/~ • Следовательно, для косинусов можно записать такие выражения Z
/— Хк. .
К |
нужно подставить |
/ѵ |
. Тогда получим |
|
||
Вместо V |
с. |
|
||||
_ _J t f |
4 - - J ä |
_______і _ |
хі |
_ |
|
|
|
|
________ |
= 0 . |
(52> |
||
|
|
|
|
|
Это уравнение двуполостной весьма сложной поверхности.
Проанализируем сечения этой поверхности координатными плос
костями х,=0, Xj, =0 и И)-0
и4 = 0 .
Развернем уравнение (52)
при X., - 0 уравнение превращается в такое:
(it-ф \(Ц -фх1((‘г ф ]= 0:
Получается окружяость с радиусом Оу
e - S f ^ O
и овал
і \ ( £ - ф х \ ( І І - ф О
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(53) |
с |
полуосями |
Si по Х г |
и S i |
aoXj. . |
|
В |
саном.деле, |
положив |
X j ~ 0 |
, получаем |
откуда |
Хг = L
Аналогично для отрезка по Х^ получаем, что |
4 |
- 53 -
2 > X z * О
(éf-v)]= о.
П о л у чается |
к р у г |
с |
ради усом |
о ? и |
о вал |
|
|
|
|
* * _ // = <? |
/*' = £ |
|
|
||||
|
Ѵ * / ; * / + £ $ 5 |
|
|
■ |
||||
.ю лу о си |
о в а л а р авн ы : |
но |
оси У , - |
ѵ $ |
и по |
оси |
— <?/ |
|
а |
Х3= О |
|
|
|
и |
о вал |
|
|
П о л у ч ается |
круг |
с |
р ад и у со м . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
( 5 5 ) |
Л зобравлм |
полученны е .р е зу л ь т а т ы |
граф и чески |
^Puc.9jlO,Hj |
|||||
П усть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г” е &,'s£і~?Ъѣ, |
|||
Р ассм о тр и м п о сл ед о в ател ьн ы е |
се ч е н и я |
|
|
|||||
1) |
* , = /? |
|
|
|
|
|
|
54
Рис. И
'S
На рис«1& изображен один квадрант двуполостной поверхности
-= _5§_-_
/
рис.12
Каков фивнческий сшса имеют фигуры, изображенные на рис.У, 10,11 ? Например, рис. у относится в случаю, когда нормаль к вол
не лежит в |
плоскости Х-хОХ.^, Ля рис.У видно', что для всевозможных |
нормалей, |
лежащих в этой плоскости, всегда имеется одна волна |
с постоянней скоростью распространения &і и вторая водна, ско |
рость которой вавнеитог направления верхали.То .же j самое относит
ся ко всей волнам, с ворыадью, лежащей, ь |
плоскости, 'пѳрпандивуляр- |
|||||
ной в оои |
: вдоль любой такой норыалл распространяется одна |
|||||
волна с постоянной скоростью |
г вторая со скоростью, |
завися |
||||
щей от направления |
нормали. |
|
|
|
||
йгак, |
е с л и нормаль к в о л н е |
в к р и с т а л л е л е в и т в одной |
ив |
|||
координатных п л о с к о с т е й |
гл авн ы х |
о с е й д и э л е к т р и ч е с к о й п р о н и ц е з - |
||||
м о с т и , т о |
одна и з в о л н |
и м еет гіостоянцую |
с к о р о с т ь н езав и си м о от |
|||
н а п р а в л е н и я [н о р м а л и , |
а |
с к о р о с т ь |
в т о р о й |
водны з а в и с и т от н а п р ав л е |
н и я н о р м а л и .; |
|
|
Наибольший интерес представляет рис.Ю.Из него видно, |
что |
|
овал я Окружность, имешцая радиус |
средний между /# и |
& , |